Modallogik, S5 - Schluss von der Möglichkeit auf die Notwendigkeit

Nach modallogischen Axiomen soll gelten: "Wenn es möglich ist, dass es notwendig ist, dass p, dann ist es notwendig, dass p."

Wie so oft versteht mein Hirn diesen Schluss nicht: Wenn etwas "möglich" ist, dann heißt das doch, dass es wahr genauso gut aber auch falsch, dass es existieren, genauso gut aber nicht existieren kann, dass es also kontigent ist. Wenn wir diese Möglichkeit nun auf die "Notwendigkeit, dass p" beziehen, dann heißt das doch nichts anderes, als dass diese "Notwendigkeit, dass p" selbst nur möglich ist, d.h. wahr aber auch falsch sein kann. Wie kann man dann auf einmal daraus die "Notwendigkeit, dass p" ableiten? Ein System, dass sowas macht, finde ich äußerst unplausibel.

Wenn es möglich ist, dass es notwendigerweise einen Gott gibt, dann muss (= notwendig) es diesen Gott doch nocht lange nicht geben. Wie kamen Logiker auf ein so komisches Schlußschema...kann man das an einem plastischen Beispiel (also keine Formalzeichen und so *g*) erklären? Ich verstehe den ersten Teilsatz, aber nicht den Schluss, der darauf hinausläuft, aus einer Möglichkeit eine Notwendigkeit abzuleiten. Das ist für mich ein so grundlegender Qualitätsunterschied, dass der nicht zu "kitten" ist.

Nochmal: Aus "es ist möglich, dass Pippen notwendig dumm ist" kann doch nicht folgen, dass "Pippen notwendig dumm ist". Damit killt man den Möglichkeitsoperator einfach so aus der Kontruktion...wieso? und führt das nicht zu komischen Ergebnissen?

Zitat:

Original von Pippen Wie so oft versteht mein Hirn diesen Schluss nicht: Wenn etwas "möglich" ist, dann heißt das doch, ..., dass es also kontigent ist.

Nein - in der Modallogik bedeutet "möglich" etwas ganz anderes als "kontingent".

Zitat:

http://de.wikipedia.org/wiki/Modallogik#...gende_Intuition Eine Aussage ist möglich, wenn sie in einer möglichen Welt wahr ist, sie ist notwendig, wenn sie in allen möglichen Welten wahr ist. Wenn man eine Aussage in diesem Sinn als möglich bezeichnet, nimmt man nicht Stellung dazu, ob die Aussage auch falsch sein könnte. Aus diesem Grund sind alle notwendigen Sachverhalte auch möglich: Wenn eine Aussage in allen möglichen Welten wahr ist, dann ist sie trivialerweise auch in mindestens einer möglichen Welt wahr. Von diesem Möglichkeitsbegriff unterscheidet sich der Begriff der Kontingenz: Kontingent ist eine Aussage genau dann, wenn sie in mindestens einer möglichen Welt wahr und in mindestens einer möglichen Welt falsch ist, wenn sie also möglich, aber nicht notwendig ist.

Zitat:

Original von Jay Ray Zitat: Original von Pippen Wie so oft versteht mein Hirn diesen Schluss nicht: Wenn etwas "möglich" ist, dann heißt das doch, ..., dass es also kontigent ist. Nein - in der Modallogik bedeutet "möglich" etwas ganz anderes als "kontingent". "Notwendig" übrigens auch. Zitat: http://de.wikipedia.org/wiki/Modallogik#...gende_Intuition Eine Aussage ist möglich, wenn sie in einer möglichen Welt wahr ist, sie ist notwendig, wenn sie in allen möglichen Welten wahr ist. Wenn man eine Aussage in diesem Sinn als möglich bezeichnet, nimmt man nicht Stellung dazu, ob die Aussage auch falsch sein könnte. Aus diesem Grund sind alle notwendigen Sachverhalte auch möglich: Wenn eine Aussage in allen möglichen Welten wahr ist, dann ist sie trivialerweise auch in mindestens einer möglichen Welt wahr. Von diesem Möglichkeitsbegriff unterscheidet sich der Begriff der Kontingenz: Kontingent ist eine Aussage genau dann, wenn sie in mindestens einer möglichen Welt wahr und in mindestens einer möglichen Welt falsch ist, wenn sie also möglich, aber nicht notwendig ist.

Notwendig p => Möglich p
Wenn p überall gilt, gilt es auch in jeder einzelnen Welt.

Umgekehrt: Möglich, daß Notwendig, daß p => Notwendig, daß p
Wenn es irgendwo ein notwendiges p gibt, Du also in irgendeiner Welt ein p hast, das alle anderen Welten sofort infiziert, dann sind alle Welten mit p infiziert.
Denn wäre irgendeine (andere) Welt nicht mit p infiziert, wäre die Aussage, daß p "notwendig"- (im Sinne von überall-wahr) sei, ja falsch.

PS - ich kann mir kein in diesem Sinne "notwendiges" p vorstellen - daher würde ich auch tunlichst nicht bestätigen, daß ich ein p für notwendig halte.
Es bloßes "vielleicht" bzw ein "nicht ausschließen können", also den Irrtumsvorbehalt äußern ist was anderes, als einem p die Existenz in einer möglichen Welt zu bescheinigen.

