dynamische Stufenlogik: komplex und brauchbar?

Hallo,

betrachten wir (angeregt z.B. durch Soso) das Grundaxiom A0 noch einmal genauer:

A0: (Aussagen sind in Stufe Null stets unbestimmt):
A0:= „Für alle A gilt: W(A,0)=u“.

Folgende Fragen fallen mir dazu ein:
1. Müssen wir dazu nicht schon wissen (definiert haben), was eine „Aussage“ ist?
2. A0 ist ja selbst eine Aussage. Welche Wahrheitswerte hat sie in welcher Stufe?

Zu 1. können wir uns z.B. auf einen formalen Standpunkt zurückziehen:
Als „Aussagen“ lassen wir einfach beliebige „Zeichenketten“ zu.

Zu Stufe 0 gilt nach A0: W(A0,0)=u. (In Stufe 0 ist also unbestimmt, das alles unbestimmt ist …).
In Stufe 1 setzen wir: W ( A0, 1 ) = W ( Für alle A gilt: W(A,0)=u , 1 ) = w.
Zusätzlich fordern wir, dass W(A,0) von höheren Stufen betrachtet
den gleichen Wert hat wie von Stufe 1 aus betrachtet.
Dann gilt:
Sei d >=1: Dann gilt: W ( A0, d ) = W ( Für alle A gilt: W(A,0)=u, d ) = W ( Für alle A gilt: u=u , d) = w.
D.h. A0 ist eine ab d=1 immer wahre Aussage.

Gruß
Trestone

Hi.

Zitat:

Meine Logik und Mathematik verhalten sich zur "klassischen" Logik und Mathematik" wie zwei unterschiedliche physikalische Theorien zueinander: Manche Begriffe sind beiden gemeinsam, andere sind sehr verschieden und kaum ineinander übersetztbar. […] Dass ich einen anderen Wahrheitsbegriff als den üblichen habe, liegt an der Natur der Sache, schließlich bin ich ausgezogen, Logik und Mathematik zu revolutionieren.

Du übersiehst die zentrale Komponente der Wahrheit: die praktische. Wahrheit ist keine Eigenschaft, die man sich willkürlich zurechtdefinieren kann, um sie dann arbiträr diesen oder jenen Sätzen zukommen zu lassen. Wahrheit ist das Verbindungsstück von Sprache und Welt. Wenn einem Satz Wahrheit zukommt, so ist dieser Satz in ganz besonderer Weise ausgezeichnet, nämlich in derjenigen, dass man sich auf diesen Satz IN DER PRAXIS, die IN DER WELT stattfindet, verlassen kann. Ein wahrer Satz ist eine Orientierungshilfe für das Zurechtfinden in der Welt. Was tut man denn, wenn man etwa in London sich an der Tube-Station Swiss Cottage aufhält und zur Station Angel möchte? – Man schaut auf die Tube-Map und liest, dass man mit der Jubilee-Line in Richtung Stratford bis zur Baker Street, dann mit der Hammersmith & City-Line in Richtung Barking bis zur King's Cross und von da mit der Northern-Line in Richtung Morden bis zur Angel fahren kann und tut dies dann auch meist entsprechend. Dass man aber überhaupt so handelt, wie es die Tube-Map nahelegt, liegt einzig daran, dass man das, was die Tube-Map ausdrückt, für wahr hält – und zwar für wahr im Sinne von „mit der Wirklichkeit übereinstimmend“. Eben das ist die praktische Komponente der Wahrheit, die Sprache (die Tube-Map von London) und Welt (die Fahrwege der Londoner U-Bahn) verbindet.

Eine solche praktische Komponente besitzt auch die mathematische Wahrheit, wie sie üblicherweise aufgefasst wird. Die mathematische Wahrheit des Satzes „1,99 mit 3,75 addiert ergibt 5,74“ beispielsweise garantiert, dass man ganz bestimmte Handlungen in der Welt vollziehen kann. So kann man etwa mit 5,74 EUR in der Tasche einkaufen gehen und sich sicher sein, genug Geld zu haben, um einen Artikel für 1,99 EUR und einen für 3,75 EUR kaufen zu können. Auch in diesem Falle ist Wahrheit die Verbindung von Sprache und Welt.

Wenn du nun schreibst, dass du Wahrheit in der Trestone-Mathematik anders definieren willst, dann bedeutet das nichts anderes, als dass du deiner Trestone-Mathematik gerade das nimmst, was eigentlich ihre praktische Anwendbarkeit gewährleisten sollte und sie somit zunächst einmal völlig nutzlos wird, bis für sie ein adäquater Wahrheitsbegriff definiert ist. Wahrheit ist bei dir momentan bloß irgendeine überflüssige Eigenschaft, die man eher aus Spaß bestimmten Sätzen zuschreibt. Während Wahrheit normalerweise eine Orientierungshilfe für das Verhalten in der Welt ist, leistet deine Trestone-Wahrheit nichts dergleichen. Eben darum habe ich vorgeschlagen, statt von Wahrheit lieber von Waxheit oder ähnlichem zu sprechen, denn so wird auf der Stelle klar, dass es in der Trestone-Mathematik schlichtweg keine Wahrheit gibt und dadurch eine praktische Anwendung des Ganzen zunächst ausgeschlossen ist.

Ebenso seltsam sind deine Stufen. Du schreibst, die Stufen seien so etwas wie Perspektiven, aber was für Perspektiven sollen das sein? 1 und 1 ergibt IMMER 2, ganz egal, welche Perspektive ich einnehme. Hilft es mir irgendwie bei der Orientierung in der Welt, wenn ich weiß, dass der Satz „1 + 1 = 2“ in der Trestone-Mathematik auf Stufe 0 die Eigenschaft der Uxheit (Uxheit ist gemäß meinem letzten Beitrag mein Substitut für das, was du irritierenderweise „Unbestimmtheit“ nennst) hat? Anders herum fragt sich ebenso, wie man den Satz „1 + 1 = 2“ eigentlich in die Trestone-Mathematik übersetzen soll. Du kannst ja gerne mit Stufen, seltsamen Schlussregeln und was weiß arbeiten, aber wenigstens die INPUTS müssen doch konventionell sein. Ich will wissen, was die Quadratwurzel aus 17 ist, welchen Zahlen die Quersumme 999.999 haben, wieviele Primzahlen es bis 1.000.00 gibt usw., aber NICHT, was 5 + 7 auf Stufe 0, 1, 2, usw. ist. NIEMAND will das wissen, weil schlicht niemand weiß, was es bedeuten soll, dass ein Satz auf der und der Stufe den und den „Wahrheits“wert hat. Wenn es daher keine Möglichkeit gibt, einen Satz wie „1 + 1 = 2“ in die Trestone-Mathematik zu übersetzen, dann ist ihr praktischer Nutzen ebenso dahin wie durch das Nichtvorhandensein eines adäquaten Wahrheitsprädikates.

Hi.

Eine sehr gute Lektüre zum Thema Wahrheit in Formalsprachen ist übrigens Tarskis Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen.

Ansonsten noch etwas zum Formalen: Du hast dich gefragt, was man eigentlich als eine Aussage gelten lassen könne und hast dann festgelegt, dass jede beliebige Zeichenkette eine Aussage sei. Das wird so nicht gutgehen, weil dann auch „W)=,,,,&“ eine Aussage und damit wahrheitswertfähig wäre, obwohl es bloß eine willkürliche Sequenz von Zeichen ist.

