dynamische Stufenlogik: komplex und brauchbar?

Hallo,

Vielen wird es zu viel, aber die alternativen Ansätze zur Logik sind noch lange nicht ausgeschöpft
und wie Don Quichote renne ich weiter gegen „klassische Windmühlen“ an und versuche dahinterliegende „Wahrheiten“ zu entdecken.

Ansatz 1: Bisher hatte ich schon einen dritten Wahrheitswert „u“ wie „unentschieden“,
„ungewiss“ hinzugefügt. (das ist nichts neues und bringt allein auch nicht viel).

Ansatz 2: Dann hatte ich sogenannte „Stufen“ eingeführt, wobei Aussagen einen
(logischen Wahrheits-) Wert nur zusammen mit einer Stufe bekamen
(und in unterschiedlichen Stufen auch unterschiedliche Werte annehmen konnten.)

Die erste fundamental neue Aussage gelang nun durch Kombination der beiden Ansätze:
In Stufe 0 sind alle Aussagen „unentschieden“. A0: Für alle A: W(A,0)=u.

Am Anfang steht also nicht „nichts“ oder „etwas“ sondern „u“.

Nun hatte ich bei der Chrono-Logik eine gewisse Monotonie/Statik gefordert:
War eine Aussage in einer Stufe wahr, so musste sie dies ab dieser Stufe immer sein, analog für „nicht wahr“.
(Einmal wahr – immer wahr).
Das vereinfachte zwar den Umgang mit dieser Logik, schränkte aber ihre Anwendungen ein.

In unserer Alltagswelt begegnen wir dem Werden und Vergehen,
was mich dazu anregte, nach „wahr“ in späteren Stufen auch wieder „u“ zuzulassen.
Um ein Widerspruchskriterium zu behalten, wird nur der direkte Übergang von „w“ in „-w“ und der von „-w“ in „w“ ausgeschlossen.

Aus W(A,t)=w folgt ( W(A,t+1)=w oder W(A,t+1)=u ) .
Aus W(A,t)=-w folgt ( W(A,t+1)=-w oder W(A,t+1)=u ) .

Wieder können wir über Meta-Aussagen unbestimmte Aussagen bestimmter Stufen konstruieren:

W ( W(A,t)=w, d ) = u für d<=t wenn ( W(A,t-1) -= w und W(A,t)=w ) gilt.
Und W ( W(A,t)=w, d ) = w für d>t wenn W(A,t)=w gilt.

Die Wahrheit hat in der neuen (dynamischen) Logik einen Schönheitsfehler:
Sie ist nicht mehr ewig und zeitlos, auch bereits gewonnene wahre Sätze können wieder falsch werden.
Andererseits sind klassische Logik und Chrono-Logik eher Logiken für Götter als für Menschen…

Und auch in der dynamischen Stufenlogik lassen sich dauerhafte „Wahrheiten“ formulieren:
A0: (Nullstufe unbestimmt) Für alle A: W(A,0)=u.
Für alle t >=1 gilt wohl: W ( Für alle A gilt: W(A,0)=u, t ) = w.
D.h. A0 ist eine ab t=1 immer wahre Aussage.

Notieren wir zu A0 noch weitere Grundaxiome:

A3: (Dreiwertigkeit) Stufenaussagen A haben zu jedem Zeitpunkt t Wahrheitswerte W(A,t).
W(A,t) nimmt jeweils genau einen der Werte w, u, -w an.

(Für alle t >=1 gilt wohl: W ( A3, t ) = w.)

A1: (Widerspruchsfreiheit, Stetigkeit) Für alle Stufenaussagen A und beliebiges t gilt:
Wenn W(A,t) = w, dann W(A,t+1) -= -w und
wenn W(A,t) = -w, dann W(A,t+1) -= w.

D2a: 1. Definition Gleichheit:
Zwei dynamische Stufenaussagen sind gleich, wenn sie in allen Stufen gleiche Werte haben.
A1=A2 :<-> Für alle t: W(A1,t) = W(A2,t)

D4: Stufenzuordnung: Hat eine Aussage A ab Stufe t0 einen konstanten Wert,
so nennen wir A eine Aussage der Stufe t0 und setzten t(A):=t0.
Der Teil (Die Werte in den Stufen) vor t(A) heißt „dynamisch“ , der Teil ab t(A) „statisch“.
Es gilt: W(A,t) = W(A, t(A)) für alle t >= t(A).

Es gibt aber auch unendlich „schwankende“ nicht konvergente (rein dynamische) Aussagen.
Bsp.: W(S,0)=u, W(S,1)=w, W(S,2)=u, W(S,3)=-w,W(S,4)=u,W(S,5)=w, W(S,6)=u,W(S,7)=-w, …

D2b: 2. Definition Gleichheit:
Zwei Stufenaussagen A1 und A2 sind gleich, wenn sie zur gleichen Stufe t(A1) gehören und dort den gleichen Wert haben
und für alle kleineren Stufen gleiche Werte haben.

Lassen wir uns überraschen, wofür das ganze zu gebrauchen ist …

Gruß
Trestone

1. Wie bewertet deine Logik den Satz "Dieser Satz ist falsch"? Mit "u"?

2. Was sagt deine Logik über die aus "Alle Sätze sind falsch" abgeleitete UND-Verbindung: "'Dieser Satz ist falsch' UND 'alle Sätze außer dem vorherigen Halbsatz sind falsch'". Ist der Satz in deiner Logik lösbar und wenn ja, dann wie, d.h. welches Wahrheitswertschema würde gelten?

Hallo Pippen,

Zunächst sind die Sätze in die Stufenlogik zu übertragen:

Zu 1.: 1.1. Versuch: ML:= „W(L,t)=-w“
Es gilt W(ML,t) = u (unabhängig von W(L,t), da gleiche Stufe)
Und W(ML, t+1)= w falls W(L,t)=-w
Und W(ML, t+1)= -w falls W(L,t)= u oder W(L,t)=w
ML=L ist also nur für W(L,t)= u möglich.
Dann W(ML,t+1)= -w = W(L,t+1).
Also W(L,0)=u und W(L,1)=-w.
Aber nun W(ML,2)=w = W(L,2) und dies ist ein Widerspruch zu W(L,1)=-w.
Also ist ML = L nicht möglich. (Wenn L eine Stufenaussage ist,
so ist die Metaaussage ML keine Stufenaussage.)