"Möglich" bedeutet hier, daß es im positiven Sinne konkret "denkbar" bzw. vorstellbar ist.
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Bsp Einhorn: a) "Ist es möglich, daß in einer denkbaren Welt an jeder Ecke des Universums ein gut sichtbares Einhorn steht ?"
Wenn man das bejaht, ist es egal, wie es in dieser aktuellen Welt aussieht - in einer anderen könnte es ja so sein.

b) "Ist es möglich, daß notwendigerweise (also in jeder denkbaren Welt) an jeder Ecke des Universums ein gut sichtbares Einhorn steht ?"
Wenn man das bejaht - und ein anderer feststellt, daß an der Ecke da links vorne kein Einhorn steht, war das Bejahen eine Falschaussage.

Hi.

Zunächst mal zu dem Kram aus dem Thread zu den Gottesbeweisen. Ich hatte die Ableitung von „wenn es möglich ist, dass es notwendig ist, dass p, dann ist es notwendig, dass p“ aus dem S5-Axiom „wenn es möglich ist, dass p, dann ist es notwendig, dass es möglich ist, dass p“ gepostet:

Zitat:

Stehe „L“ für den Notwendigkeitsoperator, „M“ für den Möglichkeitsoperator, „A -> B“ für „wenn A, dann B“ und „~A“ für „es ist nicht der Fall, dass A“. Das S5-Axiom lautet dann: (1) Mp -> LMp Mit Kontraposition folgt: (2) ~LMp -> ~Mp Mit LMI (LMI besagt, dass „~L~A“ dasselbe ist wie „MA“ und „~M~A“ dasselbe wie „LA“) folgt: (3) M~~L~p -> L~p Mit uniformer Substitution von „p“ durch „~p“ folgt: (4) M~~L~~p -> L~~p Mit erneuter Anwendung von LMI folgt: (5) M~M~p -> ~M~p Mit nochmaliger Anwendung von LMI folgt: (6) MLp -> Lp In Worten: Wenn es möglich ist, dass es notwendig ist, dass p, dann ist es notwendig, dass p.

Du antwortetest:

Zitat:

Ok, ich muss es leider (aus bekannten Gründen) mit Babymethodik versuchen, aber nichts destotrotz. Ich übersetze deine o.g. Schritte: (1) Wenn es möglich ist, dass p, dann ist es auch möglich, dass p (darüberhinaus) notwendig ist.

Übersetzungsfehler. Es muss lauten „wenn es möglich ist, dass p, dann ist es notwendig, dass es möglich ist, dass p“.

Zitat:

(2) Wenn es nicht der Fall ist, dass es möglich ist, dass p notwendig ist, dann ist es auch nicht der Fall, dass p möglich ist. Sprachlich korrigiert: Wenn es nicht möglich ist, dass p notwendig ist, dann ist p auch nicht möglich.

Erneuter Übersetzungsfehler. Es muss lauten: „wenn es nicht der Fall ist, dass es notwendig ist, dass es möglich ist, dass p, dann ist es nicht der Fall, dass es möglich ist, dass p“.

Aufgrund deiner falschen Übersetzung von 2 erübrigt sich dein Einwand.

Zu diesem Beitrag:

Zitat:

Nach modallogischen Axiomen soll gelten: "Wenn es möglich ist, dass es notwendig ist, dass p, dann ist es notwendig, dass p." Wie so oft versteht mein Hirn diesen Schluss nicht:

Das ist kein Schluss sondern ein Satz. Egal, weiter:

Zitat:

Wenn etwas "möglich" ist, dann heißt das doch, dass es wahr genauso gut aber auch falsch, dass es existieren, genauso gut aber nicht existieren kann, dass es also kontigent ist. Wenn wir diese Möglichkeit nun auf die "Notwendigkeit, dass p" beziehen, dann heißt das doch nichts anderes, als dass diese "Notwendigkeit, dass p" selbst nur möglich ist, d.h. wahr aber auch falsch sein kann. Wie kann man dann auf einmal daraus die "Notwendigkeit, dass p" ableiten? Ein System, dass sowas macht, finde ich äußerst unplausibel.

Hier schlägt genau das zu, was ich dir in hundert anderen Threads schon versucht habe, zu erklären. In einem formalen System kann man eben nicht einfach so festlegen, was gelten soll und was nicht; stattdessen hängt alles miteinander zusammen. So kann es vorkommen, dass die Einführung einiger plausibel scheinender Axiome zu seltsam anmutenden Theoremen führt. Hat man die klassische Aussagenlogik um die Schlussregeln für Sätze mit Modaloperatoren erweitert, erhält man S5 (in aussagenlogischer Form) durch hinzufügen von drei Axiomen: dem K-Axiom, dem T-Axiom sowie dem S5-Axiom (weshalb S5 manchmal auch „KT5“ genannt wird).

(Eine Anmerkung vorweg: „es ist notwendig, dass A“ kann man auch lesen als „in jeder möglichen Welt gilt: A“ und „es ist möglich, dass A“ als „es gibt wenigstens eine mögliche Welt, in der gilt: A“.)

Das K-Axiom lautet:

L(p -> q) -> (Lp -> Lq)

(In Worten: wenn es notwendig ist, dass: wenn p, dann q, dann: wenn es notwendig ist, dass p, dann ist es notwendig, dass q.)

