Kants synthetische Urteile

Hallo!

Als Amateur in Sachen Philosophie, habe ich mir nun, nachdem ich einige Einführungen in die Philosophiegeschichte gelesen habe, vorgenommen, mich mit einem Philosophen und dessen System auseinander zu setzen. Meine Wahl fiel dabei auf Kant.
Dazu befass ich mich gerade mit einem Einführungswerk (Eberhard Döring) und der Prolegomena.
Nach anfänglichen Fortschritten, komme ich nun aber nicht mehr weiter. Irgendwie erschließen sich mir die synthetischen Urteile nicht ganz.

In der Prolegomena §2c schreibt Kant, dass rein mathematische Sätze immer synthetische Urteile sein müssen. Wie kommt er darauf?

7+5=12

Ein analytisches Urteil ist doch eine Herauslösung des Prädikats aus dem Subjekt, zu Beschreibung. Aber ist nicht mit der Summe von 7 und 5 immer die 12 gemeint? Also im Subjekt "7+5" das Prädikat "=12" schon von vorhinein enthalten? Demzufolge müsste der Satz doch ein analytisches Urteil sein.

Ich weiß nicht, wie der Satz "7+5=12" meine Erkenntnis vermehren soll.

Oder habe ich hier einen Denkfehler?

mfg AlexZ11

Über 1000 Beiträge zu (mehr oder weniger) diesem Thema, findest du hier:
synthetische Urteile a priori in der Mathematik

Ich muss sagen, dass ich intuitiv deiner Sicht zustimme, es aber darauf ankommt, was Kant genau synthetisch nennt.

Was ich nach überfliegen des Verlinkten dazu sagen kann:

Die Synthese liegt wohl in der Rechnung. Wäre die "12" in "7+5" enthalten, würde ich sie automatisch "mitdenken" wenn ich "7+5" sehe.

Da ich den Verstand zum rechnen gebrauche (deutlicher wird es bei großen Zahlen) ist es mehr als nur eine Analyse von "7+5".

Die Gegenposition sagt, dass ich durch Kenntnis gewisser Axiome und der Bedeutung der Zeichen "7", "+", "5" und deren Reihenfolge eindeutig weiss, dass die Zeichenkette "7+5" das gleiche wie "12" bedeutet.

Oh danke!

Hätt ich mal besser die Suchfunktion benützt

mfg

Das wäre eine Möglichkeit

Falls es jemanden gibt, der die ganze Diskussion damals verfolgt hat und sich fähig fühlt diese neutral zusammenzufassen, bitte ich diese Person dies hier zu tun. Das Thema scheint immer wieder Fragen aufzuwerfen und aus eigener Erfahrung kann ich sagen, dass es beim verlinkten Thread nach den ersten 5-7 Seiten etwas zäh wird. Es wäre praktisch die Ergebnisse bzw. Positionen der Teilnehmer kurz zu umreißen und sie so all denen zugänglich zu machen, die nicht 1000 Beiträge bis ins Detail anschauen wollen.

Ein analytisches Urteil sagt im Prädikat etwas aus, das im Subjekt bereits enthalten ist.
zB: Der Kreis ist rund. Das Quadrat hat vier Ecken

Ein synthetisches Urteil sagt im Prädikat etwas aus, das im Subjekt noch nicht enthalten ist.
zB: Der Kreis hat einen Durchmesser von 10 cm. Das Quadrat hat eine Seitenlänge von 5 cm.

3 + 30 = 33 ist somit ein analytisches Urteil.

Die meisten Mathematiker und - so weit mir bekannt ist - auch die meisten heutigen Philosophen, die sich mit solchen Fragen befassen, halten die Sätze der Mathematik für analytisch. (Nicht nur) In diesem Punkt ist Kant für die meisten Philosophen überholt.

Zitat:

Original von DreamingNB: "Da ich den Verstand zum rechnen gebrauche (deutlicher wird es bei großen Zahlen) ist es mehr als nur eine Analyse von "7+5"."