1.2. Versuch: ML:= „W(L,t)=-w oder W(L,t)=u“
Es gilt W(ML,t) = u (unabhängig von W(L,t), da gleiche Stufe)
Und W(ML, t+1)= w falls W(L,t)=-w oder W(L,t)=u
Und W(ML, t+1)= -w falls W(L,t)= w
ML=L ist also nur für W(L,t)= u möglich.
Dann W(ML,t+1)= w = W(L,t+1).
Also W(L,0)=u und W(L,1)=w.
Aber nun W(ML,2)=-w = W(L,2) und dies ist ein Widerspruch zu W(L,1)=w.
Also ist ML = L nicht möglich.

Zu 2.: Versuch:
ML:= "'Dieser Satz ist falsch' UND 'alle Sätze außer dem vorherigen Halbsatz sind falsch'".
Wieder setzte ich zunächst statt „dieser Satz“ eine Stufenaussage L an.
Statt „falsch“ wähle ich „nicht wahr“ (vgl. 1.2 von oben).
ML:= W(L,t)=-w oder W(L,t)=u UND für alle A -= ( W(L,t)=-w oder W(L,t)=u ) gilt: W(A,t)=-w oder W(A,t)=u.
Wieder ist W(ML,t)=u, da ML eine Metaaussage zur Stufe t ist.
Also gilt für L=ML: W(L,t)=u.
W(L,0)=u, W(A,0)=u für beliebige A.
Daher W(ML,1)= (w UND w) = w. Damit W(L,1)=w.
W(ML,2) = (-w UND …) = -w = W(L,2). Wieder ein Widerspruch.
ML kann also keine Stufenaussage sein, wenn L eine ist.

Beide Sätze sind also (bei meinen Übertragungen) als nicht erfüllbare Sätze identifizierbar.
(Andere Übertragungen z.B. mit „für alle Stufen“ wären noch zu klären.)

Gruß
Trestone

Hi.

Zitat:

Original von Trestone Beide Sätze sind also (bei meinen Übertragungen) als nicht erfüllbare Sätze identifizierbar. (Andere Übertragungen z.B. mit „für alle Stufen“ wären noch zu klären.) Gruß Trestone

Aha. Darin gleicht also deine Logik der klass. Logik, die o.g. Sätze von mir auch wohl als "außerhalb ihres Anwendungsbereiches" ansieht. Wozu dient deine Logik dann? Welches Problem der klass. Logik willst du damit angehen? Kannst du das an einem einfachen praktischen Beispiel zeigen (zB "P ist im Garten" =w, woraus nach klass. Logik folgt, dass P nicht im Haus sein kann...um dann zu zeigen, dass zB nach deiner Logik dieser Umkehrschluss nicht gilt...mal nur als Bsp., ich bin logisch nicht versiert, daher brauche ich plastische Beispiele )

Hi.

Ich fragte es ja schon, doch ich frage es hier nochmals: Was soll diese Stufe 0? Durch diese merkwürdige Festlegung, dass auf Stufe 0 alle Aussagen unbestimmt seien, nimmt sich diese Stufe gänzlich von deinem System aus. Alles, was du definierst oder beweist, gilt in den häufigsten Fällen nur MIT AUSNAHME VON STUFE 0. Es gibt Sätze, die auf jeder Stufe wahr sind? – Ja; mit Ausnahme von Stufe 0. Es gibt Satzpaare derart, dass, stets wenn der eine unbestimmt ist, der andere es nicht ist? – Vermutlich; mit Ausnahme von Stufe 0. Es gelten die Regeln und Axiome deiner dreiwertigen Logik? – Ja; mit Ausnahme von Stufe 0. Der Satz „es gibt eckige Kreise“ ist falsch? – Ja; mit Ausnahme von Stufe 0. Die Annahme dieser Stufe 0 ist ein unnötiger Klotz am Beine des Systems, das du zu konstruieren gedenkst. Wozu diese Stufe 0? Welchen Nutzen siehst du in ihr?

Der Grund, warum du diese Stufe 0 annimmst, ist, wie du in einem anderen Thread mir antwortetest, irgendeine Intuition deinerseits. Aber warum ist bei Stufe 0 die Intuition so wichtig, wohingegen bei deinem Widerspruchskriterium offenbar jegliche Intuition ad acta gelegt wird? Ein Satz ist widersprüchlich, wenn er auf einer Stufe wahr (oder falsch), auf der nachfolgenden aber falsch (oder wahr) ist? An welcher Intuition orientiert sich DAS? In diesem Sinne merke ich daher nochmals an: gib dir 'nen Ruck und schmeiß' diese unsinnige Stufe 0 raus.

Was ich sonst noch anzumerken hätte, ist das, was ich auch schon in den anderen Threads schrieb: die semantische Geschlossenheit deines angedachten Systems macht dieses vermutlich paradox, dreiwertige Logik ist ungeeignet, es fehlt die Angabe von Schlussregeln sowie der Folgerungsrelationen usw.

Hallo,

@Soso:
Auf Stufe 0 möchte ich nicht verzichten,
sie ist mein archimedischer Punkt, von dem aus ich die Logik aus den Angeln heben will ...

@Pippen:
Gerade zur Analyse von klassisch widersprüchlichen Sätzen ist meine Logik gemacht, ich suche aber noch nach der richtigen Form.
Letztlich will ich damit alle Widerspruchsbeweise (z.B. von Cantor, Russell, Gödel, aber vielleicht auch Euklid u.a.) neu beleuchten und vielleicht sogar umgehen ...
Als Inspiration diente dabei die Quantentheorie
(Eigenschaften nicht permanent, sondern nur nach Messung/Dekohärenz -> Stufen und Metastufen, Interferenzzustände -> Wert u).