Dieses Axiom dürfte einleuchten (sobald man es kapiert hat). Denn gilt in jeder möglichen Welt, dass, wenn p der Fall ist, auch q der Fall ist, dann muss selbstverständlich auch gelten, dass, wenn in jeder möglichen Welt p der Fall ist, dann auch in jeder möglichen Welt q der Fall ist.

Das T-Axiom lautet:

Lp -> p

(In Worten: wenn es notwendig ist, dass p, dann p.)

Dieses sollte ebenfalls einleuchten, denn was notwendig der Fall ist, das sollte freilich auch (wirklich) der Fall sein.

Das S5-Axiom lautet:

Mp -> LMp

(In Worten: wenn es möglich ist, dass p, dann ist es notwendig, dass es möglich ist, dass p.)

Dieses Axiom ist von den drei genannten das verzwickteste und wenn man etwas gegen S5 hat, dann liegt das wohl an diesem Axiom. Versteht man ein wenig von Modallogik, ist dieses Axiom allerdings ebenfalls völlig plausibel. In der klassischen Modallogik gilt, dass, was immer nicht widersprüchlich ist, das ist zumindest möglich. Was widersprüchlich ist, das ist unmöglich. Außerdem gelten in jeder möglichen Welt gleichsam die Gesetze und Regeln der klassischen Logik – in jeder möglichen Welten gelten also DIESELBEN logischen Gesetze und Regeln. Gibt es nun eine mögliche Welt, in der p möglich ist, d.h. in der p nicht widersprüchlich ist, dann ist p – da eben in jeder möglichen Welt dieselben logischen Gesetze und Regeln gelten – in jeder möglichen Welt nicht widersprüchlich, also möglich. Mit anderen Worten: wenn es möglich ist, dass p, dann ist es notwendig, dass es möglich ist, dass p. Mit einem analogen Argument kann man sich auch „wenn es möglich ist, dass es notwendig ist, dass p, dann ist es notwendig, dass p“ versuchen, plausibel zu machen.

Ist das nicht ein allzu freies Spiel der Kräfte ? In einer möglichen Welt ? Wieso kann ich eigentlich nicht behaupten, dass ein Kreis eckig ist, wenn dem Runden nur durch Näherungen beigekommen werden kann, oder hat die Zahl Pi plötzlich ein Ende gefunden? Ist nicht demnach jeder Gedanke eine mögliche Welt für sich ? Leibniz hat mal von der besten aller möglichen Welten gesprochen, nur ist das die Steigerung von gut und ihr Schöpfer war eben ein Gott der prästabilierten Harmonie, der es eben nicht noch besser vermochte. Denken ist Möglichkeit, Leben Notwendigkeit und die Unterscheidung zwischen beidem erfahren wir wohl immer aus der Anschauung, auf die die Modallogik nie mehr zurückgeführt werden kann. Wenn nichts wahr ist, dann ist auch wieder alles wahr und das scheint mir der Gehalt der sog. Modallogik zu sein : Tautologie.

@Reinhard

Hi.

Die Modallogik S5 ist, wie jedes andere formale System auch, ein Werkzeug. Wie jedes andere Werkzeug sollte es nur dann verwendet werden, wenn der Zweck angemessen ist. Gleichsam, wie man mit einem Hammer nur schwerlich Schrauben ziehen kann, kann man S5 nicht verwenden, wenn man der Meinung ist, dass es möglich ist, dass Kreise eckig sind, Pi endlich ist udgl. Hier muss man sich dann eben nach einem geeigneteren Werkzeug umschauen.

Darüber hinaus sind die möglichen Welten der Modallogik keine mystischen, metaphysischen Entitäten, wie du das – wenn ich dich richtig verstehe – anzunehmen scheinst. Die möglichen Welten der Modallogik sind einfach bloß Formelmengen mit bestimmten Eigenschaften. Wenn daher S5 sagt, dass in allen möglichen Welten dieselben klassischen logischen Regeln und Gesetze gelten, dann ist das keine anmaßende Behauptung über die Beschaffenheit irgendwelcher metaphysischer Entitäten, sondern einfach nur eine Forderung, welche Eigenschaften die fraglichen Formelmengen zu erfüllen haben. Diese Formelmengen HEISSEN lediglich „mögliche Welten“ - übrigens in Anlehnung an Leibnizens Idee.

Soso, Deine Metaphern scheinen mir nicht ohne Haken und Oesen zu sein. Unter Werkzeug verstehe ich schon mal was anderes, nämlich das Zuhandene, wie Heidegger sich ausdrückt. So wie ein Fernrohr die Erweiterung meines Gesichts ist, oder der Roboter die Erweiterung bestimmter Körperfunktionen. Ob ich das benutze, bleibt mir überlassen, ob ich logisch vorgehe eben nicht, denn das tue ich ohne wenn und aber, unabhängig von dem, was bei rüberkommt. Dass mir mein Intellekt zu Diensten ist, darüber besteht doch wohl kein ernsthafter Zweifel. Oder vielleicht doch? Auf was zielt die modale S5 Logik aber nun ab ? Formeln sind doch nicht ihrer selbst wegen da.

