Spaßige Potenzreihe

Man kennt die Potenzreihe für exp(x) als (k=0 bis ) x^k/k!.
Wie man leicht erkennt konvergiert diese Reihe für jedes endliche x,
für x-> divergiert die Reihe und für x->- geht die Reihe gegen 0,
was man an der Reihe für die e-Funktion aber überhaupt nicht erkennen kann!

Weiß irgendjemand wie man anhand der Potenzreihe das Verhalten einer Funktion für Argument gegen +- erkennen kann?

Ein spaßiges Verhalten zeigt die Potenzreihe Spaß(x) = (k=0 bis ) x^k/(k!)^2, also wenn man den Nenner gegenüber der e-Funktions-Reihe quadriert.
Vlt hat jemand einen gescheiten Funktionsplotter, die Funktion sieht für x<0 lustig aus.
Auf welchen Grenzwert läuft diese Funktion für x->- ?

Es gibt einen virtuellen Kasten Bitburger zu gewinnen !

Hi !


Spannende Aufgabe !
Merke, dass ich im Stoff nicht mehr fit bin, aber ich versuch´ mich mal:

Wir nutzen zunächst für x>0 die Eigenschaft der absoluten Konvergenz von "exp" aus:
(man kann ja dann die "Reihe der Produkte" als "Produkt der Reihen" schreiben)

Summe (k=0 bis unendlich )[ x^k / k!^2]
=
Summe (k=0 bis unendlich )[(x^1/2)^k/k! * (x^1/2)^k/k!]
=
Summe (k=0 bis unendlich )[(x^1/2)^k/k!] * Summe (k=0 bis unendlich )[(x^1/2)^k/k!]
=
exp(x^1/2) * exp(x^1/2)
=
exp(2*x^1/2)


Das "gemeine" nun natürlich, dass x^1/2 nicht reel für x<0


Hatte nun zunächst einen Trick versucht, war aber Unsinn, die Funktion hat also für negatives x, komplexe Funktionswerte:

exp(2*i*/x/^1/2)
=
cos(2*/x/^1/2) + i*sin(2*/x/^1/2)

Puh, wenn das so stimmt, dann divergiert die Funktion also für x gegen negativ Unendlich.


Gruß Andreas

Zitat:

Original von Amateur Wir nutzen zunächst für x>0 die Eigenschaft der absoluten Konvergenz von "exp" aus: (man kann ja dann die "Reihe der Produkte" als "Produkt der Reihen" schreiben) Summe (k=0 bis unendlich )[ x^k / k!^2] = Summe (k=0 bis unendlich )[(x^1/2)^k/k! * (x^1/2)^k/k!] = Summe (k=0 bis unendlich )[(x^1/2)^k/k!] * Summe (k=0 bis unendlich )[(x^1/2)^k/k!]

Hallo Amateur,
danke für den Versuch. Leider liegt der Fehler schon in den ersten Zeilen. Summe(Quadraten) Summe(linear) * Summe(linear).
Du hast die Zwischenprodukte vergessen. Es ist auch nicht a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c) * (a+b+c).
Desweiteren wäre nach deiner Argumentation Spaß(x) für x<0 komplexwertig. Sie ist aber reell, da sie ebenso wie exp(x) nur aus alternierenden reellen Summanden besteht.

Leider die Vorrunde nicht bestanden. Weiter probieren.

hallo !


Da hast Du natürlich recht, "mein" Cauchyprodukt aus dem Gedächtnis war Unsinn.War auch total schockiert von der Tatsache, dass da nun "plötzlich" komplexe Funktionswerte auftauchten
Merke dass da doch Einiges verschüttet ist. Das macht die Aufgabe aber umso interessanter. Werde also weiter "kämpfen" ...

Andreas

Hm, also klar ist erstmal, dass die durch die Reihe definierte Funktion für alle reellen x konvergiert. (Majorantenkriterium: jeder Summand ist betragskleiner als der bei der Reihe zur Exponentialfunktion, und die konvergiert absolut auf ganz R.)
Eine Aussage für den Grenzwert x->-inf kann man daraus aber nicht so ohne Weiteres ableiten, und auch keine Darstellung durch elementare Funktionen. Auch mit der numerischen Berechnung solcher Reihen muss man für betragsgroße x (d.h. x<<0 oder x>>0, in diesem Fall vor allem x<<0) sehr vorsichtig sein, da man ständig große Zahlen voneinander abzieht, was zu groben Rundungsfehlern führen kann.