Nach dem Motto “weniger ist mehr” will ich noch ein Axiom einsparen:

A1: (Widerspruchsfreiheit, Stetigkeit) Für alle Stufenaussagen A und beliebiges t gilt:
Wenn W(A,t) = w, dann W(A,t+1) -= -w und
wenn W(A,t) = -w, dann W(A,t+1) -= w.

Dieses wird ersatzlos gestrichen.

Denn man könnte sich ja auch einfach nur auf Aussagen beschränken,
die für alle geraden t den Wert u annehmen
und dann de facto nur noch die ungeraden t betrachten.
Das erscheint mir unnötig kompliziert,
und so wird nun auch der direkte Sprung von w auf –w (und umgekehrt) zugelassen.

Nun wird es noch einmal ein wenig kompliziert (dafür können wir dann mit Metaebenen jonglieren):

Ich hatte ja schon Stufen t eingeführt und festgelegt, dass Aussagen A nur Werte W(A,t) je Stufe annehmen.

Nun kann man auch Meta-Aussagen MA über solche Wertzuweisungen W(A,t) machen,
und auch dies sind wieder Aussagen mit Werten W(MA,d) in Stufen d.

AM: Metastufen“axiom“:

Diese Art (Wert-)Metaaussagen haben nun aber eine wichtige Eigenart:
Sie sind für kleine Stufen zunächst u, nehmen dann einen Wert ungleich u an
Und bleiben ab dann konstant bei diesem Wert.
Die Stufe d(MA), zu der W(MA,d) zum ersten mal ungleich u ist,
nenne ich die „Metastufe von MA“. Es gilt W(MA,d)=u für d<d(MA).

Ist t1 die größte vorkommende Stufe zu A in MA, so ist d(MA)<=t1+1.

„Von oben (in hohen Meta-Stufen) sind alle Eigenschaften klar,
von unten (und für sich selbst) sind sie blind (Bodennebel)“

Eine Aussage A „hat“ also nicht einfach einen Wert W(A,t) (z.B. w), den man in allen Gleichungen für W(A,t) einsetzen darf,
sondern man muss die „Betrachtungs-Stufe“ d (Kontextebene) beachten, in der man sich dabei bewegt.

Ein Beispiel: MA:= W(A,2)=w (und dies treffe zu).

W(MA,0)=u (gilt ja stets).
W(MA,1)= W( W(A,2)=w,1 ) = u (könnte sein, aber auch w)
W(MA,2)= W( W(A,2)=w,2 ) = u (könnte sein, aber auch w)
W(MA,3)= W( W(A,2)=w,3 ) = w (muss gelten)

Zu Meta-Stufen (ein Herzstück der Stufenlogik) werden wir gleich ein besseres Beispiel untersuchen,
denn jetzt können wir das berühmte Lügnerbeispiel erneut angehen:

Klassisch: „Dieser Satz ist nicht wahr“

Stufenlogisch: L:= (W(L,t0) -= w) (Diese Aussage L nimmt in Stufe t0 nicht den Wert w an)

Klar: L ist eine Metawertaussage (zu sich selbst).

W(L,0)=u (gilt stets).
L hat nach AM eine Metastufe d(L) mit W(L,d)=u für d<d(L) und W(L,d(L)) -= u.
Es gilt d(L)<=t0+1.
W(L,d(L)) = W(W(L,t0)-=w,d(L))
1. Fall: t0<d(L): -> W(L,t0) darf durch u ersetzt werden in: W(W(L,t0)-=w,d(L)) = W(u -= w, d(L)) = w = W(L,d(L)).
2. Fall: t0>=d(L): -> W(L,t0) darf durch W(L,d(L)) ersetzt werden in W(W(L,t0)-=w,d(L)) = W(W(L,d(L)) -= w, d(L)) = W(L,d(L)) = W(L,d(L)+1).
2.1. Ann. W(L,d(L)=w: -> W(L,d(L)+1)= W(W(L,d(L)) -= w, d(L)+1) = W(w-=w, d(L)+1) = -w. (Widerspruch für Metaaussage)
2.2. Ann. W(L,d(L)=-w: -> W(L,d(L)+1)= W(W(L,d(L)) -= w, d(L)+1) = W(-w-=w, d(L)+1) = w. (Widerspruch für Metaaussage)

Also gilt stets: t0<d(L)<=t0+1, d.h. d(L)=t0+1.

Wir haben also die Metastufe von L bestimmt und zugleich ein Beispiel für eine „meta-t0-wahre“ Aussage kennen gelernt (für beliebiges t0).

Dieser Lügner ist also eingefangen.

Gruß
Trestone

Hallo,

Nachdem die Logik nun grob umrissen ist, wende ich mich der (Stufen-)Mengenlehre zu.

Grundbeziehung: x e M wird wie eine Stufenaussage behandelt:

M0: Für alle Stufenmengen x, M gilt: W (x e M, 0) = u

M3: Für alle Stufenmengen x, M und alle Stufen t gilt: W(x e M, t) nimmt jeweils genau einen der Werte w, u, -w an.

D2a: Definition Stufenmengengleichheit:
Zwei Stufenmengen M1 und M2 sind gleich, wenn für beliebige Stufenmengen x
die Elementbeziehungen x e M1 und x e M2 in allen Stufen gleiche Werte haben.
M1=M2 :<-> Für alle t: W(x e M1, t) = W(x e M2, t)

W( x e M1 und M2, t) := W(x e M1, t) und W(x e M2, t)

W( x e M1 oder M2, t) := W(x e M1, t) oder W(x e M2, t)

W(x e M1 ohne M2, t) := W(x e M1, t) und - W(x e M2, t)

W(x e M, t+1) := W ( F o W(x e M, t), t+1 ) definiert eine Menge M.

