Blöde Frage

Aus der Menge der Menschen auf der Erde, die wissen, was eine natürliche Zahl ist, werden per Los zwei Menschen ausgewählt.
Jeder schreibt geheim eine natürliche Zahl auf einen Zettel.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das diese Zahlen gleich sind?

In welcher Hinsicht?

Ein Beispiel zur Erläuterung, was ich damit meine: Nehmen wir zum Spaß mal an, es gäbe 50 Farbwörter. Fragt man eine Person nach einem zufälligen Farbwort, dann hätte man normalerweise eine Chance von 1 zu 50, dass er "rot" sagt. Das wäre die "mathematische" (stochastische oder wie du magst) Hinsicht. Von da aus ausgehend kann man mittels diverser stochastischer Werkzeuge berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass zwei die selbe Farbe nennen.

Faktisch liegen die Dinge aber anders. Fragt man 10 Leute nach einer Farbe, sagen wenigsten 9 rot :-) Gut denkbar wäre also, dass es ebenso Zahlen gibt, die irgendwie "beliebt" sind und häufiger genannt werden als andere. Das könnte man die psychologische Hinsicht nennen.

Suchst du eine Antwort in psychologischer Hinsicht oder in mathematischer?

Jetzt müsste man noch weiter gehen: Wie sähe wohl eine philosophische Herangehensweise dabei aus :-)

Zitat:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das diese Zahlen gleich sind?

Rein stochastisch? Null.

Hallo Würze !


Na, da fand ich Deine Taylorreihenentwicklung spannender. Gab es da eigentlich eine Lösung ?

Nach Allem was Du bei der MM/MW/WM/WW Aufgabe mitgeteilt hast, kennst Du Dich ja in Wahrscheinlichkeitsrechnung aus. Daher muss ich hier natürlich keine Eulen nach Athen tragen, will aber mal eine aus der Hüfte geschossene "psychologisch motivierte" Schätzung abgeben, die eigentlich nur aufzeigen soll, dass die "wahre" Wahrscheinlichkeit vermutlich deutlich höher ist, als man denkt:

Unter der Menge Aller, die diese Frage überhaupt sinnvoll beantworten können, werden die Meisten, ich behaupte mal 90%, eine "einstellige" Zahl größer Null nennen, (schon weil "0" ja als natürliche Zahl "umstritten" ist), und der Rest nennt eine zweistellige Zahl kleiner gleich 20. (Die Anzahl Derjenigen, die größere Zahlen nennen, behaupte ich also einfach mal als "vernachlässigbar")

Dann gelte, weil die Antworten unabhängig voneinander geschehen:

P("Beide Zahlen sind identisch") = 0,9*1/9 + 0,1*1/10 = 11 %


Gruß Andreas


EDIT
Als ich den Editor betrat, war ich noch der Erste, jetzt lese ich nach abschicken des Posting, dass meine "psychologische Präferenz" schon genannt wurde (bei beliebigen Zahlen darf wohl davon ausgehen, dass die Antworten in der Regel "gemütlich" kurz sind).
Außerdem stelltest Du schon fest, dass DU sie rein stochastisch meinst, also wohl jede natürliche Zahl als gleich wahrscheinlich siehst, dann ist die Antwort natürlich rechnerisch "Null" und stochastisch (fast) Null, weil es ja nicht "unmöglich" ist.

Zitat:

Original von Würze Aus der Menge der Menschen auf der Erde, die wissen, was eine natürliche Zahl ist, werden per Los zwei Menschen ausgewählt. Jeder schreibt geheim eine natürliche Zahl auf einen Zettel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das diese Zahlen gleich sind?

Man kann es auch anders angehen. Was sind Zahlen? Gibt es Zahlen, etwa in dem Sinne wie es Bäume gibt? Oder gibt es sie in irgendeiner anderen Art etwa als Ideen im Ideenhimmel? Gibt es jemanden der WEISS, was Zahlen sind? Vielleicht nicht ... Das heißt die Menge der Menschen, die wissen was (natürliche) Zahlen sind ist leer. Was heißt das für die Antwort? 0.

ich gehe mal davon aus das es wahscheinlich eine zwei oder dreistellige zahl wird, also ist die wahrschenlichkeit bei etwa 1 zu 1000.

das ist eine gefühlte schätzung.

und was bringt dir das nun?
hängt der weltfrieden davon ab?

@Jörn

Zitat:

Was sind Zahlen?

Aus Wikipedia:
Zahlen sind abstrakte mathematische Objekte, die Quantitäten (Anzahlen, Differenzen, Größenverhältnisse, ...) darstellen und unter anderem zum Zählen, Ordnen und Messen verwendet werden.


@Amateur

Zitat:

P("Beide Zahlen sind identisch") = 0,9*1/9 + 0,1*1/10 = 11 %

Das stimmt nicht ganz. Ich kann nicht einmal genau sagen, was diese Wahrscheinlichkeit ausdrückt ^^°

Auf jeden Fall sind hier nur die gewählten Zahlen, nicht aber die Gleichheit dieser angegeben.