Ich habe dir in der Diskussion Chrono-Logik: Ein erster Versuch anhand der Aussagenlogik einmal vorgeführt, wie man eine formale Sprache konstruiert und daran solltest du dich orientieren. Ich werde die entsprechende Textstelle hier nocheinmal reinstellen, aber die wichtigsten Punkte kurz zusammenfassen.

Wenn man eine formale Sprache L konstruiert, muss man zunächst einmal das Alphabet von L festlegen. Formeln von L sind dann einfach beliebige Zeichenketten, die aus Zeichen des Alphabets von L bestehen. Danach definiert man, was wohlgeformte Formeln sind. Dies sind diejenigen Formeln, die den grammatikalischen Regeln von L genügen und mit denen man letztlich arbeitet. Was ich dann nicht mehr vorgeführt habe, was man aber im Falle von Prädikatenlogiken macht, ist, zu definieren, was Satzfunktionen (Aussagefunktionen) und Sätze (Aussagen) sind. So werden als Satzfunktion üblicherweise diejenigen wohlgeformten Formeln definiert, die mindestens eine freie Variable enthalten. Seien „x“ und „y“ Variablen, „R“ ein zweistelliger Prädikatbuchstabe, dann ist beispielsweise „(x)[xRy]“ eine Satzfunktion der Prädikatenlogik 1. Stufe. Als Sätze schließlich werden diejenigen wohlgeformten Formeln definiert, die keine freie Variablen enthalten. Seien „x“ und „y“ wieder Variablen und „R“ ein Prädikatbuchstabe, dann ist „(x)(y)[xRy]“ ein Satz der Prädikatenlogik 1. Stufe.

Zuletzt nun also die o.g. Textstelle:

Zitat:

Vielleicht ist es hilfreich, anhand der Aussagenlogik mal durchzuspielen, wie man eine Formalsprache konstruiert. Dabei sind zwei Sprache zu unterscheiden, nämlich die Sprache, die da konstruiert wird – also die Sprache AL – sowie die Sprache, in der die Konstruktion geführt wird. Diese Sprache ist die deutsche Umgangssprache angereichert mit etwas Mengenlehre. Die Sprache AL ist entsprechend die Objektsprache, die deutsche Umganggsprache mit dem Anteil Mengenlehre die Metasprache. Nun zur Konstruktion von AL: Definition 1: Das Alphabet von AL: Das Alphabet von AL umfasst die Zeichen „p“, „~“, „&“, „*“, „)“ sowie „(“. In Definition 1 wird also das Alphabet von AL angegeben, denn wenn man eine Formalsprache konstruiert, benötigt man freilich erst einmal Zeichen, aus denen sich die Formeln zusammensetzen lassen. Zu beachten ist, dass die Anführungszeichen nicht zu AL gehören. Sie sind metasprachliche Zeichen, die um solche Ausdrücke gestellt werden, die der Objektsprache angehören. Dies ist nötig, um klarzustellen, DASS die eingeschlossenen Ausdrücke der Objektsprache angehören und nicht der Metasprache. Definition 2: Atomare Formeln von AL. 1. „p“ ist eine atomare Formel von AL (im weiteren Verlauf verzichte ich auf „von AL“). 2. Wenn A eine atomare Formel ist, dann auch 'A*'. 3. Nichts sonst ist eine atomare Formel. Hier wird geklärt, welche Formeln atomare Formeln sind, wobei Teildefinition 2 etwas tricky ist. Teildefinition 1 besagt, dass das Zeichen „p“ des Alphabets von AL eine atomare Formel ist – das ist simpel. In Teildefinition 2 jedoch kommt eine Metavariable sowie ein Satz berüchtigter corner-quotes oder Quine-quotes vor. Als Metavariable benutzt man üblicherweise griechische Kleinbuchstaben. Da es im Zeichensatz dieses Forums jedoch solche nicht gibt, benutze ich stattdessen das „A“ anstelle des kleinen Alpha. Ebenso gibt es keine corner-quotes, weshalb ich stattdessen die einstrichigen Anführungsstriche verwende. (Zu meinem Entsetzen musste ich feststellen, dass sich im Netz einfach kein Text finden lässt, in dem jemand corner-quotes verwendet. Corner-quotes sind im Grunde eckige Klammern, bei denen die untere Hälfte fehlt. „'A*'“ steht also eigentlich für „[A*]“, wobei man sich die jeweils untere Hälfte der Klammern wegdenken muss.) (a) Zur Verwendung von Metavariablen: In Teildefinition 2 ist „A“ eine Metavariable. Als solche ist sie eine Variable, die als Werte Zeichen von AL annimmt. Statt „wenn A eine atomare Formel ist, dann auch...“ könnte man daher auch schreiben „wenn eines der Zeichen von AL eine atomare Formel ist, dann auch...“. Dabei ist zu beachten, dass „A“ zur Metasprache gehört und nicht zur Objektsprache, denn wie man leicht nachprüfen kann, enthält das Alphabet von AL das Zeichen „A“ nicht. (b) Zur Verwendung der corner-quotes: Die corner-quotes in Teildefinition 2 zeigen an, dass die zwischen ihnen stehende Zeichenkette aus objektsprachlichen UND metasprachlichen Zeichen besteht (darum stehen sie auch nicht um das einzeln stehende „A“). So ist das „A“ in „A*“ ein metasprachliches, das „*“ ein objektsprachliches Zeichen. Die Vermischung von objekt- und metasprachlichen Zeichen ist hier einfach nötig, um rekursiv definieren zu können, welche Formeln atomar sind. Mit den Teildefinitionen 1 und 2 ist eine unendliche Anzahl von atomaren Formeln definiert. So besagt Teildefinition 2, dass, wenn A eine atomare Formel ist, so auch 'A*'. Da aus Teildefinition 1 hervorgeht, dass „p“ eine atomare Formel ist, folgt daher, dass auch „p*“ eine ist. Teildefinition 2 lässt sich wiederum auf „p*“ anwenden und es ergibt sich, dass auch „p**“ eine atomare Formel ist. Dieses Spielchen lässt sich unendlich weiterführen. Die dritte Teildefinition wird gerne vergessen, ist jedoch notwendig, denn sie besagt, dass Definition 2 (also das ganze Ding) vollständig ist, d.h. dass mit Definition 2 ALLE atomaren Formeln definiert sind. Definition 3: Wohlgeformte Formeln (wffs): 1. Jede atomare Formel ist eine wff. 2. Wenn A und B wffs sind, dann sind auch '~A' und „A & B' wffs. 3. Nichts sonst ist eine wff. Auch diese Definition ist rekursiv und definiert vollständig alle wffs. So sind in Definition 2 alle atomare Formeln definiert und Definition 3 gibt an, wie wffs aus diesen atomaren Formeln zusammengesetzt sind. Mit diesen drei Definitionen ist der syntaktische Teil beendet. Es wurde geklärt, welche Zeichen AL umfasst, welche davon atomare Formeln sind bzw. wie sich daraus atomare Formeln bilden lasse und wie sich aus atomaren Formeln komplexe Formeln zusammensetzen. Bis jetzt ist AL jedoch nur eine Anleitung zum Zusammenbauen irgendwelcher sinnloser Zeichenketten, die überhaupt keine Bedeutung haben. Was also fehlt, ist, den wffs von AL Bedeutung zu geben: Definition 4: AL-Modell (AL-Interpretation): Ein AL-Modell ist eine Funktion V, die jeder wff von AL ein Element aus {1, 0} zuordnet. Dabei gelten folgende Bedingungen: 1. V('~A') = 1 genau dann, wenn V(A) = 0. 2. V('A & B') = 1 genau dann, wenn sowohl V(A) = 1 und V(B) = 1. Was hier geschieht, ist zunächst ziemlich unklar: es wird lediglich klar, dass die Funktion V den wffs Elemente aus {1, 0} zuordnet. Was man jetzt macht, was aber nicht mehr zu Konstruktion von AL gehört, ist, Übersetzungsregeln anzugeben, welche gewissermaßen das Bindeglied von AL mit der Umgangssprache darstellen. So sollen atomare Formeln für Sätze stehen, das „~“ stehe für die Satznegation „es ist nicht der Fall, dass“, das „&“ stehe für „und“ und 1 und 0 seien die Wahrheitswerte des Wahren und des Falschen. So lassen sich nun Sätze der Umgangssprache in Sätze von AL übersetzen, sodass man diese AL-Sätze etwa auf ihre logischen Eigenschaften wie Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit oder Widersprüchlichkeit prüfen kann, um dann Rückschlüsse auf die ursprünglichen Sätze der Umgangsprache zu ziehen (z.B. lässt sich „es regnet und es regnet nicht“ übersetzen als „p & ~p“ und da „p & ~p“ widersprüchlich ist, darauf schließen, dass auch „es regnet und es regnet nicht“ widersprüchlich ist). Prinzipiell ist AL jetzt fertig, aber es ist freilich sehr anwenderunfreundlich, weshalb man einige Zusatzdefinition aufstellt: Zusatzdefinition 1: Eine atomare Formel kann mit „q“, „r“ oder „s“ abgekürzt werden. Zusatzdefinition 2: Seien A und B wffs. 1. '~(~A & ~B)' kann durch '(A v B)' abgekürzt werden. 2. '~(A & ~B)' kann durch '(A -> B)' abgekürzt werden. 3. '((A -> B) & (B -> A))' kann durch '(A <-> B)' abgekürzt werden. 4. '((A v B) & ~(A & B))' kann durch '(A xor B)' abgekürzt werden. Klammerkonvention: Außenklammern dürfen weggelassen werden. Mit den Definition 1 bis 4 sowie den beiden Zusatzdefinitionen und der Klammerkonvention hat man schließlich AL, so wie es jeder kennt. Was man jetzt noch machen kann, ist etwa, ein semantisches Entscheidungsverfahren zu konstruieren, welches erlaubt, wffs schnell darauf zu prüfen, ob sie widersprüchlich, erfüllbar oder allgemeingültig sind, ohne, dass man ein Modell konstruieren müsste. Auch könnte man Kalküle basteln, etwa einen axiomatischen Kalkül wie in den Principia Mathematica oder einen Regelkalkül wie den Kalkül des natürlichen Schließens. Gerade ein Regelkalkül für AL ist nützlich, wenn man mit AL Schlüsse untersuchen will (und nicht bloß Sätze). Will man aber Schlüsse untersuchen, muss man freilich auch definieren, was es eigentlich heißt, dass ein Satz aus einem anderen (oder anderen Sätzen) folgt, man muss also eine Folgerungsrelation definieren.