Ich bin ja kein Experte in Logik und wenn ich Grundlagen habe, gehen die nicht über das hinaus, was W.C. Salmon in seinem feinen Brevier über klassische Logik vermittelt. Das Beispiel mit dem Kreis habe ich dem hier abgelegten Link entnommen, dass ist nicht von mir und wird zur Erläuterung der Bedingungen der formalen Modallogik herangezogen. Nun ist es aber so, dass uns geometrische Verhältnisse nur durch die Anschauung verständlich werden können oder weiss jemand vielleicht apriori, dass die Winkelsumme im Dreieck immer 180 Grad beträgt ? Mindestens in diesem Beispiel, dass ja dem Verständnis dienen sollte, wird also eine Anleihe in der besten aller möglichen Welt gemacht und dann behauptet, dass sei in jeder denkbaren Welt so. Kann ich diese Anleihe vielleicht auch in einer anderen möglichen Welt machen und das in unsere übertragen? Welche Eigenschaften haben die fraglichen Formelmengen denn nun zu erfüllen? Vielleicht die, die zu einer sog. Weltformel führen könnten ? und in wessen Dienste steht diese Logik ?

Vielleicht reichts bei mir tatsächlich nicht und wenn meine Fragen keinen Sinn ergeben, dann muss es eben so sein, vielleicht brauch ich aber auch nur einen kleinen, richtigen Denkanstoss.

Mit freundlichen Grüßen
R.S.

Hi Soso, erstmal ein Dank für die ausführlicheren Erklärungen; so können auch Nichtlogiker - wie ich finde - recht gut folgen.

Zitat:

Original von -Soso- Das K-Axiom lautet: L(p -> q) -> (Lp -> Lq) (In Worten: wenn es notwendig ist, dass: wenn p, dann q, dann: wenn es notwendig ist, dass p, dann ist es notwendig, dass q.)

Dieses Axiom leuchtet mir ein.

Zitat:

Das T-Axiom lautet: Lp -> p (In Worten: wenn es notwendig ist, dass p, dann p.) Dieses sollte ebenfalls einleuchten, denn was notwendig der Fall ist, das sollte freilich auch (wirklich) der Fall sein.

Dieses Axiom leuchtet mir ebenfalls ein.

Zitat:

Das S5-Axiom lautet: Mp -> LMp (In Worten: wenn es möglich ist, dass p, dann ist es notwendig, dass es möglich ist, dass p.)

Selbst dieses Axiom leuchtet mir nach deinen Erklärungen ein.

Was ich nicht verstehe ist die Tatsache, dass man von S5 - wo ja immer nur von der "Möglichkeit, dass p" die Rede ist, später auf einmal zur Notwendigkeit von p kommt. Wie du richtig schreibst, ist das wohl das Ergebnis des Zusammenwirkens verschiedener Axiome innerhalb der Modallogik. Es muss also das System der Modallogik so aufgebaut sein, dass man (über ein paar Ecken) von einer Möglichkeit zu einer Notwendigkeit schließen kann - und gerade das finde ich so komisch. Kannst du daher vielleicht deine Beweisschritte (1) - (6) aus dem obigen Post nochmal ausformulieren? Diese ganzen ~, L, MP etc. machen mich ganz wuschig und die Übersetzung scheint mir auch nicht zu glücken, so dass ich (und andere Greenhorns) es in der Kurzschrift ohnehin nicht nachvollziehen können.

Ich dachte jedenfalls bisher immer (und jayray hat mich in dieser Vorstellung bestätigt): Es gibt den Bereich des Möglichen (=in einer mgl. Welt vorstellbar) und des Unmöglichen (in keiner mgl. Welt vorstellbar). Im Bereich des Möglichen befindet sich als spezieller Teilmengenbereich die "Notwendigkeit" (=in allen Welten vorhanden). Befindet sich nun ein p im Bereich des Möglichen, bräuchte man mind. eine Zusatzinformation, um p auch in den Notwendigkeitsbereich einordnen zu können. Diese "Zusatzinfo" suche ich nun; aus S5 oder den T- und K-Axiomen ergibt sie sich jedenfalls nicht....

Hi.

@Reinhard

Zitat:

Soso, Deine Metaphern scheinen mir nicht ohne Haken und Oesen zu sein. Unter Werkzeug verstehe ich schon mal was anderes, nämlich das Zuhandene, wie Heidegger sich ausdrückt. So wie ein Fernrohr die Erweiterung meines Gesichts ist, oder der Roboter die Erweiterung bestimmter Körperfunktionen. Ob ich das benutze, bleibt mir überlassen, ob ich logisch vorgehe eben nicht, denn das tue ich ohne wenn und aber, unabhängig von dem, was bei rüberkommt.

Ebenso verhält es sich auch mit dem modallogischen System S5. Nichts und niemand zwingt dich, es zu benutzen. Ob du für eine bestimmte Aufgabe Gebrauch von S5 machst oder nicht, bleibt zuletzt stets dir überlassen.

Zitat:

Auf was zielt die modale S5 Logik aber nun ab ? Formeln sind doch nicht ihrer selbst wegen da.

Mit S5 hat man versucht, unser intuitives Verständnis der logischen Funktionsweise der Ausdrücke „es ist möglich dass“ und „es ist notwendig dass“ zu formalisieren. Dass dies gelungen ist, bezweifle ich, nützlich ist S5 dennoch – Anwendung findet der Kram z.B. auch in der Linguistik, der Informatik und der Mathematik.

Zitat:

Nun ist es aber so, dass uns geometrische Verhältnisse nur durch die Anschauung verständlich werden können oder weiss jemand vielleicht apriori, dass die Winkelsumme im Dreieck immer 180 Grad beträgt ?

