unaxiomatischer Raum

hallo als ich vor kurzem jemandn sagen höhrte, dass jeder Beweis zurückzufühen ist auf ein axiom, habe ich mir gedacht, muss das sein?
könnte ich mir nicht eine welt vorstellen, in der jeder beweis ein beweis des beweises ist? also das man einen beweis immer beweisen kann ohne jemals auf ein axiom zu treffen?

Zitat:

... in der jeder beweis ein beweis des beweises ist?

Hallo wilder Bill, und was sollte dann damit bewiesen werden? Dass alles oder nichts bewiesen werden kann?

Mit freundlichen Grüßen
Reinhard

nein ich dachte da eher an eine kreislauf der beweisführung. wäre das nicht durchaus vorstellbar?

@Bill

Hi.

Nicht jeder Beweis ist auf ein oder mehrere Axiome zurückführbar. Das hängt ganz vom Kalkül ab, mit dem man beweist. So unterscheidet man beispielsweise in der Logik axiomatische Kalküle von Regelkalkülen. Mit axiomatischen Kalkülen beweist man, indem man ausgehend von einigen Axiomen unter Verwendung von Schlussregeln Theoreme herleitet. Bei Regelkalkülen hingegen verwendet man ausschließlich Schlussregeln, Axiome gibt es hier nicht.

Wenn man deine Frage jedoch allgemeiner versteht im Sinne von „gibt es Beweise, bei denen nichts anzweifelbar ist?“, dann muss die Antwort „nein“ lauten. Man kann freilich immer den Kalkül, mit dem der Beweis geführt wurde, in Frage stellen.

Ein Kreislauf einer Beweisführung, wie du ihn ansprichst, wäre ein zirkulärer Beweis. Wenn ich beispielsweise von der Hypothese ausgehe, dass Gott existiert, daraus dann Schlussfolgerungen ziehe und letztlich zur Konklusion komme, dass Gott existiert, dann habe ich gar nichts gezeigt. Ich habe dann nur bewiesen, dass, WENN Gott existiert, er tatsächlich existiert (was trivial ist). Aber OB er denn nun existiert, das bleibt unbeantwortet.

Jede Erkenntnis beruht letztlich auf Grundannahmen die basal sind. So ist die Entscheidung für oder gegen eine realistische Betrachtung eine basale.

Meine gesamte weitere Interpretation der Welt und damit alle möglichen Bestätigungsversuche werden von dieser Wahl abhängen. Diese basalen Grundentscheidungen sind aber nicht Axiome in dem Sinn das darauf Beweissführung betrieben werden könnte. Empirisch ist gar nichts beweissbar.

Ich denke, was der wilde Bill nicht versteht ist die Wirkung eines Zirkels in der rationalen Diskussion (irrational und mit AK's-47 geht da sicherlich einiges mehr mit Zirkeln *g*)

Sobald du, wilder Bill, zB A mit A begründest/beweist könnte ich kommen und sagen: ich widerspreche dir und begründe/beweise Nicht-A mit Nicht-A. Wir hätten jetzt zwei widersprechende Aussagen, die jeweils gleich "gut" begründet sind, von denen aber wohl eine falsch ist bzw. zumindest eine gewisse Wahrscheinlichkeit dafür spricht. Rational gesehen hättest du keinen Grund, deinem A mehr zu glauben als meinem Nicht-A, dem Gegenteil. Deine Erkenntnis A, hergeleitet aus A, wäre daher nicht viel wert bzw. du müßtest begründen können, warum dies bei meiner identischen Methode (Nicht-A aus Nicht-A) anders sein sollte. DAS ist der eigentliche Grund, warum Zirkel so "verpönt" sind...sie sind wie Widersprüche: jeder kann damit alles beweisen, nur bei Widersprüchen folgt das aus log. Regeln, bei Zirkeln aus diskursiven und common-sense-Regeln des Verstandes.

Zirkel sind bei Lichte betrachtet nix anderes als Begründungsabbrüche, nur dass der Abbrecher sich schämt, seinen Abbruch auch als solchen einzugestehen. Und wer Begründungen abbricht, der muss sich fragen lassen, woher er weiß, dass nicht "hinter der Abbruchstelle" der Punkt lauert, der seine Aussage letztlich zu Fall bringt...und das kann er nicht ausschließen...und er muss, s.o., damit rechnen, dass andere dieselbe Taktik fahren und damit seine Aussagen ganz einfach - nämlich mit seiner eigenen Methode - widerlegen können.

Ich weiß nicht, was schlimmer ist bei einer Theorie: Zirkel oder Widerspruch . Daher gibt es Axiome (ich finde Soso's Interpretation da zu eng...Axiome sind alle unhinterfragbaren Prämissen, dazu gehören auch die Schlussregeln für bestimmte Logiken)...man legt einfach etwas fest.

Hi wilder Bill,
in deinem Sinne, wäre die Frage, ob nicht alles in sich Ringschlüsse sind das, was Sokrates mit 'ich weiß, das ich nichts weiß' meinte. Ich könnte mir vorstellen, dass er daher die Theorie von den fehlendem festen Grund unterschreiben würde...

Mich interessiert eher die Frage nach dem, was wir als Axiom annehmen sollten. Wie man die Qualität eines Axiomensystems beurteilen könnte. (Ein Axiomensystem ist ja nichts als Glaubensätze, auf dem die weiteren Schlüsse basieren - also immer nur unter der Prämisse gelten, dass die Axiome gesetzt/Konsens sind.)
Logiker prüfen dabei auf Wiederspruchsfreiheit und Vollständigkeit (Ich hab' die genauere Bedeutung dieser Prüfungen gerade vergessen).