Deutlicher wird es m.E. auch, wenn man bei einfachen Zahlen bleibt aber mal ein anderes Rechenverfahren versucht, z.B. die Wurzel aus 2 (leider weiß ich nicht wie man hier ein Wurzelzeichen einfügt )

Wurzel 2 = 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 718...

Da es sich hierbei um eine irrationale Zahl handelt, kann die letzte Kommastelle nie ganz genau bestimmt werden (die genaue Zahl kennen wir also nicht). Durch immer genaueres berechnen (z.B. mit dem Newtonschen Näherungsverfahren) können wir jedoch unsere Kenntnis dieser Zahl erweitern und zwar a priori. Oder will man etwa sagen, wir kennen die genaue Zahl zwar nicht, dennoch können wir wissen, dass sie in der Wurzel aus Zwei bereits enthalten ist?

Noch anders ausgedrückt:
Die Rechnung Wurzel aus 2 kann man weiterhin auch so darstellen:

2^0,5 = 1,4142135623... (soll heißen zwei hoch 0,5)


Wo ist die Zahl nun enthalten, in der 2, der 0,5 oder der Potenz?

Ich kann nur sehr davor warnen die ganze Diskussion hier zu wiederholen. Gefragt war eine neutrale Zusammenfassung. Diskussion gab es doch im anderen Thread genug.

Zitat:

Original von Kai: Ein analytisches Urteil sagt im Prädikat etwas aus, das im Subjekt bereits enthalten ist.

Oder nochmal anders: Wenn wir die Zahl bereits mitdenken (sie also im Subjekt bereits enthalten ist) wie kann es dann sein, dass wir sie nicht kennen?

Ein analytisches Urteil setzt mit unter eine sehr umfangreiche und tiefgehende Analyse voraus. Dass wir ein Urteil nicht von vornherein kennen oder sehr schnell, sehr leicht feststellen können, ist für mich kein hinreichendes Argument dafür, dass ein bestimmtes Urteil kein analytisches Urteil ist. Es ist nicht immer so leicht wie bei
4 + 40 = 44.

Ich errinere mich nicht so recht aber war Kants Meinung nicht das 5+7=12 kein analytisches Urteil ist, weil in der 12 ja auch 6+6 oder 4+8 gedacht sein kann.
Materie ist ausgedehnt sei dagegen ein analytisches Urteil, weil ausgedehntheit immer schon mitgedacht wird bei Materie.

Mathematische Urteiel seine deshalb synthetisch, aber a priori gültig. Ic halte aber wie Kai schreibt auch solche mathematischen Urteile für analytisch.

Zitat:

Ein analytisches Urteil setzt mit unter eine sehr umfangreiche und tiefgehende Analyse voraus. Dass wir ein Urteil nicht von vornherein kennen oder sehr schnell, sehr leicht feststellen können, ist für mich kein hinreichendes Argument dafür, dass ein bestimmtes Urteil kein analytisches Urteil ist.

Also wenn ein analytisches Urteil ein erläuterndes Urteil sein soll, bei dem wir das Prädikat im Subjekt bereits (bestimmt oder unbestimmt mitdenken), dann müsste es aber wenigstens möglich sein, das Prädikat vollständig herauszufinen. Das ist hier aber nicht der Fall! Wir können nicht einmal sagen, ob die Zahl eine begrenzte Anzahl von Nachkommastellen besitzt oder nicht, geschweige denn aus der "Analyse" (im Kantischen Sinne) der im Subjekt enthaltenen Zahlen irgendetwas näheres über die Zahl angeben.