In der euklidischen Geometrie gilt a priori, dass die Winkelsumme im Dreieck 180 Grad beträgt, das folgt – vereinfacht gesagt – einfach aus bestimmten Festlegungen. Wenn jemand eine dreiecksartige Fläche auf ein Blatt Papier zeichnet und diese, weil die Seiten womöglich leicht gebogen sind, eine Innenwinkelsumme ungleich 180 Grad hat, dann ist diese Fläche per Definition schlichtweg kein Dreieck. Derart genau nimmt das im Alltag aber natürlich niemand, denn das wäre eher hinderlich als nützlich.

Zitat:

Mindestens in diesem Beispiel, dass ja dem Verständnis dienen sollte, wird also eine Anleihe in der besten aller möglichen Welt gemacht und dann behauptet, dass sei in jeder denkbaren Welt so. Kann ich diese Anleihe vielleicht auch in einer anderen möglichen Welt machen und das in unsere übertragen?

Ich verstehe die Frage nicht. Wie soll man etwas IN einer möglichen Welt machen? Mögliche Welten sind ja nicht so etwas wie Galaxien, Universen oder Paralleldimensionen, in die man reisen könnte, um dann in ihnen irgendwelche Dinge anzustellen. Mögliche Welten sind Formelmengen und in eine Formelmenge kann man nur hinein, wenn man eine Formel ist, was für uns Menschen freilich eine nicht zu erfüllende Bedingung ist^^

Oder willst du etwas FÜR eine mögliche Welt festlegen, also etwa, dass der Mittelpunkt eines Kreises von jedem Punkt der Peripherie gleich weit entfernt ist? Ist das, was du da festlegst, eine logische Wahrheit, dann gilt das – im Falle von S5 – automatisch für alle möglichen Welten.

Zitat:

Welche Eigenschaften haben die fraglichen Formelmengen denn nun zu erfüllen? Vielleicht die, die zu einer sog. Weltformel führen könnten ?

Weltformel? Wie kommst du denn jetzt darauf? Wie dem auch sei, die Bedingungen, die diese Formelmengen im Fall von S5 zu erfüllen haben, sind allesamt recht technischer Kram. Um, ohne sie weiter zu erläutern, einfach mal ein paar zu nennen: Die Formelmengen müssen maximal und konsistent sein, in ihnen müssen die Regeln und Gesetze der klassischen Logik gelten, sie müssen in einer Äquivalenzrelation zu jeder andern möglichen Welt stehen, sie müssen rekursiv durch die Formelbildungsregeln konstruierbar sein usw.

Zitat:

und in wessen Dienste steht diese Logik ?

In der des Anwenders.

@Pippen

Ich werde den fraglichen Beweis am besten mal in einer GAAAAANZ langen Variante darlegen, die aus demjenigen Grunde GAAAAANZ lang ist, weil ich pro Beweisschritt nur eine einzige Schlussregel und diese nur ein einziges mal anwenden werde. Ich werde dir auch in Klammern darunter den Kram in Wortsprache aufschreiben, allerdings wird dir das nichts helfen, da die Wortsprache bei den meisten Formeln des Beweises gänzlich unübersichtlich gerät. Daher rate ich dir, die gerade einmal fünf verwendeten Zeichen der Formalsprache zu lernen, da die Notation in Formelsprache übersichtlich bleibt (es hat eben schon seinen Grund, warum man diese Formelsprache entwickelt hat).

Zu den Zeichen:

„A“ wird gelesen als „es ist der Fall, dass A“.
„~A“ wird gelesen „es ist nicht der Fall, dass A“ oder „A ist nicht der Fall“.
„A -> B“ wird gelesen als „wenn A, dann B“ oder „wenn A der Fall ist, dann ist B der Fall“.
„LA“ wird gelesen als „es ist notwendig, dass A“ oder „es ist notwendig der Fall, dass A“.
„MA“ wird gelesen als „es ist möglich, dass A“ oder „es ist möglicherweise der Fall, dass A“.

Zu den verwendeten Schlussregeln:

Die Kontrapositionsregel:

Sie besagt, dass aus „A -> B“ („wenn A, dann B“) geschlossen werden darf auf „~B -> ~A“ („wenn es nicht der Fall ist, dass B, dann ist es nicht der Fall, dass A“). Um sie an einem Beispiel zu verdeutlichen. Nehmen wir als Prämisse „wenn es regnet, dann ist die Straße nass“. Diese Prämisse besagt, dass ohne Ausnahme gilt, dass, wann immer es regnet, dann auch die Straße nass ist. Daraus sollte schon ersichtlich sein, dass also dann, wenn die Straße nicht nass ist, es auch nicht regnet, denn würde es regnen, dann wäre die Straße ja nass.

Die Regel der uniformen Substitution:

Sie besagt, dass in einer beliebigen Formel eine beliebige Variable (also „p“, „q“, „r“ usw., ABER NICHT „~p“, „p & q“ oder ähnliches) durch eine beliebige andere Variable oder Formel (also „p“, „q“, „r“ usw. UND AUCH „~p“, „p & q“ oder ähnliches) ersetzt werden darf, SOFERN die Variable ÜBERALL in der Formel ersetzt wird. Hat man etwa die Formel „p & q & p“, dann darf man „p“ z.B. durch „s -> s“ ersetzen, sofern man BEIDE „p“ durch „s -> s“ ersetzt. Man kann von „p & q & p“ durch Subsitution von „p“ durch „s -> s“ also auf „(s -> s) & q & (s -> s)“ schließen, ABER NICHT auf „(s -> s) & q & p“.

