Unendlichkeitsbegriff - Probleme mit der Vorstellung

@Agathon: Habe da schon mal was von gehört. Nach meinem VErständnis müßte die Schildkröte mit Vorsprung eingeholt werden da die Abstände vom Vorsprung immer kleiner werden. Zumindest in deinem Beispiel. Oder ich habe es falsch verstanden.

@Würze: So wie ich das verstehe hat die eine Strecke zwischen ihren Punkten unterschiedliche Abstände als die andere. Sonst müßte sie mehr Punkte haben und man könnte sie nicht von beiden paralell zuordnen.

Aber habe heute morgen irgendwie Kopfschmerzen, weil schlecht geschlafen. Kann mich nicht so gut konzentrieren.

Hallo,

@Würze

ja das ist das Verrückte am Unendlichen, man kann eine Menge mit unendlichen vielen Punkten aufteilen und erhält wieder Mengen mit unendlichen vielen Punkten.

Interessant finde ich noch, daß die Mathematiker zwischen verschiedenen Unendlichkeiten unterscheiden, es gibt für sie das abzählbare ( z.B. die natürlichen Zahlen ) und das überabzählbare Unendliche ( die reellen Zahlen ).
Der Unterschied ist, daß man zwischen beiden keine Bijektion herstellen kann.

@Androklus
Naja die Abstände werden immer kleiner, aber der Witz bei der Sache ist, immer wenn die erste Schildkröte die Position erreicht, den die zweite beim letzten Zeitpunkt hatte, hat diese wiederum ein weiteres Stück geschafft ( auch wenn es noch so klein ist ).

@Würze
Ich kenn das Beispiel schon seit ein paar Jahren und finde es immer noch genial

Viele Grüße
Agathon

Zitat:

Original von Agathon @Androklus Naja die Abstände werden immer kleiner, aber der Witz bei der Sache ist, immer wenn die erste Schildkröte die Position erreicht, den die zweite beim letzten Zeitpunkt hatte, hat diese wiederum ein weiteres Stück geschafft ( auch wenn es noch so klein ist ). @Würze Ich kenn das Beispiel schon seit ein paar Jahren und finde es immer noch genial

Inwiefern man ein längst gelöstes Paradoxon als "genial" bezeichnen kann, darüber lässt sich streiten. Ich empfinde seit ich den Grenzwertbegriff kennengelernt habe, an "Achilles und die Schildkröte" gar nichts mehr paradox und bei Eingabe dieser Suchworte in Google wirst du von Erklärungen überschwemmt. Es ist einfach so, dass nicht nur die Summation der zurückgelegten Wegstrecken endlich ist, sondern auch die Summation der dafür benötigten Zeitintervalle. Und das ist auch schon das ganze Geheimnis.

Zitat:

@Würze ja das ist das Verrückte am Unendlichen, man kann eine Menge mit unendlichen vielen Punkten aufteilen und erhält wieder Mengen mit unendlichen vielen Punkten.

In dem Paradoxon mit den Strecken ist mir die Lösung jedoch nicht bekannt. Wenn alle drei Gleichheitszeichen im folgenden Ausdruck

Strecke A = Menge der Punkte von Strecke A = Menge der Punkte von Strecke B = Strecke B

richtig sind, ist jede Strecke A gleich Strecke B, wobei Gleichheitszeichen (2) durch Bijektion erfolgt.

Zitat:

Original von Agathon Hallo, @Androklus Naja die Abstände werden immer kleiner, aber der Witz bei der Sache ist, immer wenn die erste Schildkröte die Position erreicht, den die zweite beim letzten Zeitpunkt hatte, hat diese wiederum ein weiteres Stück geschafft ( auch wenn es noch so klein ist ). Viele Grüße Agathon

Das habe ich mir fast gedacht aber nicht wirklich verstanden. Weil man ja denkt das derjenige mit doppelter Geschwindigkeit über längere Zeit es schafft den mit Vorsprung einzuholen.

Habe ich z.B. zwei Autos. Das eine Auto fährt mit 50Km/h und das andere mit 100km/h.

Ich gebe den Auto mit 50km/h sagen wir 1000km Vorsprung. Dann hat es nach 10 Stunden: (10*50km)+1000km = 1500Km zurückgelegt.

Das zweite Auto hat nach 10 Stunden 1000Km zurückgelegt.

Nach 20 Stunden hat Auto a

(20*50)+1000km= 2000km

Auto b dann 20*100= 2000km

Also wurde nach 20 Stunden das Auto a von auto b eingeholt.