Zitat:

Original von -Soso- Hi. Zitat: Meine Logik und Mathematik verhalten sich zur "klassischen" Logik und Mathematik" wie zwei unterschiedliche physikalische Theorien zueinander: Manche Begriffe sind beiden gemeinsam, andere sind sehr verschieden und kaum ineinander übersetztbar. Du übersiehst die zentrale Komponente der Wahrheit: die praktische. Wahrheit ist keine Eigenschaft, die man sich willkürlich zurechtdefinieren kann, um sie dann arbiträr diesen oder jenen Sätzen zukommen zu lassen. Wahrheit ist das Verbindungsstück von Sprache und Welt. Wenn einem Satz Wahrheit zukommt, so ist dieser Satz in ganz besonderer Weise ausgezeichnet, nämlich in derjenigen, dass man sich auf diesen Satz IN DER PRAXIS, die IN DER WELT stattfindet, verlassen kann. Ein wahrer Satz ist eine Orientierungshilfe für das Zurechtfinden in der Welt. ... Eine solche praktische Komponente besitzt auch die mathematische Wahrheit, wie sie üblicherweise aufgefasst wird. Die mathematische Wahrheit des Satzes „1,99 mit 3,75 addiert ergibt 5,74“ beispielsweise garantiert, dass man ganz bestimmte Handlungen in der Welt vollziehen kann. So kann man etwa mit 5,74 EUR in der Tasche einkaufen gehen und sich sicher sein, genug Geld zu haben, um einen Artikel für 1,99 EUR und einen für 3,75 EUR kaufen zu können. Ebenso seltsam sind deine Stufen. Du schreibst, die Stufen seien so etwas wie Perspektiven, aber was für Perspektiven sollen das sein? 1 und 1 ergibt IMMER 2, ganz egal, welche Perspektive ich einnehme. ... Wenn es daher keine Möglichkeit gibt, einen Satz wie „1 + 1 = 2“ in die Trestone-Mathematik zu übersetzen, dann ist ihr praktischer Nutzen ebenso dahin wie durch das Nichtvorhandensein eines adäquaten Wahrheitsprädikates.

Hallo Soso,

ganz so abgehoben von der Realität bewegt sich die Stufentheorie (hoffentlich) nicht.

Wenn zum Beispiel eine Aussage für alle Stufen ab Stufe 1 wahr ist,
so kommt sie einer klassisch wahren Aussage schon ziemlich nahe.

(Denn Stufe 0 könnte der Urknall oder die Geburt des Bewußtseins sein,
also in der Praxis ziemlich unzugänglich.)

Mit meiner Forschung / meinen Versuchen ziele ich gerade an die Ränder von Mathematik und Praxis:
Etwa wenn es klassisch Aussagen zur Überabzählbarkeit gibt, die sich in der Stufentheorie einfach als Scheinannahmen verflüchtigen
(wie die globale Gleichzeitigkeit in der Relativitätstheorie).
Auch die Irrationalität der Wurzel aus Zwei könnte ein solcher "Scheinbeweis" sein, der auf keiner echten Praxis/Realität beruht.

Die Stufentheorie kann helfen, solche Scheinrealitäten zu erkennen,
die Folge unserer Theorien und (oft stillschweigenden) Annahmen in Logik und Mathematik sind und nicht unabhängig davon "real" gültig.

Ob "1+1=2" auch dazu gehört, weiß ich noch nicht,
versuche aber die Stufenmathematik so zu konstruieren,
dass "1+1=2" für alle Stufen ab 1 gilt.

Letztlich benutze also auch ich einen impliziten Realitäts- und Wahrheitsbegriff, der der Stufentheorie vorausgeht.
Ganz willkürlich ist das Ganze also nicht gedacht,
aber was sich de fakto daraus alles ergibt,
bleibt noch zu erkunden.

Gruß
Trestone

Hallo,

ein Schlüssel zum Verständnis der Stufenlogik ist die Gleichheitsbeziehung:
Wann sind zwei Aussagen (stufenlogisch) gleich?

Zunächst ist Gleichheit eine Eigenschaft und deren Vorliegen ist wie bei allen Eigenschaften stets in Verbindung mit einer Stufe zu betrachten:

A hat Eigenschaft E von Stufe t aus gesehen: W ( A hat E, t ) = ?

Also W ( A1=A2 , t ) = ?

In Logiken definieren sich äquivalente Aussagen üblicherweise über den Wahrheitswert,
in der Stufenlogik gibt es dazu drei Werte: w, u, -w, die zudem noch je Stufe unterschiedlich sein können.

Daher setzen wir: A1=A2 := ( Für alle t gilt: W(A1,t) = W(A2,t) ).