Um ein Beispiel zu bringen: Nehmen wir als Prämisse „es regnet oder es regnet nicht“. Diese Prämisse ist trivialerweise logisch wahr. Jetzt kann man „es regnet“ durch „wenn es schneit, dann scheint die Sonne“ ersetzen um zu erhalten „wenn es schneit, dann scheint die Sonne, oder es ist nicht der Fall, dass wenn es schneit, dann die Sonne scheint“. Der Satz ist ein wenig holprig geraten, aber ein prüfender Blick sollte genügen festzustellen, dass dieser neue Satz ebenfalls eine logische Wahrheit ist. Das hat einen einfachen Grund. So ist ein Satz des Schemas „A oder B“ in einer klassischen Logik, wie auch S5 eine ist, wahr genau dann, wenn wenigstens einer der beiden Teilsätze „A“ oder „B“ wahr ist. Außerdem kann ein Satz nur entweder wahr oder falsch sein. Hat man daher einen Satz der Form „p v ~p“ (also etwa „es regnet oder es regnet nicht“), dann MUSS entweder „p“ oder „~p“ wahr sein. Damit ist aber auch sogleich der ganze Oder-Satz wahr. Ersetzt man nun die beiden „p“ (im Beispiel die beiden „es regnet“) jeweils durch denselben, auch noch so komplizierten Satz, hat man aber doch wieder nur einen Oder-Satz, auf dessen einer Seite ein Satz und auf dessen anderer dessen Negation steht. Damit MUSS wieder einer der beiden Sätze wahr sein und damit der ganze Oder-Satz. Substituiert man in andere Formeln, sieht die Sache ganz ähnlich aus. Generell gilt: Substiutiert man in eine logische Wahrheit, erhält man stets eine logische Wahrheit, substituiert man in einen Widerspruch, erhält man stets einen Widerspruch und substituiert man in einen kontingenten Satz, erhält man stets einen kontingenten Satz. Wenn die Regel der uniformen Substitution etwas seltsam anmuten sollte, kannst du ja mal versuchen, ein Gegenbeispiel zu finden, indem du etwa einen logisch wahren Satz nimmst, in ihn substituierst und dann einen Satz erhältst, der nicht logisch wahr ist – du wirst keines finden.

Die Regel der doppelten Negation:

Diese Regel erlaubt es, wenn man VOR einer Formel direkt hintereinander zwei Negatoren „~“ („es ist nicht der Fall, dass“) hat, beide Negatoren zu streichen. Aus „~~A“ („es ist nicht der Fall, dass es nicht der Fall ist, dass A“) folgt damit „A“ („es ist der Fall, dass A“). Diese Regel – denke ich – ist auch ohne Beispiel einleuchtend. Ansonsten: aus „wenn es nicht der Fall ist, dass es nicht der Fall ist, dass es schneit“ folgt „es schneit“.

Die Regel LMI (L-M-Interchange):

Wie oben geschrieben steht „L“ für „es ist notwendig, dass“ und „M“ für „es ist möglich, dass“. Die Regel LMI gibt an, wie man aus einem „L“ ein „M“ und aus einem „M“ ein „L“ machen kann. Die Regel besagt, dass „~L~A“ („es ist nicht notwendig, dass A nicht der Fall ist“) gleichbedeutend ist mit „MA“ („es ist möglich, dass A der Fall ist“) und dass „~M~A“ („es ist unmöglich, dass A der Fall ist“) gleichbedeutend ist mit „LA“ („es ist notwendig, dass A der Fall ist“). Mit LMI kann so etwa von „~L~A“ auf „MA“ schließen, indem man das „~L~“ einfach zu „M“ umwandelt, aber auch auf ~~M~~A“, indem man das „L“ zu „~M~“ umwandelt. LMI sollte einleuchtend sein, um aber die Tradition zu ehren: aus „es ist unmöglich, dass Gott keine Stupsnase hat“ folgt „es ist notwendig, dass Gott eine Stupsnase hat“. Man kann zur Veranschaulichung auch die Rede von möglichen Welten übernehmen: aus „wenn es keine mögliche Welt gibt, in der Gott keine Stupsnase hat“ folgt „Gott hat in jeder möglichen Welt eine Stupsnase“.

Nun endlich zum Beweis:

„p“ kürze ab „Gott existiert“.

(1) Mp -> LMp

(Wenn es möglich ist, dass Gott existiert, dann ist es notwendig, dass es möglich ist, dass Gott existiert.)

Dies ist die Prämisse des Beweises und sogar eine logische Wahrheit in S5.

Mit Kontraposition folgt:

(2) ~LMp -> ~Mp

(Wenn es nicht notwendig ist, dass es möglich ist, dass Gott existiert, dann ist es unmöglich, dass Gott existiert.)

Mit LMI auf das „L“ in 2 folgt:

(3) ~~M~Mp -> ~Mp

Mit LMI auf das zweite „M“ in 3 folgt:

(4) ~~M~~L~p -> ~Mp

(Wenn es nicht der Fall ist, dass es unmöglich ist, dass es nicht der Fall ist, dass es nicht notwendig ist, dass Gott nicht existiert, dann ist es unmöglich, dass Gott existiert.)