Vielleicht bin ich ja zu behämmert heute morgen(äh mittag) aber ich verstehe nicht was beim Beispiel mit der Schildkröte anders sein soll.

Und bei dem Beispiel war Würze war mir irgendwie nicht klar das die endlichen Strecken in unendlich viele Punkte aufgeteilt werden müssen. Aber eigentlich ergibt es auch nur so Sinn.

Was Bijektion ist weiß auch nicht genau. Aber hatte mir vorgestellt das es parallele Punkte auf zwei Strecken sind. Welche verbunden werden.

Zitat:

richtig sind, ist jede Strecke A gleich Strecke B, wobei Gleichheitszeichen (2) durch Bijektion erfolgt.

Was aber nicht sein kann weil sie unterschiedlich lang sind. Aber erinnert mich irgendwie an Hilberts Hotel. Es gibt nicht weniger oder mehr unendlich.


Und: Es gibt auch mal so nen Beispiel mit zwei parallelen Geraden die ins Unendliche laufen. Die sollen sich irgendwann schneiden. Habe ich nicht verstanden, weil wie soll sich etwas paralleles schneiden?

Zitat:

Original von Würze In dem Paradoxon mit den Strecken ist mir die Lösung jedoch nicht bekannt. Wenn alle drei Gleichheitszeichen im folgenden Ausdruck Strecke A = Menge der Punkte von Strecke A = Menge der Punkte von Strecke B = Strecke B richtig sind, ist jede Strecke A gleich Strecke B, wobei Gleichheitszeichen (2) durch Bijektion erfolgt..

Naja alles was du weißt ist, daß Strecke A und Stecke B als Mengen die gleiche Mächtigkeit haben.
Man kann aber keine metrischen Aussagen treffen, da die Punkte keine Länge haben...

Zitat:

Original von Androklus Und bei dem Beispiel war Würze war mir irgendwie nicht klar das die endlichen Strecken in unendlich viele Punkte aufgeteilt werden müssen. Aber eigentlich ergibt es auch nur so Sinn. Was Bijektion ist weiß auch nicht genau. Aber hatte mir vorgestellt das es parallele Punkte auf zwei Strecken sind. Welche verbunden werden. Zitat: richtig sind, ist jede Strecke A gleich Strecke B, wobei Gleichheitszeichen (2) durch Bijektion erfolgt. Was aber nicht sein kann weil sie unterschiedlich lang sind. Aber erinnert mich irgendwie an Hilberts Hotel. Es gibt nicht weniger oder mehr unendlich. Und: Es gibt auch mal so nen Beispiel mit zwei parallelen Geraden die ins Unendliche laufen. Die sollen sich irgendwann schneiden. Habe ich nicht verstanden, weil wie soll sich etwas paralleles schneiden?

Ich versuche mal das Beispiel mit den Strecken bildlich darzustellen:

-------------- Strecke A
|....|.....\....\
|.....\......-.......--
|......\.......-.........--
|.......|..........\.........\
-------------------------- Strecke B

Sieht richtig s*e aus, ich weiß. Oben eine kurze Linie, unten eine lange, die Punkte wegdenken.
Jeder Punkt von Strecke A kann nun eindeutig mit einem Punkt von Strecke B verbunden werden (4 Verbindungslinien habe ich angedeutet) und umgekehrt. Diese Abbildung ist 1:1 und heißt "bijektiv", kein Punkt von Strecke A oder B bleibt ungepaart.

Wenn nun in der Aussagenkette
[Strecke A = Menge der Punkte von Strecke A = Menge der Punkte von Strecke B = Strecke B]
jedes Gleichheitszeichen richtig ist, haben wir den Widerspruch [Strecke A = Strecke B].

Zitat:

Agathon Interessant finde ich noch, daß die Mathematiker zwischen verschiedenen Unendlichkeiten unterscheiden, es gibt für sie das abzählbare ( z.B. die natürlichen Zahlen ) und das überabzählbare Unendliche ( die reellen Zahlen ).

Der Mathematiker kennt nicht nur 2 Sorten der Unendlichkeit sondern abzählbar unendlich viele...

Nichts desto trotz verweigere ich (und das auch noch als Mathematiker...) jeder Unendlichkeit die Existenz ausser als Begriff für bestimmte endliche Phänomene.

Mir gefällt die Formulierung 'beliebig viele' für viele der beschriebenen Phänomene besser.

Es gibt beliebig viele Primzahlen, weil man aus der Kenntnis der ersten endlichen vielen, indem man sie alle multipliziert und 1 abzieht eine weitere bekommt.