Russellmenge:

W(x e R, t+1) := W ( W(x e x, t) -= w , t+1); W(R e R, 0) = 0.
t=0: W(R e R, 1) := W ( W(R e R, 0) -= w , 1) = w.
W(R e R, 2) := W ( W(R e R, 1) -= w , 2) = -w.
W(R e R, 3) := W ( W(R e R, 2) -= w , 3) = w. Usw.

Also widerspruchsfrei möglich.

Daher gibt es neben der leeren Menge 0:
W ((x e 0, t+1) := W ( W(x e 0, 0)=w, t+1 ) = -w

Auch die volle Menge All:
W ((x e All, t+1) := W ( W(x e All, 0)=u, t+1 ) = w


Gruß
Trestone

Hi.

Ich verstehe deinen Wahrheitsbegriff nicht, daher mal ein paar Fragen.

Gilt, wenn W(p, t) = w, dann ist p zu t der Fall?

Gilt, wenn p zu t der Fall ist, dann W(p, t) = w?

Gilt, wenn W(p, t) = -w, dann ist p zu t nicht der Fall?

Gilt, wenn p zu t nicht der Fall ist, dann W(p, t) = -w?

Hallo,

die Gleichheitsrelation ist der Schlüssel zu vielem:
Sie hilft zu einem besseren Verständnis der Stufen
(über das auch ich selbst noch nicht ausreichend verfüge …).

Noch einmal genauer

Bisher (in einem Vorgängerthread zu Chrono-Logik) hatte ich definiert:

D2a: 1. Definition Gleichheit:
Zwei dynamische Stufenaussagen sind gleich, wenn sie in allen Stufen gleiche Werte haben.
A1=A2 :<-> Für alle t: W(A1,t) = W(A2,t)

Das hier definierte „A1=A2“ ist eine (Meta-)Aussage,
nach dem Grundansatz der Stufenlogik hat diese erst in Verbindung mit einer Stufe d einen Wahrheitswert.
(Wie wir sehen werden, ist dieser Wahrheitswert überraschenderweise meist „unbestimmt“).

W(A1=A2,d) = W ( Für alle t: W(A1,t) = W/A2,t) , d ).

Nun ist der rechte Ausdruck für alle Stufen t >= d „blind“,
d.h. es können in Stufe d nur Werte W(A1,t) und W(A2,t) verglichen werden,
bei denen t kleiner als d ist.

Daher gibt es zunächst 2 Fälle:

1. Fall: Es findet sich ein Gegenbeispiel mit W(A1, t0) -= W(A2,t0) und t0<d.
Dann ist W(A1=A2,d) = -w.

2. Fall: Es findet sich bis d-1 kein solches t0.
Dann ist W(A1=A2,d) = u. (Manchmal doch w, siehe Sonderfälle unten).

Denn selbst wenn für alle t<d gilt: W(A1,t)=W(A2,t) , so gehören ja auch die größeren t,
insbesondere t=d dazu:
W ( W(A1,d) = W(A2,d) , d ).
Nun könnte man meinen, dass von der Metastufe d aus W(A1,d) und W(A2,d) unbestimmt
sind und daher W ( W(A1,d) = W(A2,d) , d ) = W ( u = u , d ) = w.
Diese Auftrennung ist aber nicht zulässig, da die in Stufe d zu entscheidende Aussage
„W(A1,d) = W(A2,d)“ als Ganzes lautet, und daher als Ganzes unentscheidbar ist
(weil selbst der Stufe d zugehörig).
Es gilt also (bis auf die Ausnahmen s.u.): W ( W(A1,d) = W(A2,d) , d ) = u.

Das hieße, das sich Gleichheit nie als wahr beweisen ließe und nur widerlegen (Karl Popper lässt grüßen …).

Es gibt aber noch zwei wichtige Sonderfälle/Ausnahmen:

1) Wenn die Werte von A1 und A2 vollständig durch die Werte von Aussagen unterhalb einer festen Stufe t1 beschrieben / festgelegt / definiert sind,
so ist für d >= t1 auch die Wahrheit von „A1=A2“ in Stufe d möglich.

Beispiel: Definiere A1 über W(A1, t+1):= W(A1,t) für t>=1 und W(A1,1):=w.
Definiere A2 über W(A2,t):=w für alle t>=1. (Also hier t1=2).

Dann gilt: W(A1,0)= u = W(A2,0)
W(A1,1)= w = W(A2,1)
W(A1,t+1) = W(A1,1) = w = W(A2,t+1) = W(A2,1).

Daher genügt es t= 0 und t=1 zu betrachten:
W(A1=A2,0)=u
W(A1=A2,1)=u
W(A1=A2,2)=w und W(A1=A2,d) = w für alle d >= 2.

2) Auch strukturelle (Meta-)Eigenschaften von A1 und A2 können die Gleichheit entscheidbar machen:
Sind beide „identisch“ , dann gilt W(A1=A1,d) = w für d >= 1.

Allgemein gilt: Lassen sich die Werte von A1 durch die Werte von A2 logisch für alle Stufen t (ohne unendliche Einzelbetrachtung von t) ausdrücken
(z.B. durch Induktion nach t), so ist die Gleichheit entscheidbar.

Z. B. wenn gilt: W ( W(A1,t+1) = - W(A1,t), d ) = w für d>t+1 ; W(A1,1)= -w.
W(A2,t) = w für gerade t>0.
W(A2,t) = -w für ungerade t.

W ( W(A1,1)= - w = W(A2,1) ,2 ) = w. (Induktionsverankerung).
Sei W( W(A1,t)=W(A2,t) , d ) = w (und d>t+1)
1. Fall: t gerade: Dann ist W(A2,t) = w = W(A1,t) und W(A1,t+1)=-w.
Und dann ist W(A2,t+1)=-w.
Also auch W( W(A1,t+1)=W(A2,t+1) , d ) = w .
2.Fall: t ungerade: analog.