Mit LMI auf das zweite „M“ in 4 folgt:

(5) ~~M~~L~p -> ~~L~p

(Wenn es nicht der Fall ist, dass es unmöglich ist, dass es nicht der Fall ist, dass es nicht notwendig ist, dass Gott nicht existiert, dann ist es nicht der Fall, dass es nicht notwendig ist, dass Gott nicht existiert.)

Mit dem Gesetz der doppelten Negation lassen sich die beiden Negatoren am Beginn von 5 eliminieren. Es folgt also:

(6) M~~L~p -> ~~L~p

(Wenn es möglich ist, dass es nicht der Fall ist, dass es nicht notwendig ist, dass Gott nicht existiert, dann ist es nicht der Fall, dass es nicht notwendig ist, dass Gott nicht existiert.)

Mit der uniformen Substitution der beiden „p“ durch „~p“ folgt:

(7) M~~L~~p -> ~~L~~p

(Wenn es möglich ist, dass es nicht der Fall ist, dass es nicht notwendig ist, dass es nicht der Fall ist, dass Gott nicht existiert, dann ist es nicht der Fall, dass es nicht notwendig ist, dass es nicht der Fall ist, dass Gott nicht existiert.)

Jetzt wenden wir LMI auf das erste „L“ INKLUSIVE des Negators davor und desjenigen dahinter in 7 an. Es folgt:

(8 ) M~M~p -> ~~L~~p

(Wenn es möglich ist, dass es unmöglich ist, dass Gott nicht existiert, dann ist es nicht der Fall, dass es nicht notwendig ist, dass es nicht der Fall ist, dass Gott nicht existiert.)

Nun wenden wir LMI auf das zweite „M“ INKLUSIVE des Negators davor und desjenigen dahinter in 8 an. Es folgt:

(9) MLp -> ~~L~~p

(Wenn es möglich ist, dass es notwendig ist, dass Gott existiert, dann ist es nicht der Fall, dass es nicht notwendig ist, dass es nicht der Fall ist, dass Gott nicht existiert.)

Wieder wenden wir LMI an, diesmal auf das zweite „L“ INKLUSIVE des Negators davor und desjenigen dahinter in 9. Es folgt:

(10) MLp -> ~M~p

(Wenn es möglich ist, dass es notwendig ist, dass Gott existiert, dann ist es unmöglich, dass Gott nicht existiert.)

Zuletzt wenden wir LMI nochmals an und zwar auf das zweite „M“ INKLUSIVE des Negators davor und desjenigen dahinter in 10. Es folgt:

(11) MLp -> Lp

(Wenn es möglich ist, dass es notwendig ist, dass Gott existiert, dann ist notwendig, dass Gott existiert.)

Voila, q.e.d.

Zitat:

Original von -Soso- Die Regel LMI (L-M-Interchange): Die Regel LMI gibt an, wie man aus einem „L“ ein „M“ und aus einem „M“ ein „L“ machen kann. Die Regel besagt, dass „~L~A“ („es ist nicht notwendig, dass A nicht der Fall ist“) gleichbedeutend ist mit „MA“ („es ist möglich, dass A der Fall ist“).

Mit dieser Regel o. besser: Axiom (da es ja von nirgends abgeleitet ist)?!? steht und fällt dein Beweis.

Ich möchte aus didaktischen Gründen mal versuchen, sie anzugreifen. Ich gehe dabei von folgender intuitiver begrifflicher Vorstellung der Modalitäten, abgeleitet aus der Mengentheorie, aus: Es gibt eine Menge bestehend aus Möglichkeiten und Unmöglichkeiten. In der Menge der Möglichkeiten gibt es wiederum die Spezialmenge der Notwendigkeiten.

Wenn nun ein Nicht-A nicht notwendig ist, dann ist damit keinesfalls - so wie oben deine LMI nahelegt - zwingend zu folgern, dass A sich in der Menge der Möglichkeiten befinden muss; A könnte nämlich auch ganz unmöglich sein; auch dann wäre nämlich Nicht-A nicht notwendig. Wenn es nicht notwendig ist, dass Gott nicht existiert, dann kann Gott entweder existieren oder notwendig nicht existieren, d.h. ganz unmöglich sein.

Oder anders: "Es ist unmöglich, dass es keinen Gott gibt." Nur mit diesem Satz bewaffnet ergeben sich zwei Varianten: "Es ist möglich, dass es Gott gibt": "Es ist unmöglich, dass es Gott gibt."

Damit wäre LMI im ersten Teil widerlegt, wobei ich nicht weiß und grad zu müde bin zu bemerken, ob damit LMI insgesamt fällt.

Hi.

Kleine Korrektur vorweg. Ich schrieb zur Substitutionsregel:

Zitat:

Generell gilt: Substiutiert man in eine logische Wahrheit, erhält man stets eine logische Wahrheit, substituiert man in einen Widerspruch, erhält man stets einen Widerspruch und substituiert man in einen kontingenten Satz, erhält man stets einen kontingenten Satz.

Was ich da über kontingente Sätze schreibe, ist Unfug; das schrieb sich in dem Moment nur so flüssig von der Hand. Man kann aus einem kontingenten Satz durch Substitution eine logische Wahrheit, einen Widerspruch oder einen kontingenten Satz machen. So kann man in dem kontingenten Satz „p“ den Satz „p“ selber freilich durch „~p v p“, „p & ~p“ oder „q“ ersetzen.