Kennen werden wir deswegen stets nur endliche viele.

In der Vorstellung der Überwindung des Endlichen, z.B. mit dem Konzept der (überabzählbaren) reellen Zahlen (oder den abzählbaren Bruchzahlen), kommen wir zu Konzepten, die einen endlichen Satz anderer Regeln gehorchen mögen. Zum Beispiel es gibt stets zwischen zwei dieser Zahlen eine von den beiden verschiedene Dritte (anders als bei den natürlichen Zahlen). Dies ist aber nur eine von auf eine endliche Anzahl reduzierbare Grundregeln für die jeweilige Sicht von Unendlich.

Das stets in der Mitte zwichen zweien was ist, ist ein Modell das in der Physik vermutlich keine Geltung hat. Und ist nie explizit durchgeführt worden.

Nebenbei: In der Mathematik ist 'unendlich' ein Zeichen, dafür gibt es ein paar Regeln, fertig.

Grüße
bernstein

Zitat:

Original von bernstein Zitat: Agathon Interessant finde ich noch, daß die Mathematiker zwischen verschiedenen Unendlichkeiten unterscheiden, es gibt für sie das abzählbare ( z.B. die natürlichen Zahlen ) und das überabzählbare Unendliche ( die reellen Zahlen ). Der Mathematiker kennt nicht nur 2 Sorten der Unendlichkeit sondern abzählbar unendlich viele... Nichts desto trotz verweigere ich (und das auch noch als Mathematiker...) jeder Unendlichkeit die Existenz ausser als Begriff für bestimmte endliche Phänomene. Mir gefällt die Formulierung 'beliebig viele' für viele der beschriebenen Phänomene besser. Es gibt beliebig viele Primzahlen, weil man aus der Kenntnis der ersten endlichen vielen, indem man sie alle multipliziert und 1 abzieht eine weitere bekommt. Kennen werden wir deswegen stets nur endliche viele. In der Vorstellung der Überwindung des Endlichen, z.B. mit dem Konzept der (überabzählbaren) reellen Zahlen (oder den abzählbaren Bruchzahlen), kommen wir zu Konzepten, die einen endlichen Satz anderer Regeln gehorchen mögen. Zum Beispiel es gibt stets zwischen zwei dieser Zahlen eine von den beiden verschiedene Dritte (anders als bei den natürlichen Zahlen). Dies ist aber nur eine von auf eine endliche Anzahl reduzierbare Grundregeln für die jeweilige Sicht von Unendlich. Das stets in der Mitte zwichen zweien was ist, ist ein Modell das in der Physik vermutlich keine Geltung hat. Und ist nie explizit durchgeführt worden. Nebenbei: In der Mathematik ist 'unendlich' ein Zeichen, dafür gibt es ein paar Regeln, fertig.

Dass du als Mathematiker den Begriff "unendlich" verweigerst und lieber durch "beliebig viele" ersetzt ist etwa so sinnvoll wie wenn ein Bauer lieber "milchgebender Wiederkäuer" statt "Kuh" sagt. Dieser Beitrag liefert einfach keine nennenswerte Aussage. Lös lieber das Streckenparadoxon!

Zitat:

Original von Würze Ich versuche mal das Beispiel mit den Strecken bildlich darzustellen: -------------- Strecke A |....|.....\....\ |.....\......-.......-- |......\.......-.........-- |.......|..........\.........\ -------------------------- Strecke B Sieht richtig s*e aus, ich weiß. Oben eine kurze Linie, unten eine lange, die Punkte wegdenken. Jeder Punkt von Strecke A kann nun eindeutig mit einem Punkt von Strecke B verbunden werden (4 Verbindungslinien habe ich angedeutet) und umgekehrt. Diese Abbildung ist 1:1 und heißt "bijektiv", kein Punkt von Strecke A oder B bleibt ungepaart.

Jo. Danke für die Erklärung.

Zitat:

Wenn nun in der Aussagenkette [Strecke A = Menge der Punkte von Strecke A = Menge der Punkte von Strecke B = Strecke B] jedes Gleichheitszeichen richtig ist, haben wir den Widerspruch [Strecke A = Strecke B].

Wenn es unendlich Punkte auf beiden Strecken sind, dann können auch alle verbunden werden. Das habe ich kapiert.

Und der Widerspruch ergibt sich doch daraus das die Strecken unterschiedlich lang sind oder nicht?

Demnach kann Strecke A = Strecke B ja nicht richtig sein!
Ist das so richtig?