Also gilt: W(A1=A2, d) = w für d>= 1

Das ist formal zwar noch nicht ausgereift, zeigt aber die Richtung:
Meist ist die Gleichheit von Aussagen unentscheidbar,
außer wir können „Metainformationen“ nutzen,
v.a. wenn die Aussagen „Stufenregeln“ gehorchen oder schon durch niedrige Stufen festgelegt sind.

Manche(r) wird sagen, „warum so kompliziert, die klassische Logik ist da doch viel einfacher?“
Aber erstens werden hier schon auf Stufe der Logik Strukturen und Zusammenhänge klarer,
die klassisch z.T. erst bei Mengenlehre und Beweistheorie auftreten
und zweitens habe ich die Hoffnung noch nicht aufgegeben,
mittels der Stufenlogik eine „einfachere“ und „widerspruchsfreiere“ Mathematik aufbauen zu können.

Das erscheint zwar angesichts der komplizierten Lage bei der Gleichheit schwierig,
aber wahrscheinlich können wir uns zum Aufbau der Mathematik meist auf „zahme“ Stufenaussagen stützen,
nämlich t-induktiv gebildete oder t- beschränkte Aussagen,
d. h. genau die Typen von Stufenaussagen, bei denen wir die Gleichheit entscheiden können.

Gruß
Trestone

Zitat:

Original von -Soso- Hi. Ich verstehe deinen Wahrheitsbegriff nicht, daher mal ein paar Fragen. Gilt, wenn W(p, t) = w, dann ist p zu t der Fall? Gilt, wenn p zu t der Fall ist, dann W(p, t) = w? Gilt, wenn W(p, t) = -w, dann ist p zu t nicht der Fall? Gilt, wenn p zu t nicht der Fall ist, dann W(p, t) = -w?

Hallo Soso,

was ist mit "dann ist p zu t der Fall" gemeint?
(Am besten ein explizites Beispiel zu p).

Eine Veranschaulichung der Stufenlogik könnte sein:
Ist eine Aussage in Stufe t wahr, so ist sie aus von Stufe t aus gesehen wahr.
Die Stufe ist also eine Art Perspektive / Sichtweise und umso stärker eingeschränkt, je niedriger sie ist.
Daher sind in Stufe 0 alle Aussagen unbestimmt.

Meine Stufenlogik ist zunächst aber (relativ) unabhängig von jeglicher "Realität"
und axiomatisch aufgebaut (wenn auch noch nicht vollständig).
D.h. die Wahrheit je Stufe wird formal erschlossen / abgeleitet.

In letzter Konsequenz könnte sie aber schon unsere Sicht darauf verändern, "was der Fall ist".

Gruß
Trestone.

Hi.

„p“ ist eine Satzvariable. Um meine vier Fragen mit Beispielen zu versehen:

Gilt, wenn W(p, t) = w, dann ist p zu t der Fall?

(Gilt, wenn W(7 ist prim, t) = w, dann ist 7 zu t prim? D.h. gilt, wenn der Satz „7 ist prim“ zu t wahr ist, dann ist 7 zu t prim?)

Gilt, wenn p zu t der Fall ist, dann W(p, t) = w?

(Gilt, wenn 7 zu t prim ist, dann ist W(7 ist prim, t) = w? D.h. gilt, wenn 7 zu t prim ist, dann ist der Satz „7 ist prim“ zu t wahr?)

Gilt, wenn W(p, t) = -w, dann ist p zu t nicht der Fall?

(Gilt, wenn W(7 ist prim, t) = -w, dann ist 7 zu t nicht prim? D.h. gilt, wenn der Satz „7 ist prim“ zu t falsch ist, dann ist 7 zu t nicht prim?)

Gilt, wenn p zu t nicht der Fall ist, dann W(p, t) = -w?

(Gilt, wenn 7 zu t nicht prim ist, dann ist W(7 ist prim, t) = -w? D.h. gilt, wenn 7 zu t nicht prim ist, dann ist der Satz „7 ist prim“ zu t falsch?)

Hallo Soso,

ich verstehe den Unterschied zwischen den beiden Formulierungen noch nicht ganz:

"W(7 ist prim, t) = w" und "7 ist in Stufe t prim"

Die erstere lautet ausformuliert:
Von Stufe t aus gesehen nimmt "7 ist prim" den Wahrheitswert "wahr" an.

Die zweite könnte man so umformen:
Von Stufe t aus gesehen gilt "7 ist prim".

Eine Äquivalenz von "nimmt den Wahrheitswert "wahr" an" und "es gilt/ist" könnte bestehen.
Ebeso mit "nimmt den Wahrheitswert "nicht wahr" an" und "es gilt/ist nicht".

Dazu noch "nimmt den Wahrheitswert "unentscheidbar/unbestimmbar" an" und "es ist unbestimmt".

(De fakto vermute ich, dass die Prim-Eigenschaft stufenabhängig ist,
nicht nur weil sie in Stufe 0 unbestimmt ist).

Vermutlich gelten die obigen Äquivalenzen (in Stufe t), aber nur zusammen mit Festlegung der Stufe t,
denn bei meiner Logik gibt es keine Eigenschaften unabhängig von Stufen.

(Auch die Aussage, dass diese Zusammenhänge gelten, benötigt um wahr sein zu können, eine (übergeordnete) Stufe.)

Gruß
Trestone

Hallo,

Etwas verwirrend ist in der Stufenlogik auch das Substitutionsprinzip:

Ist in klassischer Logik der Wert W(A) einer Aussage z.B. w,
so darf man in allen logischen Gleichungen jeweils W(A) durch w ersetzen.

Nicht so in der Stufenlogik:

Ist W(A,3)=w so wäre nach dem Substitutionsprinzip W ( W(A,3)=w , 3 ) = W ( w , 3 ) = w.
Aber Metastufen sind für sich selbst blind, daher gilt: W ( W(A,3)=w , 3 ) = W ( u , 3 ) = u.

Man darf also bei Metaschachtelungen nicht von innen nach außen,
sondern nur von außen nach innen ersetzen und auflösen.
Es gilt also eine kontextabhängige (metastufenabhängige) Substitution.