Diese Definition setzen wir in obige Formel ein (und ersetzen dort t durch d):

W ( A1=A2 , d ) = W ( Für alle t gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d )

Klar ist: W ( A1=A2 , 0 ) = u. (In Stufe 0 ist für alle Aussagen Gleichheit unentscheidbar).

Wir untersuchen nun, ob „Gleichheit in Stufe d“ eine Äquivalenzrelation ist:
(Dabei unterstelle ich, dass für die Werte W(A,t) diese Gesetze gelten)

Reflexivität:
W ( A1=A1,d) = W ( Für alle t gilt: W(A1,t) = W(A1,t) , d ) = w (für d>=1).
Also ab Stufe 1 erfüllt.

Kommutativität:
Sei W ( A1=A2, d ) = w . Dann gilt: W ( Für alle t gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d ) = w
Und damit auch: W ( Für alle t gilt: W(A2,t) = W(A1,t) , d ) = w, also: W (A2=A1,d) = w .
Also ab Stufe 1 erfüllt.

Transitivität:
Sei W(A1=A2,d)=w und W(A2=A3,d)=w. Dann gilt: W(Für alle t gilt: W(A1,t)=W(A2,t) ,d) = w und W(Für alle t gilt: W(A2,t)=W(A3,t),d) = w.
Dann gilt auch W(Für alle t gilt: W(A1,t)=W(A3,t) ,d) = w, also: W(A1=A3,d)=w (für d>=1).
Also ab Stufe 1 erfüllt.

Betrachten wir Gleichheit also nur von einer Stufe d aus, hat sie die gewohnten Eigenschaften.

Nun wäre es aber unschön, wenn Aussagen in einer Stufe gleich wären, in der nächsten aber ungleich.

Diese „stufenübergreifende“ Gleichheit ist schwerer zu analysieren:

Sei W ( A1=A2, d ) = w . Dann gilt: W ( Für alle t gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d ) = w
Und es gilt auch W ( Für alle t<d gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d ) = w und W ( Für alle t>=d gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d ) = w.

Nun ist W ( Für alle t<d gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d ) = W ( Für alle t<d gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d+1 ) = w (in höheren Stufen bleibt bei Metaaussagen der Wahrheitswert.)

Ich vermute, dass wenn von Stufe d aus eine All-t-Aussage zu W(A1,t) und W(A2,t) entschieden werden kann
(z.B. weil a1 und a2 eine Darstellung besitzen, in der nur Stufen kleiner d vorkommen),
dass diese Aussage dann auch von Stufe d+1 aus gültig bleibt.

D.h.: Aus W ( A1=A2, d ) = w folgt W ( A1=A2, d+1 ) = w und
aus W ( A1=A2, d ) = -w folgt W ( A1=A2, d+1 ) = -w.

Allerdings gilt dies nicht für W ( A1=A2, d ) = u, denn W ( A1=A2, d+1 ) kann dann noch alle drei Werte w,u,-w annehmen.

Zu zwei Aussagen A1, A2 gibt es also ein minimales d, bzgl. dessen sie gleich oder ungleich sind.

Wir können also definieren:
Sei d(A1,A2) die minimale Stufe, an der W(A1=A2,d) -= u gilt (bzw. 0 wenn stets u).
Dann heißen A1 und A2 „gleich ab Stufe d“ bzw. „ungleich ab Stufe d“. (oder „unvergleichbar“ falls d(A1,A2)=0)

Stets gilt: A1 ist mit A1 „gleich ab Stufe 1“.

Aussagen, die miteinander ab Stufe 1 gleich sind, bilden eine Äquivalenzklasse.

Die Äquivalenzklasse der in Stufe 1 gleichen, ab Stufe 1 immer wahren Aussagen,
und die der ab Stufe 1 immer nicht wahren Aussagen kommen den klassischen wahren und falschen Aussagen sehr nahe.
Man sieht, dass sie in der Stufenlogik Spezialfälle sind und diese noch viel mehr Möglichkeiten zulässt.

Gruß
Trestone

Hallo,

die in allen Stufen ab 1 wahren bzw. nicht-wahren Aussagen sind ja den klassischen Ausagen sehr ähnlich, ich nenne sie kurz „1-w“-Aussagen.

Und diese Eigenschaft vererbt sich auch:

Ist A 1-w und B 1-w so auch –A, A&B und A v B.

Denn W(-A,t) = - W(A,t); W(A&B,t) = W(A,t) & W(B,t); (AvB,t) = W(A,t) v W(B,t).

Für 1-w-Aussagen ist die Stufenlogik der klassischen Logik also sehr ähnlich.
(Weshalb letztere die letzten 2000 Jahre wohl für unsere Alltagspraxis ausreichend war …)

Erstes Beispiel für einen nicht 1-w-Satz ist der Lügnersatz:
L:= Diese Aussage L ist nicht wahr

1) L:= “W(L,t) -= w“ (für beliebige t)

Betrachte W(L,d) = W (W(L,t)-=w),d) für t=0 und d=1:
W(L,1)=W(W(L,0)-=w,1) = W(u-=w,1) = w
Für t=1 und d=2:
W(L,2) = W(w-=w,2) = -w. L ist also nicht 1-w.

2) L:= “Für alle t gilt: W(L,t) -= w“

Betrachte W(L,d) = W (Für alle t gilt: W(L,t)-=w , d ).
Ann.: W(L,1)=w -> W(W(L,1)-=w, 2) = W(w-=w,2)=-w -> W(L,2)=-w.
Ann.: W(L,1)=-w -> W(W(L,1)-=w,2) = w -> W(L,2) = W(Für alle t>=2 gilt: W(L,t)-=w , 2 ).
Zu zeigen bleibt noch, dass W(L,2) nun u oder w ist.

Gruß
Trestone

Hi.

Allein in deinen letzten beiden Beiträgen finden sich u.a. folgende Formeln:

W ( A1=A2 , d ) = W ( Für alle t gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d )

W ( A1=A1,d) = W ( Für alle t gilt: W(A1,t) = W(A1,t) , d ) = w (für d>=1).

W ( Für alle t<d gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d ) = W ( Für alle t<d gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d+1 ) = w

W(-A,t) = - W(A,t); W(A&B,t) = W(A,t) & W(B,t); (AvB,t) = W(A,t) v W(B,t).

W(L,d) = W (W(L,t)-=w),d)

W(L,1)=W(W(L,0)-=w,1) = W(u-=w,1) = w

W(L,2) = W(w-=w,2) = -w.

W(L,d) = W (Für alle t gilt: W(L,t)-=w , d )

W(L,1)=w -> W(W(L,1)-=w, 2) = W(w-=w,2)=-w -> W(L,2)=-w

W(L,1)=-w -> W(W(L,1)-=w,2) = w -> W(L,2) = W(Für alle t>=2 gilt: W(L,t)-=w , 2 )

All diese Formeln verstoßen gegen die Syntaxregeln deines Formalismus', denn keine von ihnen ist eine Instanz des Schemas „W(A, t) = soundso“. Ähnliche Formeln finden sich auch in deinen anderen Beiträgen.

Außerdem finden sich die beiden gleichbedeutenden Definitionen:

L:= “W(L,t) -= w“ (für beliebige t)

L:= “Für alle t gilt: W(L,t) -= w“

Auch sie verstoßen gegen deine Syntax, da die Formel „ Für alle t gilt: W(L,t) -= w“ ebenfalls keine Instanz des o.g. Schemas ist.