Zitat:

Mit dieser Regel o. besser: Axiom [gemeint ist LMI] (da es ja von nirgends abgeleitet ist)?!? steht und fällt dein Beweis.

Naja, der Beweis fällt auch, wenn man irgendeine der anderen verwendeten Regeln verbietet (auf die doppelte Negation kann man womöglich verzichten), LMI nimmt da keine Sonderstellung ein (dass „L“ dasselbe ist wie „~M~“ ist übrigens einfach per Definition festgelegt, aber ja keineswegs unplausibel).

Zitat:

Ich möchte aus didaktischen Gründen mal versuchen, sie anzugreifen. Ich gehe dabei von folgender intuitiver begrifflicher Vorstellung der Modalitäten, abgeleitet aus der Mengentheorie, aus: Es gibt eine Menge bestehend aus Möglichkeiten und Unmöglichkeiten. In der Menge der Möglichkeiten gibt es wiederum die Spezialmenge der Notwendigkeiten.

Okay.

Zitat:

Wenn nun ein Nicht-A nicht notwendig ist, dann ist damit keinesfalls - so wie oben deine LMI nahelegt - zwingend zu folgern, dass A sich in der Menge der Möglichkeiten befinden muss; A könnte nämlich auch ganz unmöglich sein; auch dann wäre nämlich Nicht-A nicht notwendig.

Ich mache es mal in Formalsprache. Wir nehmen also an:

(1) ~L~p

(Es ist nicht notwendig, dass p nicht der Fall ist.)

Daraus folge nun nicht notwendig, dass:

(2) Mp

(Es ist möglich, dass p.)

Stattdessen könne auch gelten:

(3) ~Mp

(Es ist unmöglich, dass p.)

Auch so würde nämlich gelten:

(1) ~L~p

(Es ist nicht notwendig, dass p nicht der Fall ist.)

Was du behauptest, ist also, dass sowohl 1 als auch 3 gemeinsam wahr sein könnten. Das können sie nicht; verdeutlichen kann man sich das, wenn man wieder die Rede von möglichen Welten verwendet. 1 würde dann lauten:

(1) Es ist nicht der Fall, dass in jeder möglichen Welt p nicht der Fall ist.

Wenn es aber nicht der Fall ist, dass in jeder möglichen Welt p nicht der Fall ist, dann muss es offenbar wenigstens eine mögliche Welt geben, in der p der Fall ist (dies ist, was 2 besagt). Außerdem gilt andersherum: wenn es wenigstens eine mögliche Welt gibt, in der p der Fall ist, dann ist p offensichtlich nicht in allen möglichen Welten nicht der Fall. Damit ist schon einmal gezeigt, dass 1 und 2, wie von LMI ausgesagt, gleichbedeutend sind (und außerdem ist gezeigt, dass 2 notwendig aus 1 folgt).

Nun besagt 3, dass es keine mögliche Welt gibt, in der p der Fall ist. 3 ist dabei offensichtlich die Negation von 2 und damit können 2 und 3 nicht gemeinsam wahr sein. Weiterhin ist 2 gleichbedeutend mit 1, womit folgt, dass auch 1 und 3 nicht gemeinsam wahr sein können.

Aha, danke. Der Tipp mit den "möglichen Welten" war gut, dann verstehe ich es nämlich bzw. kann es mir "bildhaft" vorstellen.

Zitat:

Notwendig p => Möglich p Wenn p überall gilt, gilt es auch in jeder einzelnen Welt.

Das ist Axiom D, welches aber nicht immer gelten muß. Wenn es keine sichtbare Welt gibt, gilt zwar 'Notwendig p' aber nicht 'Möglich p', da dazu mind. eine sichtbare Welt vorhanden sein muß, in der p gilt.

Axiom D ist allerdings aus Axiom T herleitbar, welches wiederum in S5 gilt.
In S5 muß also immer mind. eine sichtbare Welt existieren.


Viele Grüße

Bravo, darum gings mir ja, als ich fragte, ob nicht letztlich immer Dinge aus einer Anschauung hergenommen werden müssen, für die es, wenn man auf ihre Wahrheit abstellt, keine berechtigten Annahmen in aller Ausschließlichkeit geben kann. Aber hier scheint die Logik auf sich selber zu beruhen. Wenn aber jede Wahrheit eine sichtbare, besser erfahrbare oder erlebbare Welt, voraussetzt, dann kann auch die Logik nur auf den Grundannahmen der möglichen Erkenntnis fussen. Geometrie gehört aber eindeutung in den Bereich der Erfahrung, wie sollten wir sonst nach dem Prinzip des äußerlich erscheinenden Raumes uns überhaupt orientieren? Wird auch die Zeit mit ihren irdischen Festlegungen eine Rolle in den möglichen Welten spielen können ? Sie muss es ja, denn die Logik findet ja nun mal unabänderlich in ihr statt. Der Wert und aber auch die Risiken dieser Methodik sind mir noch nicht klar geworden und ich verstehe überhaupt nicht, wie es eine Logik geben kann, die nicht meinem Gehirn entspringt. Trotzdem danke für die Nachsicht, Soso. Egal auf welchem Wege, Möglichkeit und Notwendigkeit können m.E. nur durch Vergewaltigung der Begriffe in eins gesetzt werden. Danke.