Also bei einem Gebilde W ( W ( W ( … (W(A,t1)=…, t2) = …, t3 )=…, …tn-1) , tn )
startet man mit der äußersten Klammer und der Stufe tn und betrachtet von dieser Stufe aus die Klammer mit tn-1 usw..

Dabei gibt es einen Zusammenhang zwischen W(A,t) und der Metaaussage W ( W(A,t) = w , d ):
Falls W(A,t)=w gilt, nimmt W ( W(A,t)=w, d) für kein d den Wert –w an (Meta-Widerspruchsfreiheit)
und für d>t nimmt W ( W(A,t)=w, d) den Wert w an (und ist dort konstant).

Für große d ähneln Metaaussagen also klassischen Aussagen,
da sie dann nur einen Wahrheitswert haben (meist w oder – w).

Die „innere Struktur“ von A kommt für kleine d zum Tragen:

Ob bei W(A,t)=w auch W ( W(A,t)=w, d ) = w für d <= t gilt,
hängt von Konstruktionseigenschaften von A ab,
etwa ob es durch Werte für Stufen <= t0 vollständig beschreibbar ist,
oder einer t-induktiven Werteformel gehorcht.

Die Bewertungsstufe d benötigen wir auch für logische Verknüpfungen:

W( W(A1,t1) v W(A2,t2) , d ) = W(A1,t1) v W(A2,t2) falls d > max ( t1,t2)
Wobei die rechte „V“-Verknüpfung „klassisch“ zu interpretieren ist: w v u = w, u v –w = u , usw..
(Für kleinere d kann die Konjunktion auch „u“ sein, obwohl die Einzelwerte „w“ wären.)

Für genügend große d dürfen wir also die Substitutionsregel bei t anwenden.

Gruß
Trestone

Hi.

Es geht mir um die Bedeutung deines Wahrheitsbegriffs; was bedeutet es, wenn ein Satz S auf Stufe t wahr ist? Ich versuche das mal anhand eines ganz naiven Verständnisses von Welt, Sprache und Wahrheit zu erläutern:

Auf der einen Seite ist die Welt. Die Welt ist alles, was der Fall ist; die Welt besteht aus Tatsachen. Tatsachen sind z.B., dass der Eiffelturm in Paris steht, Angie Merkel eine Frau ist, der Marianengraben 11km tief ist, der 2te Weltkrieg 1945 endete usw.

Auf der anderen Seite steht die Sprache. Die Sprache umfasst u.a. Behauptungssätze. Solche sind etwa „München ist die Hauptstadt der Schweiz“, „alle Bären sind Säugetiere“, „es gibt einen höchsten Berg“, „die Titanic ist 1912 gesunken“ usw.

Wahrheit nun ist eine Eigenschaft, und zwar eine von Behauptungssätzen. Kommt einem Behauptungssatz S diese Eigenschaft zu, dann bedeutet dies, dass S einer Tatsache korreliert; dass S eine Tatsache ausdrückt; dass S etwas ausdrückt, was der Fall ist. Kommt etwa dem Behauptungssatz „die Sonne ist im Mittelpunkt des Sonnensystems“ die Eigenschaft der Wahrheit zu, dann ist es eine Tatsache, dass die Sonne im Mittelpunkt des Sonnensystems ist; dann ist es der Fall, dass die Sonne im Mittelpunkt des Sonnensystems ist.

Andersherum gilt jedoch auch, dass, wenn etwas eine Tatsache ist (es der Fall ist), derjenige Behauptungssatz, der diese Tatsache ausdrückt, wahr ist. Ist es eine Tatsache, dass erhöhte Körpertemperatur ein Symptom für Fieber ist, dann ist der Behauptungssatz „erhöhte Körpertemperatur ist ein Symptom für Fieber wahr“.

Ebenso gilt, dass wenn einem Behauptungssatz die Eigenschaft der Wahrheit nicht zukommt, er keiner Tatsache korreliert; er keine Tatsache ausdrückt; er nicht ausdrückt, was der Fall ist. Und es gilt zuletzt auch in diesem Falle andersherum, dass wenn etwas keine Tatsache ist, derjenige Satz, der es ausdrückt, nicht wahr ist.

Für den Behauptungssatz „Schnee ist weiß“ lässt sich daher festhalten:

(1) Wenn „Schnee ist weiß“ wahr ist, dann ist Schnee weiß.

(2) Wenn Schnee weiß ist, dann ist „Schnee ist weiß“ wahr.

(3) Wenn „Schnee ist weiß“ nicht wahr ist, dann ist Schnee nicht weiß.

(4) Wenn Schnee nicht weiß ist, dann ist „Schnee ist weiß“ nicht wahr.

Die Sätze 3 und 4 folgen aus den Sätzen 1 und 2 und aus diesen folgt außerdem das allzu oft zitierte Beispiel:

(T) Der Satz „Schnee ist weiß“ ist wahr genau dann, wenn Schnee weiß ist.

Was ich bis hierher erläutert habe, entspricht dem üblichen, alltäglichen Verständnis von Wahrheit und wenn von Wahrheit die Rede ist, dann ist i.d.R. Wahrheit in diesem Sinne gemeint. Meine Frage an dich ist: Ist dein Wahrheitsbegriff auch in dem erläuterten Sinne zu verstehen? Ist ein Satz bei dir wahr genau dann, wenn er eine Tatsache ausdrückt? Und ist ein Satz bei dir falsch genau dann, wenn er keine Tatsache ausdrückt?