Und hier liegt glaube ich auch das Problem. Viele Leute verstehen m.E. das Wort "Analyse" wie Kant es meinte falsch und fassen es zu weit. Sie verstehen so etwas wie Untersuchung, wo Kant bloß Zergliederung meinte. Wenn du jemandem erläuterst, was bei dem Begriff 5 und bei dem Begriff 7 und dann bei dem Vorgang der Subtraktion gedacht wird, wirst du mit keinem wort den Begriff der 2 erwähnen der sich aus beidem ergeben kann. (7-5= 2) Aus den selben Begriffen kann sich weiterhin die -2 ergeben, die ebenfalls nicht in diesen Begriffen steckt (5 -7= -2). Es ist hier m.E. auch völlig sinnlos von irgendeiner neuen Behandlung der Mathematik zu reden, die sich auf irgendwelche Axiome beruft. Unser Denken funktioniert noch genauso wie zu Kants Zeiten und ich würde gern mal sehen auf welche Axiome man die Zahl 1,4142135623 7309504880... aus der Rechnung 2^0,5 zurückführen will.

Hallo,

ich glaube man muß unterscheiden zwischen einem mathematischen Satz und einem mathematischen Problem.

Z.B. ist die Gleichung 7+5=x kein Satz sondern ein Problem. Um die Lösung dieses Problems zu finden muß man es zuerst analysieren, d.h. man untersucht : "Was ist gegeben?", "Was ist gesucht?".
Gegeben ist eine Gleichung, genauer gesagt eine Addition der beiden Zahlen 7 und 5, nach den bekannten Rechenregeln muß x also 12 sein.
Bei schwierigeren Aufgaben muß man sogar herausfinden, ob es einen Satz oder ein 'Muster' ( z.B. Algorithmus ) gibt, auf den man das Problem anwenden kann.

Bei einem mathematischen Satz hingegen versucht man aus bisher bekannten gültigen Aussagen eine neue allgemeingültige Aussage zu formen.
Z.B. könnte man aus den Aussagen "Wenn x0 ein kritischer Punkt des C^1-Vektorfeldes v:Omega->R^n ist" und der Aussage "...und jeder Eigenwert der Ableitung v'(x0) einen negativen Realteil hat" die Aussage "dann ist x0 ein Attraktor" erstellen. (Satz von Poincare-Ljapunow)
Daher handelt es sich hierbei meiner Meinung nach um eine Synthese, ich glaube das ist, was Kant gemeint hat. ( Will man allerdings den Beweis des Satzes suchen wird es wieder analytisch, denn man muß sich erneut fragen was gegeben und was gesucht ist )


Viele Grüße
Agathon

P.S. Vielleicht hatte Kant die Mathematik auch einfach viel zu philosophisch gesehen

Ich bin kein Mathematiker, auf diesem Gebiet nur ein interessierter Laie. Aber als solcher sage ich: Wenn sich bestimmte besonders komplizierte mathematische Aufgaben, Probleme, Gleichungen etc. nicht eindeutig lösen lassen sollten, dann werden die diesbezüglichen mathematischen Urteile dadurch doch nicht per se zu synthetischen Urteilen a priori. Sie werden vielleicht zu Hypothesen.

Es ging Kant doch - so weit ich weiß - darum, herauszufinden, was man durch reine Gedankenarbeit, ohne Hilfe (empirischer) Erfahrung, wissen kann. Durch reine Gedankenarbeit kann ich das Wissen erringen, dass die Wurzel von 4 = 2 ist. Aber ich kann niemals wissen, wie groß ein Kreis ist, wenn ich ihn nicht gesehen, nicht vermessen habe.

Zitat:

Original von Thanasius Lakon Wurzel 2 = 1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 718

Das ist falsch. Und selbst wenn es stimmen würde, dann wäre es eine Definition der Wurzel(2), eine alternative Schreibweise aber keine synthetische Erkenntnis .

@DreamingNB

Ein paar Feststellungen des verlinkten Threads die sich mir ergeben haben sind folgende.

(a)
Das 5+7=12 analytisch ist zeigt sich einfach indem man die Gleichung zergliedert:

5=1+1+1+1+1
7=1+1+1+1+1+1+1
12 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

setzt man stur die zergliederten Terme ein erhält man
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

Ein Vergleich der linken und rechten Seite zeigt die Identität und der Satz ist daher analytisch.