90% wählen also eine Zahl 1-9, 10% 10-19.
Stellen wir nun den Wahrscheinlichkeitsbaum auf. Ich mach das mal auf nem Schmierzettel, der geneigte Mathematiker darf es mir gleich tun

Die Chance für gleiche Zahlen beläuft sich dann auf:
0,9*0,9*(1/9)+0,1*0,1*(1/10)
Also, Wahrscheinlichkeit für die Rahemnwahl Person1, * Wahrscheinlichkeit dass Person2 ebenfalls wählt, * Wahrscheinlichkeit dass gleiche Zahl aus dem gewählten Rahmen.

Das ganze für beide Fälle addiert und heraus kommt 0,091=9,1%

@ shui

Zitat:

Zitat: @Amateur Zitat: P("Beide Zahlen sind identisch") = 0,9*1/9 + 0,1*1/10 = 11 % Das stimmt nicht ganz. Ich kann nicht einmal genau sagen, was diese Wahrscheinlichkeit ausdrückt ^^°

Da hast Du natürlich Recht. Habe vor lauter Bemühen ein rundes Ergebnis zu produzieren, die Quadrate vergessen, denn natürlich müssen immer Beide Personen zum gleichen "Rate-Typ" gehören. Mir ging es auch mehr um die Tendenz, denn die Aufgabe läßt bei der "Unendlichkeit der Möglichkeiten" natürlich "0" vermuten, die Wahrscheinlichkeit wird aber in Wirklichkeit deutlich größer sein.

Wenn man es auf die Spitze treibt, wird man auch festellen, dass die Zahlen der beiden genannten Gruppen ebenfalls nicht gleichverteilt sind. Wäre tatsächlich mal interessant, wie ein entsprechendes Experiment ausginge. Aus dem Gefühl heraus würde ich behaupten, dass "3" mit großem Abstand der "Sieger" sein wird.


Gruß Andreas

Zitat:

hängt der weltfrieden davon ab? gruebel

Ja, er könnte tatsächlich davon abhängen. Wenn sich die Menschen nämlich mit dieser - zugegeben unwichtigen - Frage beschäftigen würden, hätten sie keine Zeit zum Krieg führen!

Also, weg von der Front, heran an die Fronten des logischen Denkens!

Zitat:

Aus Wikipedia:

... zweieinhalb Jahrtausende mussten wir auf Wikipedia warten, nun ist es da, Gott sei Dank!

Erstmal die allgemeine Formel:
Die Wahrscheinlichkeit dass eine Person die Zahl "n" aufschreibt sei P_einzel(n).
Diese ist für beide gefragten Personen wegen der Symmetrie der Aufgabenstellung dieselbe.
P_beide(n) = P_einzel(n) * P_einzel(n) und P_gesamt = Summe(P_beide(n)).

Wenn also P_einzel(1) bis P_einzel(9) je 10% und P_einzel(10) bis P_einzel(19) je 1%, so

Zahl P_einzel P_beide

0 0,00% 0,00%
1 10,00% 1,00%
2 10,00% 1,00%
3 10,00% 1,00%
4 10,00% 1,00%
5 10,00% 1,00%
6 10,00% 1,00%
7 10,00% 1,00%
8 10,00% 1,00%
9 10,00% 1,00%
10 1,00% 0,01%
11 1,00% 0,01%
12 1,00% 0,01%
13 1,00% 0,01%
14 1,00% 0,01%
15 1,00% 0,01%
16 1,00% 0,01%
17 1,00% 0,01%
18 1,00% 0,01%
19 1,00% 0,01%

100,00% 9,10%

So blöd die Frage auch ist, es ist eine gute Übung für Excel.
Weiß z.B. jeder, dass man Zellen auch auf "Prozent" formatieren kann?

Zu den Zahlen:
0 zähle ich zu den natürlichen Zahlen, da es natürlich ist, dass der Geldbeutel auch mal leer ist.
20 nennt niemand, da dies die langweiligste Zahl im Universum ist, oder kennt jemand jemanden der 20 als Lieblingszahl hat?
Dafür wird sehr häufig die 42 auftreten.
Und die meisten Chinesen werden die 8 schreiben.

Um der ursprünglichen Frage ein wenig näher zu kommen, schlage ich vor die Verteilung der gewählten Zahlen als Poissonverteilung anzunehmen (mit Parameter L)...
damit kann man nämlich schön rechnen und als Modell sollte sie auch taugen, da sie zumindest für alle natürlichen Zahlen definiert ist.

Dann ist

Summe (n=0 bis unendlich) P_einzel(n)^2
= Summe (n=0 bis unendlich) ( L^n / n! )^2 * e^(-2L)
= e^(-2L) * Summe (n=0 bis unendlich) (L^2)^n/ (n!)^2

Die Summe entspricht nun aber bis auf den Faktor 1/n! der Reihenentwicklung von e^(L^2), dieser Faktor beschränkt aber den Wert der Reihe so stark beschränken, dass er mit wachsendem L langsamer wächst als die Exponentialfunktion fällt.

Für L=20 (also wird im Durchschnitt die Zahl 20 gewählt) ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von etwa 6.3 %.
L=40 : 4.46 %
L=60 : 3.6 %
L=100: 0.007 %.