Ich möchte aus diesem Grunde nochmals vorschlagen, die Sache systematisch anzugehen und entsprechend mit der Syntax zu beginnen, d.h. mit einer Angabe der zur Verfügung stehenden Zeichen sowie Definitionen, welche Zeichenverbindungen überhaupt zulässig sind. Außerdem möchte ich vorschlagen, die umständliche W(A, t) = blubb-Notation durch eine übersichtliche Operatornotation zu ersetzen. Aus „W(A, t) = w“ wird dann „(T, t)A“, aus „W(A, t) = u“ wird „(U, t)A“ und aus „W(A, t) = -w“ wird „(F, t)A“. Mit dieser Notation wird auch sofort deutlich, dass beispielsweise deine Formel „W(L,d) = W (W(L,t)-=w),d)“ gegen die Syntax verstößt, denn in Operatorschreibweise lässt sie sich gar nicht notieren.

Hallo,

Jetzt noch zu einer exotischen Eigenschaft meiner Logik:
Sie ist kontextsensitiv.

(@Soso: Vielleicht fällt es mir deshalb so schwer, das ganze schlüssig zu formalisieren ...)

Dazu betrachten wir wieder den Lügnersatz, zunächst klassisch:

L:= Dieser Satz L ist nicht wahr.

Also: (1a) L:= W(L) -= w.

1.Fall: Annahme, es gilt W(L)=w.
Aus (1a) folgt: W (L) = W ( W(L) -= w ).
Hier ersetzen wir das W(L) auf der rechten Seite durch w:
W (L) = W ( w -= w ) = -w . Dies steht im Widerspruch zur Annahme W(L)=w.

2.Fall: Annahme, es gilt W(L)= -w.
Aus (1a) folgt: W (L) = W ( W(L) -= w ).
Hier ersetzen wir das W(L) auf der rechten Seite durch -w:
W (L) = W ( -w -= w ) = w . Dies steht im Widerspruch zur Annahme W(L)= -w.

Mit zweiwertiger klassischer Logik also nicht lösbar.

Sei nun zusätzlich noch der Wert „u“ für Aussagen zugelassen,
(also eine dreiwertige Logik).
„-=w“ bedeutet nun entweder gleich –w oder gleich u zu sein.

1. und 2. Fall bleiben wie oben.
Nun noch ein 3. Fall: Annahme, es gilt W(L)=u.
Aus (1a) folgt: W (L) = W ( W(L) -= w ).
Hier ersetzen wir das W(L) auf der rechten Seite durch u:
W (L) = W ( u -= w ) = w . Dies steht im Widerspruch zur Annahme W(L)=u.

Also auch noch kein Ausweg.

Wir haben jeweils die Ersetzung von W(L) durch einen Wahrheitswert in (1a) benutzt.
Nun ist aber zwischen W(L)=w und W ( W(L) -= w ) ein Unterschied bzgl. W(L):
Im zweiten Fall steht um W(L) noch eine Klammer mit einem weiteren W-Aufruf.
Wenn wir den Wert W(L) also kontextabhängig machen (nach Anzahl der umgebenden W-Klammern) können wir das Paradoxon vermeiden:

Ann.: W(L)=w wenn W(L) ohne weitere W-Klammern steht
Und W(L) = -w wenn W(L) in eine W-Klammer eingebettet ist.

Kontextsensitiver 1. Fall:
Annahme, es gilt W(L)=w. (und damit W(L)= -w in einer W-Klammer).
Aus (1a) folgt: W (L) = W ( W(L) -= w ).
Hier ersetzen wir das W(L) auf der rechten Seite durch –w (da in W-Klammer):
W (L) = W ( -w -= w ) = w.

Bei kontextsensitiver (wechselwertiger) Logik könnte L also wahr sein.

Natürlich will man keine so willkürlich konstruierte Logik,
in der der gleiche Ausdruck je nach Kontext einmal wahr und einmal falsch ist.

Die Stufenlogik ist eine kontextsensitive Logik,
die versucht, mit plausibleren Kontextabhängigkeiten zu operieren.
(Ganz ist das wohl noch nicht gelungen …)

Grundgröße ist hier W(A,t).
Wenn W(A,t) = w gilt, ist nicht automatisch W ( W(A,t)=w, d) = w.

Hier einige Kontext-Regeln der Stufenlogik:

K1) Immerhin gilt: Falls W(A,t) = w gilt, dann gilt W ( W(A,t)=w , d ) = w für d>t.
(D.h. wenn d > t ist, darf W(A,t) durch seinen Wert ersetzt werden)

K2) Und bei W(A,t) = w ist W ( W(A,t)=w, d) -= -w (d.h. mit W-Klammer wird aus w allenfalls u oder doch w).

Interessant auch der Fall:
K3) Gilt für alle t : W(A,t) -= w, so kann W ( für alle t gilt: W(A,t) -= w , d ) gleich u oder gleich w sein.

K4) Ist W ( für alle t gilt: W(A,t) -= w , d ) = w , so gilt auch W ( für alle t gilt: W(A,t) -= w , d+1 ) = w. (analog mit –w, aber nicht mit u).

Jetzt wieder zum Lügnersatz:
(1b) L:= W(L,t) -= w

1. Fall: Ann. W(L,t) = w
Dann gilt nach (1b): W(L, d) = W (W(L,t) -= w , d )
Setze d=t+1: W(L,t+1) = W ( W(L,t) -= w , t+1 )
Also nach K1): W(L,t+1) = W ( w -= w , t+1) = -w.

Wir sehen also, dass L in der Stufenlogik einen nach Stufen alternierenden Wahrheitswert haben könnte, was dort kein Widerspruch ist.

Es gibt noch eine andere Formulierung des Lügnersatzes in der Stufenlogik:

(1c) ) L:= Für alle t gilt: W(L,t) -= w.

Daraus folgt: W(L,d) = W (Für alle t gilt: W(L,t) -= w , d )

1. Fall: Ann. W(L,d)=w. Dann ist W (Für alle t gilt: W(L,t) -= w , d ) = w
Und nach K4): W (Für alle t gilt: W(L,t) -= w , d+1 ) = w.
In W (Für alle t gilt: W(L,t) -= w , d+1 ) dürfen wir für t=d nach K1) auch W(L,d) durch w ersetzen, was zu einem Widerspruch führt.

2. Fall: Ann. W(L,d)= -w. Dann ist W (Für alle t gilt: W(L,t) -= w , d ) = -w.
Dann gibt es ein t0 mit W(L,t0)=w. Damit weiter wie bei Fall 1 -> Widerspruch.

3.Fall: Ann. W(L,d) = u. Dann ist W (Für alle t gilt: W(L,t) -= w , d ) = u.
Dank der Kontextsensitivität ist denkbar, dass für alle t gilt: W(L,t)=u
und dennoch W (Für alle t gilt: W(L,t) -= w , d ) = u (und nicht w).
Auch dieser Lügnersatz (1c) ist also wohl in der Stufenlogik widerspruchsfrei,
aber der beweis dazu ist noch nicht ganz vollständig.

Die Stufenlogik hat also drei Änderungen gegenüber der klassischen Logik:

1) Sie ist dreiwertig
2) Sie ist kontextsensitiv
3) Sie benutzt Stufen

Gruß
Trestone

Hi.