Hallo Soso,

ich vermute, dass ich einen anderen (dynamischeren) Wahrheitsbegriff habe:

Denn bei mir hat eine Aussage (SW:= "Schnee ist weiß") keinen Wahrheitswert, sondern nur in Verbindung mit einer (Betrachtungs-)Stufe t:
z.B. gelte für t=2: W( SW , 2 ) = w.
Nun kann man sich aber fragen, ob die (Meta-)Behauptung, dass "die Aussage "Schnee ist weiß" in Stufe 2 wahr ist" selbst wahr ist?
Wieder muss ich eine (Meta-Betrachtungs-)Stufe d wählen:
1. Beispiel. Wähle d=3:
Da 3>2 gilt: W ( W(SW,2)=w, 3 ) = W ( w , 3 ) = w.
2. Beispiel: Wähle d=2:
Da Stufen für sich selbst unbestimmt sind, gilt:
W ( W(SW,2)=w, 2) = W ( u , 2 ) = u.

Wir sehen also, dass der Ausdruck "W(SW,2)=w" je nach Kontekt einmal durch w und einmal durch u ersetzt wird.
D.h. der Wahrheitsbegriff ist bei mir von Kontext und Metaebenen abhängig.

Ob man der elementaren Ebene W(SW,2) eine Art Korrespondenz in der Realität zuschreiben kann, weiß ich nicht, bin aber skeptisch.

Gruß
Trestone

Hi.

Gibt es bei dir dann keine Möglichkeit, das „W... = w“ aus dem Satz „W(A, t) = w“ zu eliminieren? Kann man mit der von dir angedachten Logik also nur über Sätze reden (indem man Aussagen über deren Wahrheitswert macht), nicht aber über Sachverhalte (indem man Aussagen darüber macht, was der Fall oder nicht der Fall ist)?

Hallo Soso,

ganz sicher bin ich mir zwar nicht, aber ich glaube dass ist gerade der Punkt:
Die Abhängigkeit von den Metaebenen/Perspektivstufen zieht sich bei meiner Theorie konsequent durch:
Sie ist mehr eine Theorie/Logik für das Bewußtsein und weniger eine Theorie für die "Welt/Realität".

(Aber vielleicht kann sie sogar zu einem neuen "Weltbild" führen ...)

Gruß
Trestone

Hi.

Deine letzte Antwort klingt so, als ob zwischen deiner angedachten Logik und der (mathematischen) Welt keine Verbindung bestünde. Unter der Annahme, dass dem so ist, habe ich dazu einige Bemerkungen:

(a) Viele deiner Axiome sind in deiner angedachten Logik gar nicht formulierbar. So lautet beispielsweise Axiom A0 „Für alle t >=1 gilt wohl: W ( Für alle A gilt: W(A,0)=u, t ) = w“. Hier steht der Quantor „für alle t >= 1 gilt“ außerhalb des Bereiches von „W“. Er muss aber innerhalb des Bereiches von „W“ stehen, denn das Axiom muss ja gemäß dem Schema „der Wahrheitswert von A auf Stufe t ist v“ formuliert sein.

(b) Wenn man mit der von dir angedachten Logik keine Sätze aufstellen kann, die etwas über die (mathematische) Welt aussagen, wozu taugt sie dann? Selbst wenn sie funktionieren sollte wie du dir das vorstellst, könnte man nicht einmal beweisen, dass 1 + 1 gleich 2 ist. Man könnte stattdessen nur beweisen, dass der Satz „1 + 1 = 2“ auf irgendeiner Stufe wahr ist. Daraus kann man aber – entgegen der Intuition – nicht schließen, dass also 1 + 1 gleich 2 ist, weil dein Wahrheitsbegriff mit dem üblichen Wahrheitsbegriff gar nichts zu tun hat. Statt von Wahrheit, Falschheit und Unbestimmbarkeit wäre es daher sinnvoller, etwa von Waxheit, Faxheit und Uxheit zu sprechen, um Verwechslungen deines Wahrheitsbegriffes mit dem üblichen Wahrheitsbegriff zu vermeiden. So könnte man dann etwa beweisen, dass der Satz „1 + 1 = 2“ auf einer Stufe t wax ist – und? Was sagt mir das? Nichts.

An b anschließend möchte ich noch eine allgemeine Kritik anschließen: Ich habe deine Ausführungen hier nur überflogen, aber mir scheint, du versuchst dein Ziel (welches eigentlich?) zu erreichen, indem du jegliche Intuition des mathematischen Schließens ad acta legst und den Formalismus vor alles andere stellst. Du hast an der Gleichheit geschraubt, am Substitutionsprinzip, du verbietest Sätze wie „1 + 1 = 2“, du hast irgendwelche Stufen eingeführt, von denen gar nicht klar ist, was sie eigentlich sein sollen, du hast die Zweiwertigkeit über Bord geworfen usw. Der Formalismus, den man durch ein derart – sorry – rücksichtsloses Vorgehen erhält, ist keine Modellierung des mathematischen Schließens mehr sondern irgendetwas anderes, denn bei dir funktioniert alles anders als es die Intuition nahe legt. Vielleicht ist nach deinem angedachten Formalismus die Russellmenge möglich, aber damit ist nicht gezeigt, dass sie MATHEMATISCH möglich ist, eben weil dein angedachtes System mit Mathematik nicht viel zu tun hat. Wenn du wirklich MATHEMATIK machen willst, dann musst du … nun ja … Mathematik machen. (Man hat beispielsweise auch die Typentheorie von Russell der Kontraintuitivität bezichtigt; gegen das, was du vorhast, ist diese jedoch absolut harmlos.)

Hi.

Um meinen dritten Kritikpunkt näher zu erläutern: Was für die von dir angedachte Formalsprache zunächst einmal viel wichtiger ist als die Frage, wie sie mit Lügnersatz oder Russellmenge umgeht, ist diejenige, ob sie überhaupt das zu leisten im Stande ist, was ZFC leistet. Wenn sie das kann und DANN auch noch diejenigen Probleme, die ZFC hat, nicht hat, dann erst darf man wohl von einem Erfolg sprechen. Einige Probleme von ZFC zu lösen, dafür aber neue – womöglich gravierendere – einzuführen, kann ja nicht das Ziel deines Unternehmens sein.