Ab einer mittleren ausgesuchten Zahl von 84 ist die Wahrscheinlichkeit unter 1 % und macht dann sehr schnell die Biege gen 0.

@ Würze:

Das hängt sehr stark vom Belohnungsversprechen dessen ab, der die beiden Menschen dazu auffordert, diese Zahlen niederzuschreiben.

Haben sie gar nichts davon, werden sie sich weigern, die Zahl aufzuschreiben, warum auch?

Werden sie belohnt, haben beide dieselbe Zahl, so wird jeder die "1" oder aber die "0" aufschreiben, da so die Wahrscheinlichkeit am größten ist!

Du musst also die "Mitspielbedingungen" schon besser formulieren!

1 durch Unendlich

Hallo,

kann nicht sein, denn es gibt keinen so großen Zettel, um darauf eine auch nur annähernd unendlich große Zahl zu schreiben. Außerdem haben die Schreiber nicht genügend Zeit eine solche Zahl zu schreiben. Geschweige denn, so viele Stifte....

Wahrscheinlichkeiten lassen sich aus dem Verhältnis definierter Mengen errechnen. Da dies in diesem Fall nicht so ist, lässt sich keinerlei Wahrscheinlichkeit errechnen oder darstellen.

Grüße

Zitat:

Außerdem haben die Schreiber nicht genügend Zeit eine solche Zahl zu schreiben. Geschweige denn, so viele Stifte....

Ach, es kommt nur darauf an, WIE man zählt. Soll heißen, auf Grundlage welcher Basis. Wir zählen mit der Basis 10, das ist einfach. Für den Computer muss man aber auch mal mit der basis 2 (binär) oder 16 (hexadezimal) zählen können.

Das sind alles aber nur lustige Spielereien. Es gibt Zahlen, wie Gogolplex (10^10^100) die lassen sich überhaupt nicht mehr normal darstelen, weil sie aus mehr Zahlen bestehen, als im sichtbaren Universum Elementarteilchen erwarten werden. Aber man kann sie noch darstellen.

Schwierig wird es dann mit der Grahamszahl, die größte, jemals in einem (sinnvollem) mathematischen beweis benutzte Zahl. Die ist so groß, dass ich nicht einmal eine Idee habe, wie man diese überhaupt aufschreiben, geschweige denn mit ihr rechnen kann...
Aber, jemand hat es getan, obwohl diese Zahl das 64 Folgenglied einer Zahlenfolge ist, deren drittes Glied sich bereits nicht einmal mehr mit hochzeichen darstellen lässt.
Dennoch lassen sich auch enorm große Zahlen problemlos mit endlichem Material in endlicher Zeit darstellen. Daran dürften also Wissenschaftler kaum scheitern

Hallo,

ääh, ist schon richtig, nur könnte dann auch die Exponentenreihe so groß werden, dass sie wieder auf kein Blatt Papier passt....

Wie auch immer, wenigstens die Wahrscheinlichkeit können wir immer auf ein Blatt Papier schreiben, denn die liegt zwischen 0 und 1, oder in Prozent zwischen 0 und 100. Wobei, wenns denn so ein Ding wie Pi ist, dann reicht wieder kein Papier, die sog. Kreiswahrscheinlichkeit !!!

Aber egal, in der Ausgangsfrage gibt es keine zureichend definierten Mengen und damit gibt es auch keine Wahrscheinlichkeit zu errechen. Aus basta.

Viele Grütze

Stimmt, man kann sich anstellen wie man will, nichtperiodische Dezimalzahlen lassen sich nicht vollständig aufschreiben...
Hinzu kommt natürlich, dass Pi als solches nicht ausgerechnet, sondern mittels mathematischer Funktionen nur angenähert wird. Diese Funktionen sind nun von einer solchen Struktur, dass sie beliebig erweitert werden können.

So,

um zu einem Ende zu kommen, hier noch meine Lieblingsformel für Pi, falls ich es mal wieder genau brauche und der Taschenrechner nur über Winkelfunktionen verfügt und nicht Pi.

Pi = n*sin(180°/n) mit n gegen unendlich.

so bekommt man bei n=1.000.000 Pi auf 11 Dezimalstellen genau. Finde ich philosophisch auch sehr interessant, da die Formel von der Berechnung eines n-Eckes herrührt.

Die Aussage wäre dann wohl, dass es gar keinen Kreis gibt, also keine Krümmung im strengen Sinn.

Viel Grütze

Zitat:

Original von Würze Aus der Menge der Menschen auf der Erde, die wissen, was eine natürliche Zahl ist, werden per Los zwei Menschen ausgewählt. Jeder schreibt geheim eine natürliche Zahl auf einen Zettel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, das diese Zahlen gleich sind?

Die Wahrscheinlicheit P ist das Verhältnis der günstigen Ereignisse zu den möglichen Ereignissen. Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, d.h. jeder der beiden ausgewählten Menschen wählt aus einer unendlichen Ereignismenge, d.h. P ist x/unendlich, d.h. jedenfalls unbestimmt. M.a.W. man kann für die Frage keine Wahrscheinlichkeit als Antwort angeben.