Zitat:

Dazu betrachten wir wieder den Lügnersatz, zunächst klassisch: L:= Dieser Satz L ist nicht wahr. Also: (1a) L:= W(L) -= w. 1.Fall: Annahme, es gilt W(L)=w. Aus (1a) folgt: W (L) = W ( W(L) -= w ). Hier ersetzen wir das W(L) auf der rechten Seite durch w: W (L) = W ( w -= w ) = -w . Dies steht im Widerspruch zur Annahme W(L)=w. 2.Fall: Annahme, es gilt W(L)= -w. Aus (1a) folgt: W (L) = W ( W(L) -= w ). Hier ersetzen wir das W(L) auf der rechten Seite durch -w: W (L) = W ( -w -= w ) = w . Dies steht im Widerspruch zur Annahme W(L)= -w. Mit zweiwertiger klassischer Logik also nicht lösbar.

Warum denn „nicht lösbar“? Du hast doch gerade gezeigt, dass der Lügnersatz widersprüchlich ist; das IST die Lösung.

Alternativ – und so macht man es im Falle des Lügnersatzes üblicherweise – kannst du auch mit einer Hierarchie von Sprachen oder Wahrheitsprädikaten arbeiten und so den Lügnersatz als grammatikalisch nicht wohlgeformt nachweisen, weil er die Hierarchie verletzt.

Dein Anliegen scheint mir ja eher zu sein, eine ANDERE Lösung zu finden als die üblichen.

Und was ist denn jetzt mit den NICHT stufenabhängigen Aussagen in deinen Beiträgen wie diejenigen über die Gleichheit von Wahrheitswerten usw.?

Zitat:

Original von -Soso- ... Dein Anliegen scheint mir ja eher zu sein, eine ANDERE Lösung zu finden als die üblichen. Und was ist denn jetzt mit den NICHT stufenabhängigen Aussagen in deinen Beiträgen wie diejenigen über die Gleichheit von Wahrheitswerten usw.?

Hallo Soso,

ja mein Anliegen ist eine Logik zu entwickeln,
in der der Lügnersatz ein vielleicht besonderer aber zulässiger Satz ist.

Die (bisher) nicht stufenabhängigen Aussagen sind Zug um Zug
durch stufenabhängige Aussagen (meist wohl zu Stufe 1) zu ersetzen,
aber auch mir fällt es schwer, eine über 40-jährige Gewohnheit
wie die klassische Logik und ihre Formulierungen konsequent abzustreifen ...

Gruß
Trestone

Hi.

Zitat:

Die (bisher) nicht stufenabhängigen Aussagen sind Zug um Zug durch stufenabhängige Aussagen (meist wohl zu Stufe 1) zu ersetzen

Aber welchen syntaktischen Regeln müssen die Aussagen der Trestone-Logik denn nun überhaupt genügen? Bisher steht nur fest, dass alle Aussagen auf eine Stufe relativiert werden müssen. Aber was ist dann mit „W(p, 2) = w“? Muss diese Aussage qua Aussage nicht auch auf eine Stufe relativiert werden, sodass man beispielsweise „W(W(p, 2) = w, 5) = u“ erhält? Aber das ist ja auch eine Aussage, muss diese wiederum auf eine Stufe relativiert werden ad infinitum? Und nehmen wir mal an, A und B seien wohlgeformte Aussagen der Trestone-Logik, ist dann „A & B“ eine wohlgeformte Aussage oder muss die Konjunktion ihrerseits auf eine Stufe relativiert werden, sodass man etwa erhält „W(A & B, 3) = w“? Wie willst du weiterhin überhaupt Axiome formulieren wie das Axiom A0, wonach auf Stufe 0 alle Aussagen unbestimmt seien? Sind Axiome von der Relativierung auf Stufen ausgenommen? Wenn nicht, wie sollte dann ihre universale Gültigkeit in der Trestone-Logik gewährleistet werden? Muss man dann eine unendlich lange Konjunktion bilden wie „A0 ist auf Stufe 0 unbestimmt und auf Stufe 1 wahr und auf Stufe 2 wahr und auf Stufe 3 wahr...“? Muss diese Konjunktion dann – wie oben vermutet – womöglich ihrerseits auf eine Stufe relativiert werden? Muss man daher dann diese unendlich lange Konjunktion nochmals zu einer unendlich langen Konjunktion erweitern im Sinne von „die fraglichen Konjunktion ist auf Stufe 0 unbestimmt, auf Stufe 1 wahr, auf Stufe 2 wahr...“? Doch muss DIESE Konjunktion dann nicht auch wieder auf alle Stufen relativiert werden ad infinitum? Was ist eigentlich mit Definitionen? Müssen diese auch relativiert werden auf Stufen? Ist dann auf einer Stufe „A & B“ definiert als „~(~A v ~B)“ und auf einer anderen nicht? Oder werden, obwohl die Trestone-Logik ihre eigene Metasprache ist, Definitionen in einer „echten“ Metasprache formuliert, also einer Sprache, die nicht die Sprache der Trestone-Logik ist? Wenn dem so ist, was gehört dann zur Sprache der Trestone-Logik, was zu dieser „echten“ Metasprache? – Auch dies sind wieder nur einige Fragen, die mir auf die Schnelle in den Sinn kommen und die sich darum stellen, weil deine Syntax völlig unklar ist.

Hallo Dreistein,
15 Jahre ohne Mathematik und Logik sind eine lange Zeit (Ecke Lukasziewicz ( MV-Algebren)). Von daher habe ich deinen Ansatz zunächst erstmal nur überflogen. Es gefällt mir zunächst einmal nur der Name 'Stufenlogik' und der Versuch der Weiterentwicklung / Bearbeitung des modalen Ansatzes.

Meine eigene heutige Basis zur Logik ist die Ausssage 'Alles ist erklärbar'. Dies impliziert insbesondere die allgemeine Möglichkeit zur endlichen / stufenweisen Zurückführung auf etwas Klares, das System erlaubt gar nicht die Möglichkeit von Widersprüchlichem. Damit fliegen Negation und insbesondere das Tertium non datur wie bei dir auch heraus. Dieser Ansatz sollte mehrere Konzepte der Logik in Frage stellen, ich muss aber zugeben, dass ich dem bisher nicht Masse gegeben habe, geben konnte.

Gespannt drauf, was ich in deinem Ansatz finden kann, und ob er zu meinem groben Kram in Bezug gebracht werden kann. Werd' mich - hoffentlich - näher mit deinen Sachen beschäftigen.

Grüße

Zitat:

Original von -Soso- ... Aber welchen syntaktischen Regeln müssen die Aussagen der Trestone-Logik denn nun überhaupt genügen? Bisher steht nur fest, dass alle Aussagen auf eine Stufe relativiert werden müssen. Aber was ist dann mit „W(p, 2) = w“? Muss diese Aussage qua Aussage nicht auch auf eine Stufe relativiert werden, sodass man beispielsweise „W(W(p, 2) = w, 5) = u“ erhält? Aber das ist ja auch eine Aussage, muss diese wiederum auf eine Stufe relativiert werden ad infinitum? Sind Axiome von der Relativierung auf Stufen ausgenommen? Wenn nicht, wie sollte dann ihre universale Gültigkeit in der Trestone-Logik gewährleistet werden? ... Was ist eigentlich mit Definitionen? Müssen diese auch relativiert werden auf Stufen? Oder werden, obwohl die Trestone-Logik ihre eigene Metasprache ist, Definitionen in einer „echten“ Metasprache formuliert, also einer Sprache, die nicht die Sprache der Trestone-Logik ist?

Hallo Soso,

mit ähnlichen Fragen habe ich mich auch beschäftigt,
denn einerseits hätte ich gern die Stufenlogik als ihre eigene Metasprache/logik andererseits möchte ich keine unendlichen Stufen.