(b)
5+7=12 besitzt formal gar nicht den Charakter von dem was Kant unter einem Urteil versteht.

(c)
Mathematische Sätze hängen von den gewählten Axiomen ab. Im Extremfall können sich mathematische Sätze sogar widersprechen wenn sie auf verschiedenen Axiomen basieren. Daher kann ein mathematischer Satz gar keine "Erkenntnis" liefern und somit schon gar nicht synthetische Erkenntnis apriori. Soll heissen, Mathematik mag ev. apriori sein, sie liefert aber keine Erkenntnisse über die Erfahrungswelt sondern Aussagen die nur innerhalb ihres formalen Systems strenge Gültigkeit besitzen.

(d)
Kant versteht diese Gleichung irgendwie nicht formal und sieht darin nicht die mathematische Tautologie die es ist. Sondern er meint damit eher das Abzählen mit den Fingern wie es Kinder in der Grundschule lernen. Und um mit Fingern zählen zu können muss man auf die Anschauung zurückgreifen. Somit braucht es dazu Zutaten die nicht schon in der Gleichung drinnstecken, was den synthetischen Charakter ausmachen soll.

(e) (weiss nicht mehr ob das im Thread vorkam)
Einfache Additionen im Sinne von Fingerzählen können als genetisch apriori betrachtet werden, soll heissen die Fähigkeit zum Addieren hat der Mensch bei der Adaption an die Umwelt infolge der natürlichen Selektion hinzugewonnen. Demzufolge ist diese Fähigkeit aus der Erfahrung entlehnt und somit in gewissem Sinne aposteriori.

Zitat:

Original von Agathon: Z.B. ist die Gleichung 7+5=x kein Satz sondern ein Problem. Um die Lösung dieses Problems zu finden muß man es zuerst analysieren, d.h. man untersucht : "Was ist gegeben?", "Was ist gesucht?".

Ganz genau! So lange ich mir die gegebenen Begriffe ansehe und schaue was sie enthalten, bekomme ich eine Reihe analytischer Urteile. Das Ergebnis selbst ist aber in diesen noch nicht enthalten. Es entsteht erst bei einer synthetischen Verbindung der gegebenen Größen.

Zitat:

Original von Kai:Wenn sich bestimmte besonders komplizierte mathematische Aufgaben, Probleme, Gleichungen etc. nicht eindeutig lösen lassen sollten, dann werden die diesbezüglichen mathematischen Urteile dadurch doch nicht per se zu synthetischen Urteilen a priori.

Das war auch gar nicht mein Argument und das wir die Wurzel aus zwei nicht auflösen können, liegt auch nicht daran, dass die Aufgabe so kompliziert wäre. Wir durchschauen die Aufgabe vollkommen und der Lösungsweg ist auch nicht schwer: Es sollte lediglich zeigen, dass das Ergebnis keinesfalls in den gegebenen Begriffen enthalten ist!

Vielleicht einfach noch mal ein anderes Beispiel: Wenn ich zwei negative Zahlen multipliziere, weiß ich noch bevor ich das Ergebnis kenne, dass das Ergebnis positiv sein muss. Du müsstest jetzt sagen: diese Erkenntnis habe ich aufgrund eines analytischen Urteils. Hier also noch mal meine Frage: Aus der Analyse (Zergliederung) welches Begriffes hast du diese Erkenntnis gezogen? Der Begriff der positiven Zahl geht nicht aus dem der Multiplikation hervor und schon gar nicht aus dem der negativen Zahl, da er diesem gerade entgegengesetzt ist. Du kannst diese Erkenntnis also nur haben, wenn du die Begriffe synthetisch verbindest!

Zitat:

Original von Schneeman: Das ist falsch. Und selbst wenn es stimmen würde, dann wäre es eine Definition der Wurzel(2)

Wieso ist das falsch? Und wie um alles in der Welt ist diese Zahl eine Definition der Rechnung 2^0,5 ???