Für mich stellt sich aber darüber hinaus die Frage, was die hingeschriebenen Axiome für einen Bedeutungshintergrund haben. So finde ich es nicht gerade nachvollziehbar, wenn ein Axiomensystem aus drei Axiomen besteht ( wie die übliche des boolesche Aussagenkalküls). Die Beziehungen dieser Setzungen - vor ihrer Bedeutung für Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit interessiert mich.

Da gefällt mir schon, ich glaube mich zumindest zu erinnern, eine Darstellung aus einem Axiom, unter Verwendung eines einzigen Operators, dem Scheffler-Strich. Allerdings sieht der Ausdruck dann wieder so kompliziert aus, dass ich glauben kann, dass das Prinzip sein soll ,'dass die Logik im innersten zusammenhält'.)

Bei intuistischer Logik mit 11 Axiomen und generaliserter Logik mit 12 Axiomen,
Post/Lukaziewicz gehen wohl mit 4, haben die Axiome auch noch nicht die 'Schönheit', die ich hier erwarte.

Nun ja, ich hab' ehrlich gesagt noch keine Alternative, und so nehme ich auch - vorerst - die seltsamen Glaubenssätze am Anfang hin.
gruß
bernstein

hallo ich verstehe euch schon, doch habe ich mir gedacht das man vorerst in einem vereinfachten raum, es ausporbieren könnte, da unsere welt doch für den anfang etwas complex ist. ich dachte, wenn A dann auch A. bis hier hin ist es noch keine zauberei, doch nun habe ich mir überlegt das wenn man alles genau betrachtet und jeden einfluss einberechnet man vieleicht nicht mehr sagen kann wenn B dann auch B. ich weisss nicht genau wie ich meine gedanken beschreiben soll, aber ich meine das wenn man alles betrachtet dann der zirkel der Beweisführung von nicht mehr schlüssig wäre und somit die aussage, wenn B dann auch B, falsch wäre.

Zitat:

ich weisss nicht genau wie ich meine gedanken beschreiben soll, ...

Hallo w.B., darum gehts ja gerade, den richtigen Ausdruck für das zu finden, was man sagen will. Unsere Welt ist auch immer Sprache. Was Du vermutlich sagen, läuft doch auf den Unterschied von das Selbe und das Gleiche hinaus. Die Wirklichkeit ist immer die Selbe, was wir darüber aussagen, quasi ein Vergleich, der jeweils unter bestimmte Prämissen gestellt, zu mehr oder weniger vergleichbaren Aussagen führt. Da, wo die Aussagen voneinander abweichen, liegt der Unterschied, nur den kann man nicht erkennen. Wenn man so will, kann man zu jedem Prädikat einer Aussage das Gegenteil bilden, wobei dann der bekannte Teil dem analytischen Urteil zufällt und der unbekannte den Inhalt des synthetischen Urteils bildet. Auch diesen Sachverhalt kann man nun wieder auf vielerlei Arten darstellen und für jede Situation gibt es wiederum mehr oder weniger gelungene Darstellungen. Was man nie tun sollte, ist die Logik sich selbst zu überlassen, denn Wahrheit und Wirklichkeit sind dasselbe.

Mit freundlichen Grüßen
Reinhard

Der Punkt ist: Das was wilder bill will geht nicht. Man kann keine Wissenschaft auf Zirkelschlüssen aufbauen, man kann überhaupt keine - wie auch immer gearteten - Erkenntnisgebäude auf Zirkelschlüssen aufbauen, weil das 1. rational widersinnig ist und man 2. auch gleich Axiome, also Dogmen, aufstellen kann, um den gleichen Effekt zu erzielen. Zirkel sind einfach ein no-go.

Hi Pippen,
sind Axiome, also Glaubenssätze, auch ein No-Go für dich?
Ich denke an der Stelle, das mann/frau sehr wohl Bezugssysteme voraussetzen muss, um gedanklich überhaupt agieren zu können (was ja nichts anderes heißt als Gedanken'gebäude' aufzubauen). Der entscheidende Unterschied bei der Dogmenbildung im Gegensatz zu den einfachen Setzungen durch Axiome und (schlichte) Glaubensbekenntnisse ist die Aufgabe des Bewußtseins, das sie nur eine Möglichkeit darstellen, und diesen stattdessen uneingeschränkten Wahrheitsgehalt zuzubilligen.
Gruß
bernstein

@Wilder Bill
Warum ist der einfache Raum, den du dir vorstellst, nicht axiomatisch?
Ist diese Festlegung selbst, nicht bereits ein Axiom, auf dessen Grund du weiter aufbaust?

Außerdem verkennst du die Fatalität dieser Erkenntnis (die gar selbst auf Axiome fußt).
Absolute Erkenntnis ist nicht möglich, am einfachsten erklärt durch das Münchhausen Trilemma.

Axiome selbst stellen somit den Grudstein der Erkenntnis dar. Man sagt einfach, man könne sich auf unsere Sinne verlassen. Ebenso, dass die empirische Überprüfungen sich der Wahrheit annähern, weil die individuellen Fehlerfaktoren minimiert werden.

Zitat:

Original von bernstein Hi Pippen, sind Axiome, also Glaubenssätze, auch ein No-Go für dich? Ich denke an der Stelle, das mann/frau sehr wohl Bezugssysteme voraussetzen muss, um gedanklich überhaupt agieren zu können (was ja nichts anderes heißt als Gedanken'gebäude' aufzubauen).

Natürlich sind Axiome kein no-go für mich. Ich wollte darauf hinaus, dass Axiome keine Zirkelschlüsse benötigen bzw. diese Zirkelschlüsse sogar schädlich wären.