Naja, Bernstein habe ich jetzt auch nicht ganz verstanden. Besonders diesen Satz

Zitat:

Nichts desto trotz verweigere ich (und das auch noch als Mathematiker...) jeder Unendlichkeit die Existenz ausser als Begriff für bestimmte endliche Phänomene.

Warum sollte man Unendlichkeit für endliche Phänomene nehmen?

zum Streckenparadox:
Wenn eine 'reale'. also 'physikalische' Strecke nur endlich viele Punkte haben kann = meine Meinung, weil in der 'Wirklichkeit' eben nicht beliebig kleine Abstände und damit unendlich viele Punkte vorkommen, ist das 'Paradox' für die beiden Strecken gelöst. Da gelingt keine 1:1-Zuordnung mehr.

Wenn man das Konzept der (unendlich klein im Abstand) reellen Zahlen zuläßt, kommen halt andere Sachverhalte heraus, der Begriff der Strecke ist in dieser Welt nicht über die Summe seiner Punkte zerlegbar, aber auch nicht mit der physikalischen Wahrnehmung in Lot zu bringen. Spricht nicht unbedingt für die reellen Zahlen.

In dieser Sicht gibt es zum Beispiel auch genauso viele gerade Zahlen wie Zahlen überhaupt.
Wenn wir uns aber beliebig viele, d.h in der Betrachtung im Detail zwar eine beliebige, aber endliche Zahl vorgeben, verhält sich die Wahrnehmung parallel zur Mathematik. Zum Beispiel gibt es bis 100.000 eben nur halb so viele gerade Zahlen.

Zitat:

Warum sollte man Unendlichkeit für endliche Phänomene nehmen?

Weil alle Beschreibungswelten, z.B. die um das eine Symbol für unendlich erweiterten natürlichen/rationale/reellen Zahlen, ein endliches Regelwerk beschreiben, da ist nix mehr nicht mehr in nicht endlicher Zeit erreichbar, halte ich den Begriff an sich, wie gesagt, für nicht richtig.

Allerdings ist für die Theorie darum dann doch irgend ein Name angesagt, und um Herrgotts Willen, sollen die dann in Verzerrung des Wortsinnes eben mal das Wort 'unendlich' verwenden dürfen.
Grüße
bernstein

Heisst beliebig "abzählbar"?

Ich müßte mich erstmal in Mathematik wieder ein bißchen einlesen. Weiß nicht mal mehr den Unterschied von reellen, rationalen, irrationalen Zahlen usw.

"Natürliche" habe ich eben nochmal bei Wikipedia nachgeguckt. Man braucht ja sowas sonst nicht im Alltag(zumindest die mathematischen Unterscheidungen).
Und aus der Schule bin ich lange raus.

Begriffe:
natürliche Zahlen: von 1 an, gemäß unseren Zählen
ganze Zahlen = positive und negative und die Null
rationale Zahlen= Brüche (positiv oder negativ)
reelle Zahlen = alle, die man durch rationale annähern kann. Z.B. auch pi und Wurzel 2.

abzählbar: alle für die man eine Reihenfolge angeben kann und jedem eine natürliche Zahl zuordnen kann. Das klappt mit den rationalen
(Hier ein Abzählvers für die zwischen -1 und 1
0,1,-1,1/2,-1/2,1/3,-1/3,2/3,-2/3,1/4,-1/4, 2/4=1/2 fällt raus,.., 3/4, -3/4,...) Wenn man die jeweiligen Kehrwerte auch mit in die Reihe aufnimmt hat mann alle), aber nicht mit den reellen.

Wenn ich mich recht entsinne, ist die Menge aller Teilmengen einer unendlichen großen Menge wieder eine unendliche große Menge, aber der nächst-größeren Art von Unendlich.
Grüße
bernstein

Danke für die kleine Mathe-Nachhilfe. Das mit den Zugehörigkeiten von Zahlen habe ich verstanden. Muß sich nur noch einprägen.


Mit dem Abzählen denke ich auch. Aber was ist dann beliebig?

und

Zitat:

Wenn ich mich recht entsinne, ist die Menge aller Teilmengen einer unendlichen großen Menge wieder eine unendliche große Menge, aber der nächst-größeren Art von Unendlich.

Also gibt es doch unterschiedliche Mächtigkeiten der Unendlichkeiten?

Zitat:

Aber meine Problem ist etwas anderes. Wie kann man sich sowas denn vorstellen, falls man das überhaupt kann?

Ich habe eher das Problem, dass ich mir die Endlichkeit nicht vorstellen könnte, wenn es sie gäbe.