Zitat:

Im Extremfall können sich mathematische Sätze sogar widersprechen

Das ist wahre Mathematik!

Zitat:

Original von Thanasius Lakon Wieso ist das falsch?

Thats the way it is. Du kannst noch beliebig viele Nachkommastellen anhängen, es bleibt immer falsch.

Zitat:

Und wie um alles in der Welt ist diese Zahl eine Definition der Rechnung 2^0,5 ???

2^0.5 ist keine Rechnung sondern eine Zahl. Und Wurzel(2) ist ein alternative Schreibweise dieser Zahl.

Zitat:

2^0.5 ist keine Rechnung sondern eine Zahl.

Wenn du sagst, die Potenz einer Zahl sei selbst eine Zahl, so musst du auch sagen: 4x4x4x4 ist eine Zahl und nicht vier Zahlen verbunden durch eine Rechenoperation. Das währe doch eine komische Definition von Zahl. Man könnte es höchstens einen Term nennen. Allerdings weiß ich nicht, wie das meine Fragen beantwortet oder irgendetwas beweist. Ebenso wie der Fakt (den ich zugestehe) das ein ungenaues Ergebnis strenggenommen ein falsches ist, m.E. die aufgestellten Fragen nicht beantwortet.

Zitat:

Original von Thanasius Lakon Allerdings weiß ich nicht, wie das meine Fragen beantwortet oder irgendetwas beweist.

Du schreibst eine falsche Gleichung hin, deren Falschheit du mittlerweile bestätigst, und behauptest das sei eine synthetische Erkenntis apriori. Das macht für mich wenig Sinn.

Zitat:

Du schreibst eine falsche Gleichung hin, deren Falschheit du mittlerweile bestätigst, und behauptest das sei eine synthetische Erkenntis apriori. Das macht für mich wenig Sinn.

Wenn du meinen Post wirklich gelesen hättest, hättest du vielleicht auch bemerkt, dass ich das keineswegs behauptet habe. Ich habe lediglich eine Frage gestellt, die zu erläutern dieses Beispiel allein diente. Ich habe niemals behauptet diese Zahl zu kennen (sogar mehrfach das Gegenteil betont) und demzufolge auch nicht, dass sie eine Erkenntnis sei.
(Wenn ich weiterhin sagte, wir könnten "unsere Kenntnis dieser Zahl erweitern und zwar a priori", ist das etwas völlig anderes und widerspricht keineswegs der Tatsache, dass wir die genaue Zahl nicht kennen, bzw. eine ungenaue Lösung in gewisser Weise falsch sein muss.)

Also noch einmal: Ich weiß nicht "wie das meine Fragen beantwortet oder irgendetwas beweist. Ebenso wie der Fakt (den ich zugestehe) das ein ungenaues Ergebnis strenggenommen ein falsches ist, m.E. die aufgestellten Fragen nicht beantwortet."

Zitat:

Original von Thanasius Lakon Also noch einmal: Ich weiß nicht "wie das meine Fragen beantwortet oder irgendetwas beweist.

Tja, wie lautet denn nun deine Gleichung / dein mathematischer Satz der eine Erkenntnis apriori darstellt?
Wurzel(2) = 1.4 kanns nicht sein, denn das ist falsch.
Wurzel(2) = 2^0.5 kanns auch nicht sein, denn das sind zwei Schreibweisen/Synonyme für dasselbe.
Wurzel(2) = ? fände ich auch ne komische Erkenntnis.

Wenn du gar kein Beispiel einer synthetischen Erkenntnis apriori kennst und darlegen wolltest, dann muss ich dich wohl missverstanden haben. Ich dachte darum ginge es in diesem Thread. Alles was ich in deinem Beispiel erkennen kann ist die Aussage dass die Anwendung von aufwändigen Rechenregeln Lösungen ermöglicht die man nicht intuitiv sofort sieht. Aber das bestreitet auch wohl keiner.