@ Würze:

Dir gehe ich NICHT auf den Leim!

Dein versprochener (virtueller) Kasten Bitburger ist (virtuell) alkoholfrei!
Mit (virtuell) angestrebter Alkoholkonsum kann also somit virtuell nicht befriedigt werden.

Zitat:

Original von Farnaby Hm, also klar ist erstmal, dass die durch die Reihe definierte Funktion für alle reellen x konvergiert. (Majorantenkriterium: jeder Summand ist betragskleiner als der bei der Reihe zur Exponentialfunktion, und die konvergiert absolut auf ganz R.) Eine Aussage für den Grenzwert x->-inf kann man daraus aber nicht so ohne Weiteres ableiten, und auch keine Darstellung durch elementare Funktionen. Auch mit der numerischen Berechnung solcher Reihen muss man für betragsgroße x (d.h. x<<0 oder x>>0, in diesem Fall vor allem x<<0) sehr vorsichtig sein, da man ständig große Zahlen voneinander abzieht, was zu groben Rundungsfehlern führen kann.

Das kann ich natürlich alles unterschreiben. Während man aus der exp-Reihe erkennen kann, dass die Ableitung gleich der Funktion selbst ist, geht das bei der Spaß-Reihe nicht. Die Exponentialfunktion stellt somit eine absolute Besonderheit dar. Aus dieser Besonderheit kann man auch schließen, dass die exp(x) in die eine Richtung stark wächst, während sie in die andere gegen 0 schrumpft. Bei allgemeinen Potenzreihen scheint dies nicht zu gehen. Dabei ist das nicht unwichtig, es ist ziemlich einfach Lösungen von Differentialgleichungen als Potenzreihen hinzuschreiben, nur was macht man dann damit?
Die Spaß-Reihe steht symbolisch für eine beliebige Potenzreihe.
Ist es denn ein ungelöstes/unlösbares mathematisches Problem deren Verhalten gegen +- festzustellen?
Man findet dazu im Internet einfach nichts.

Zitat:

Die Spaß-Reihe steht symbolisch für eine beliebige Potenzreihe. Ist es denn ein ungelöstes/unlösbares mathematisches Problem deren Verhalten gegen +-unendlich festzustellen? Man findet dazu im Internet einfach nichts.

Hm... Die meisten Potenzreihen konvergieren ja nicht einmal für alle rellen Zahlen. :-)

Einige schöne, sehr allgemeine Sätze kann man herausbekommen, wenn man Potenzreihen von komplexen Zahlen betrachtet: Das ist ein Teil der sogenannten "Funktionentheorie". Es kann zum Beispiel gezeigt werden, dass Potenzreihen in der komplexen Ebene stets auf einer exakt kreisförmigen Fläche um den Entwicklungspunkt (bei unserer Reihe also x=0) konvergieren. In unserem Fall heißt das - da die Potenzreihe wie wir wissen ja auf ganz R konvergiert - dass sie sogar auf ganz C, d.h. für alle komplexen Zahlen, konvergieren muss.

Man kann aus diesem Satz noch viele andere lustige Dinge schließen: Z.B. wenn wir eine Taylor-Reihe von f(x)=1/(1+x^2) um x=0 berechnen, so kann diese für x>1 definitiv nicht mehr konvergieren, obwohl f(x) selbst ja auf ganz R stetig und unendlich oft differenzierbar ist. Warum? f(x) besitzt bei x=i eine Singularität, daher kann die Potenzreihe, die f(x) um 0 darstellt nur auf einem Kreis mit dem Radius 1 konvergieren, daher nicht mehr für x>1.

Zurück zu unserer Reihe "Spaß": Da sie auf ganz C konvergiert und offenbar nicht konstant ist, kann man aus Sätzen der Funktionentheorie weiter folgern, dass sie im "komplexen Unendlichen" eine Singularität besitzen muss, genau wie die e-Funktion. (d.h. Spaß(1/x) besitzt eine Singularität für x->0)

Das sagt aber nichts über den Grenzwert aus, wenn wir die Funktion in einer bestimmten Richtung gegen unendlich gehen lassen. Den kann man für "eine beliebige Potenzreihe" nicht so allgemein angeben, kann ihn aber in Einzelfällen wie z.B. der e-Funktion ausrechnen. Ob das bei deiner Spaß-Funktion geht, weiß ich ehrlich gesagt nicht. Hast du es versucht?