In diesem Sinne möchte ich dir daher auch nochmals den Rat geben, die ganze Sache langsamer und systematischer anzugehen. So hast du hier beispielsweise schon Lügnersatz und Russellmenge bearbeitet sowie eine Mengenlehre konstruiert, obwohl du über die zugrundeliegende Logik praktisch kein Wort verloren hast und dich damit über den wirklich interessanten Part ausschweigst. Wie ist das beispielsweise mit der Dreiwertigkeit? Welche Schlussregeln benutzt du? Wie sind die Sätze deiner angedachten Formalsprache zu formulieren? Wie übersetzt man einen Satz wie „3 zum Quadrat ist 9“, in welchem keine Stufenangabe zu finden ist, in die Trestonelogik, in der ja anscheinend immer eine Stufenangabe gemacht werden muss? Was hat es mit dem Prädikaten „wahr“, „falsch“ und „unbestimmt“ bei dir auf sich? Kann man die Formeln statt gemäß dem Schema „W(A, t) = v“ nicht auch in der übersichtlicheren Operatorschreibeweise a la „(T, t)A“ (im Sinne von „A ist auf Stufe t wahr“) notieren? Ist die Trestonelogik intuitionistisch oder klassisch? Kann man die Trestonelogik nicht auch modallogisch aufziehen und die Stufen als mögliche Welten betrachten? Wie sind die Folgerungsrelationen definiert? Kann man verschachtelte Formeln wie „W ( W(SW,2)=w, 2) = W ( u , 2 ) = u“ vereinfachen, indem man „W“s einspart? Wie könnte ein Kalkül für die Trestonelogik aussehen? Wie könnte man dessen Vollständigkeit und Korrektheit beweisen? Wie lässt sich der ganze Kram überhaupt intuitiv motivieren? – Das sind nur einige Fragen, die mir spontan in den Sinn kommen, aber womöglich helfen sie zu verdeutlichen, warum ich dein Vorgehen kritisiere.

Hallo Soso,

ich versuche zunächst einen Teil zu beantworten,
vielleicht wird dann auch das Ganze verständlicher:

Zitat:

Original von -Soso- Hi. Deine letzte Antwort klingt so, als ob zwischen deiner angedachten Logik und der (mathematischen) Welt keine Verbindung bestünde. Unter der Annahme, dass dem so ist, habe ich dazu einige Bemerkungen: (a) Viele deiner Axiome sind in deiner angedachten Logik gar nicht formulierbar. So lautet beispielsweise Axiom A0 „Für alle t >=1 gilt wohl: W ( Für alle A gilt: W(A,0)=u, t ) = w“. Hier steht der Quantor „für alle t >= 1 gilt“ außerhalb des Bereiches von „W“. Er muss aber innerhalb des Bereiches von „W“ stehen, denn das Axiom muss ja gemäß dem Schema „der Wahrheitswert von A auf Stufe t ist v“ formuliert sein. (b) Wenn man mit der von dir angedachten Logik keine Sätze aufstellen kann, die etwas über die (mathematische) Welt aussagen, wozu taugt sie dann? Selbst wenn sie funktionieren sollte wie du dir das vorstellst, könnte man nicht einmal beweisen, dass 1 + 1 gleich 2 ist. Man könnte stattdessen nur beweisen, dass der Satz „1 + 1 = 2“ auf irgendeiner Stufe wahr ist. Daraus kann man aber – entgegen der Intuition – nicht schließen, dass also 1 + 1 gleich 2 ist, weil dein Wahrheitsbegriff mit dem üblichen Wahrheitsbegriff gar nichts zu tun hat. ...

Meine Logik und Mathematik verhalten sich zur "klassischen" Logik und Mathematik" wie zwei unterschiedliche physikalische Theorien zueinander:
Manche Begriffe sind beiden gemeinsam, andere sind sehr verschieden und kaum ineinander übersetztbar.
Beim Begriff "(absolute) logische Wahrheit" denke ich z.B. an den Begriff (absoluter) Zeit (oderGleichzeitigkeit) in der newtonschen Mechanik
und die stets auf ein Bezugssystem bezogene Zeit in der Relativitätstheorie.

Aus Sicht der Stufenlogik gibt es daher zu "1+1=2" nicht eine absolute Wahrheit, sondern eine Wahrheit je nach Bezugsstufe.
Und insbesondere in Stufe 0 ist "1+1=2" nicht wahr, sondern unentscheidbar.

Richtig ist, dass ich meine Theorie noch nicht konsequent ausformuliert habe und z.T. in alte (absolutistische) Annahmen verfalle.

Was ich z. Zt. entdecke ist, das neben den Wahrheitswerten W(A,t) auch noch eine Art Metastufe m eine Rolle spielt:
Das ist die höchste Stufe (<=t), von der W(A,t) abhängig ist.
Evtl lasse ich auch für die Stufenmenge T klassische Mengenlehre zu.
Aber dazu bei Gelegenheit mehr.

Mein Vorgehen ist so, dass ich über einige Ideen zur Stufenlehre "gestolpert" bin, und diese nun Zug um Zug immer konsequenter entwickele. Dabei muss ich ggf. auch die Axiome wieder umdefinieren ...

Dass ich einen anderen Wahrheitsbegriff als den üblichen habe, liegt an der Natur der Sache, schließlich bin ich ausgezogen, Logik und Mathematik zu revolutionieren.
Und wer die Logik (substantiell) ändern will, wird wohl kaum an einer Änderung des Wahrheitsbegriffes herumkommen.
Immerhin gibt es noch genügend Berührungspunkte (nicht alles ist neu und anders).
Und da meine Anfänge ziemlich intuitiv waren,
sehe ich meine Schwächen gerade im Formalen,
das sich nur zäh und nach und nach entwickelt.

Von der Logik zur Arithmetik ist es formal leider eine ganze Strecke,
die ich nicht komplett aus dem Ärmel schütteln kann.

Immerhin lassen mich frühere Ansätze hoffen, das es nicht nur möglich ist,
sonder in Teilen sogar einfacher und schöner als ZFC.

Gruß
Trestone