Aber in jüngster Zeit forsche ich in eine andere Richtung:
Die Kontextsensitivität finde ich spannend,
und man kann auch aus ihr eine Art Stufen/Grade ableiten:
die Verschachtelungs (=Klammer-)tiefe von Wahrheitswertbestimmungen.

W(A) (1. Grad)
W( W(A) ) (2. Grad)
W ( W ( W(A) ) ) (3. Grad)

Man kann sich nun ausdenken, dass Aussagen z.B. im ersten Grad wahr, in allen weitere aber "u" sind.

D.h. ich darf W(A) nicht stets durch "w" ersetzen, sondern kontextsensitiv nur,
wenn W(A) nicht in weitere W(..) eingebettet ist, dann ist W(A) durch "u" zu ersetzen.

Das könnte eine komplette Logik ergeben, werde ich ggf. in einem neuen Thread betrachten.
Auf meine geliebten t-Stufen (v.a. die Stufe 0) werde ich dabei vorerst verzichten, um es nicht zu kompliziert zu machen ...

Gruß
Trestone

Hallo,

die Fortsetzung zu kontext sensitiver Logik nun im Nachbarthread:
kontext-sensitive Logik

Gruß
Trestone

Hallo,

Wie z.T. bemerkt wurde, hat mein Ansatz zur Stufenlogik einen gravierenden Mangel:
Aussagen lassen sich dabei streng genommen gar keine Wahrheitswerte zuordnen:
Denn wenn Aussagen und ihre Werte stufenabhängig sind, so ist auch die Aussage
„Aussage A hat in Stufe t den Wahrheitswert w“ selbst wieder stufenabhängig, usw.

Aber als intuitiver Logiker lasse ich mich von solchen „Kleinigkeiten“ nicht unterkriegen…

Hier mein Reparaturversuch:

Eine Aussage A hat weiter Wahrheitswerte je Stufe t,
diese sind aber vom Betrachtungshorizont d abhängig.

W(A,t,d) nimmt für d>t jeweils einen Wert aus w,u,-w an.
Für d>t ist W(A,t,d) konstant gleich W(A,t,t+1).
Falls W(A,t,t+1) = u gilt, gilt W(A,t,d)=u für alle d.
Für d<=t ist entweder W(A,t,d)= W(A,t,t+1) oder W(A,t,d) kann zusätzlich den Wert u annehmen, d.h. W(A,t,d) ist dann zweideutig.
Dies bedeutet, dass man in Formeln F(W(A,t,d)) jeweils zwei Werte für W(A,t,d) einsetzten muss.
Ergeben sie unterschiedliche Ergebnisse (z.B. w bzw. –w) ist für F(W(A,t,d)) der Wert u zu setzen.

Mit diesen (Ersetzungs-)Regeln kann man bei Kenntnis von W(A,t,d) in allen Formeln W(A,t,d) durch Wahrheitswerte w,u,-w ersetzen.
Die nach Substitution verbleibenden Formeln kann man nach klassisch-dreiwertiger Logik berechnen/auflösen.

W(U,t,d)=u für alle t und alle d: U ist die unbestimmte Aussage.
W(V,t,d)=w für alle t>0 und alle d>0: V ist die wahre Aussage.
( W(V,t,0) = u und W(V,0,d)=u für alle t und alle d )
W(N,t,d)=-w für alle t>0 und alle d>0: N ist die nichtwahre Aussage.

W(A,t,t+1) kann man abkürzend W(A,t) schreiben, denn dies ist der „Hauptwert“ von A in Stufe t.

Trotz identischer Hauptwerte können Aussagen verschieden sein:
Sei W(A1,t)=w und W(A2,t)=w für alle t.
Sei W(A1,1,1)=w und W(A2,1,1) = w und u

Sei F(A): = W(W(A,1,1)=w). Dann ist F(A1)= W(w=w)=w.
Und F(A2)= W(w=w) = w oder W(u=w) = -w, also F(A2)=u.

Gleichheit erhält man über doppelte Stufengleichheit:

Zwei Aussagen sind gleich, wenn sie in allen Stufen von allen Horizonten aus betrachtet gleiche Wahrheitswerte haben.

W( A1=A2 , t, d ) = w für alle t>0 und d>0 :<-> Für alle t und alle d gilt: W(A1,t,d) = W(A2,t,d).

Evtl. genügt auch die „schwache“ Wahrheit W( A1=A2 , t, d ) = w für alle t>0 und d>t.

Insgesamt ist die Lage leider komplizierter als gewünscht,
aber warum soll es der Logik besser ergehen als den übrigen Wissenschaften,
die meist nur auf der Ebene des „gesunden Menschenverstandes“ einfach sind?

Gruß
Trestone

Hallo,

Im alten Jahr noch ein wenig Stufenlogik:

Leider erinnert mich das ganze an Chemie (Atomschalen)
und ist viel umständlicher und komplizierter, als mir lieb ist.

Andererseits steckt weiter nur eine Grundidee dahinter,
deren Umsetzung nur schwieriger als gedacht ist,
aber da ich sie nun schon lange verfolge, gebe ich so leicht nicht auf.

Ich hatte ja schon W(A,t,d) als zweistufige Grundgröße der Stufenlogik geschrieben.

Statt W(A,t,d) könnte man auch W(W(A,t),d) schreiben, so wird der Zusammenhang mit den vorhergehenden Ansätzen deutlicher.

Warum genügen nun zwei (Meta-)Stufen und muss man nicht W(A,t1, t2, t3, … ) betrachten?

Nun, ich nehme an, dass die „äußeren“ Stufen nach oben blind sind,
und daher nach „innen“ abzugleichen sind , also absteigend sein müssen (außer zu t1):
D.h. W(W(W(A,t1), t2), t3) = W(W(W(A,t1), t3-1), t3) falls t2>=t3,
also z. B. W(W(W(A,9), 6), 5) = W(W(W(A,9), 4), 5).

Ist eine der äußeren Stufen 0, so setzt man t2=0.

Nach dem Abgleich können die Stufen bis auf t1 und t2 weggelassen werden.
Also z. B. W(W(W(A,9), 4), 5) = W(W(A,9),4).
Daher genügt es, zu Aussage A die Werte W(W(A,t),d) festzulegen.

Versuchen wir eine Beispielaussage:
„Diese Aussage L ist nicht wahr.“
Eine mögliche Abbildung in Doppelstufenlogik:
W(W(L,t+1),t+2) := W( W(L,t,t+1)=-w oder W(L,t,t+1)=u, t+2 )

W(W(L,0+1),0+2)= W( W(L,0,1)=-w oder W(L,0,1)=u, 2 ) = w (denn W(A,0,1)=u für alle A).

W(W(L,1+1),3)= W (W(L,1,2)=-w oder W(L,1,2)=u, 3 ) = -w

Also W(L,1,2)=w, W(L,2,3) = -w , W(L,3,4)=w , W(L,4,5) = -w , usw.

Oder die Russellmenge:
W(W(x e R, t+1), t+2) := W( W(x e x,t,t+1)=-w oder W(x e x,t,t+1)=u, t+2 )

W(R e R,1,2)= W( W(x e x,0,0+1)=-w oder W(x e x,0,0+1)=u, 0+2 ) = w (denn W(x e M,0,1)=u für alle x und M).

W(R e R,2,3)= -w ; W(R e R,3,4)= w usw.

Wir haben dabei zwar nur W(A,t+1,t+2) festgelegt, aber wg. W(A,0,d)=u sind damit die Hauptwerte W(A,t) für t=0,1,2,3,… festgelegt.

Z.B. bei W(A,t,t) wären noch Varianten denkbar,
dies muss ich vorläufig noch offenlassen.

Das war´s für dieses Jahr!

Gruß
Trestone

Hallo,

die meisten sind ja mit der (klassischen Aussagen-) Logik ganz zufrieden und sehen wenig Änderungsbedarf,
aber ich selbst bin schon seit über zehn Jahren auf der Suche nach Alternativen.

Auslöser war Unbehagen an Randbereichen wie der Lügnerantinomie, beim Cantorschen Diagonalverfahren,
bei der Russellschen Antinomie und dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz.
Dazu kam das Vorbild der Quantentheorie (und Relativitätstheorie), die einige Grundbegriffe und Ansätze erfolgreich änderten,
so dass mir eine Untersuchung der Logik lohnend erschien, zumal die Logik ja auch bei ihrer Begründung ihr eigener Richter ist.

Von Anfang an war die sogenannte „Stufenlogik“ mein Hauptkandidat,
aber immer wieder scheiterte ich an inneren Widersprüchen oder dem Problem,
dass ich auf der Metaebene bei Beschreibung der Theorie diese nicht passend anwenden konnte.
Zudem fehlte auch eine Erklärung, weshalb wir 2000 Jahre lang mit einer zweiwertigen Logik gut auskamen,
obwohl ich unendlich viele Stufen zugrunde legen wollte.

Jetzt denke ich eine einigermaßen stimmige Beschreibung zu haben,
auch wenn ich zugegebenermaßen die Regeln passend aufgestellt habe,
ohne sie alle letztlich „erklären“ zu können
(etwa wie Niels Bohr bei seinen Regeln zum Atommodell).

Aus der Russellschen Typentheorie stammt die Grundidee mit den Stufen,
aus der Quantentheorie stammt die Anregung, neben wahr und falsch noch einen dritten unbestimmten Wert anzunehmen:
Eine Eigenschaft (z.B. Ort eines Teilchens) muss keinen festen Wert haben,
solange sie nicht gemessen wurde.

Nun ordnete ich nicht mehr wie klassisch Wahrheitswerte einer Aussage A zu,
sondern Messungen W(A,t) des Wahrheitswerts einer Aussage zu einer Stufe t:.

Statt der Zeit in der Physik wählte ich „Denkstufen“ t für die Logik
und ließ dort (d,h, für W(A,t) ) die Werte w (wahr), -w (nicht wahr) und u (unbestimmt) zu.
(Was genau diese Stufen t= 0,1,2,3,… sind, muss sich noch zeigen).

Anders als klassisch kann eine Aussage nun in einer Stufe den Wert u,
in einer anderen den Wert w und danach sogar den Wert –w haben
(Wir werden bald solche Beispiele sehen, z.B. die Lügnerantinomie).

Auch die klassischen Aussagen lassen sich abbilden, es sind genau die Aussagen,
die für alle Stufen größer Null konstant entweder den Wert w oder –w annehmen.
(Die Stufe 0 nehmen wir dabei aus, da dort stets der Wert u gilt (s.u.)).

Diese Eigenschaft haben auch alle Aussagen der Metaebene, d.h. Aussagen über Aussagen, über Stufen t oder Werte W(A,t).
D.h. auf der Metaebene gilt im wesentlichen (bis auf Stufe 0) die klassische Logik.

Wenn wir im Alltag vorwiegend mit Metaaussagen operieren, würde das erklären,
dass wir die Stufenlogik bisher kaum bemerkten.

Hier erst einmal die Hauptregeln der Stufenlogik (zunächst noch klassisch formuliert):

A1: Es gibt eine induktive Menge T von Stufen: t= 0,1,2,3,…

A2: Aussagen A sind stufenlose Gebilde, deren Wahrheitswert wir nur bezogen auf eine Stufe t erkennen können.
(Bei Aussagen über Wahrheitswerte ist also jeweils eine Bezugsstufe anzugeben, d.h. „W(A,t)=…“)

A3: Je Stufe t kann der Wahrheitswert einer Aussage A genau einen der Wahrheitswerte w, -w, u annehmen.

A4: In Stufe 0 sind alle Aussagen unbestimmt.
VA: W(A,0)=u (Eine Art Verankerung, geistiger „Urknall“)

A5: Zwei Aussagen sind (stufenlogisch) gleich, wenn sie in allen Stufen t=0,1,2,… gleiche Wahrheitswerte haben.
VA:VB: ( A=B := Vt: W(A,t)=W(B,t) )

A6: (Meta-)Aussagen über t sind ab Stufe 1 stets w oder stets –w (also weitgehend wie klassische Aussagen).
Schreibweise: Bei Metaaussagen M steht W(M,1f) für W(M,1)=W(M,2)=W(M,3)=…

A7: (Meta-)Aussagen über „W(A,t)=…“ sind ab Stufe 1 stets w oder stets –w

A8: Man kann eine Aussage A (stufenlogisch) definieren, indem man den Wert W(A,t) für jede Stufe t festlegt.
Dies ist auch rekursiv möglich, indem W(A,t+1) mittels W(A,t) festgelegt wird.
Dabei können auch beliebige schon definierte Werte W(B,d) und Metaaussagewerte benutzt werden.
z.B. W(L,t+1) := W( W(L,t)=-w v W(L,t)=u,1f )

Wie man sieht sind A1-A8 klassisch, d.h. W(An,1f)=w.

Durch die Stufen ist die Stufenlogik zunächst einmal komplizierter als die klassische Logik,
sie sollte also Vorteile bieten, um den Aufwand zu rechtfertigen.

Die meisten Vorteile liegen auf abstrakten Gebieten:
Bei den oben angesprochnen Randbereichen gibt es positive Punkte:
Die Lügnerantinomie lässt sich einfangen, das Cantorsche Diagonalverfahren führt nicht mehr zu Überabzählbarkeit,
die Russellsche Antinomie löst sich auf (und es gibt die Menge aller Mengen) und auch zum Unvollständigkeitssatz bin ich optimistisch.
Als Nachteil steht dem gegenüber, dass die natürlichen Zahlen in manchen Punkten wohl stufenabhängige Eigenschaften haben und dadurch komplizierter werden.

Die Verankerung in Stufe 0 mit dem Wert u eröffnet evtl. auch philosophisch neue Möglichkeiten.
Die Anwendung auf nicht mathematisch-logische Probleme (z.B. Geist – Körper – Koppelung) habe ich mir noch nicht überlegt.

Gruß
Trestone

Hi Trestone,
wenn ich mich recht entsinne, lösten schon die ersten Versuche der mehr-wertigen Logik die Lügnerantinomie oder Russells Mengenproblem. Das geht glaub' ich schon mit drei-wertiger Logik (0,1/2,1), spätestens aber mit Lukasciewiczscher Logik.
Das man die Überabzählbarkeit auch in den Griff kriegen könnte, finde ich interessant. Wie geht das bei dir?

Wie sieht es bei dir mit einer Algebra hinter der Logik aus, a la Boolescher Algebra, Heyting-Algebra oder MV-Algebra? Hast du da schon Ansätze?

Grüße
bernstein

Hallo Bernstein,

die Auflösung der Lügnerantinomie bei dreiwertiger Logik kenne ich noch nicht,
im Gegenteil, man kann die Paradoxie in dreiwertiger Logik nachstellen:

L3:= "Diese Aussage L3 nimmt nicht den Wahrheitswert "wahr" an."
Nimmt man nun an, dass L3 wahr ist, so müsste L3 einen der Werte -w oder u annehmen, was ein Widerspruch wäre.
Näme L3 umgekehrt einen der Werte -w oder u an, so wäre L3 nach Definition wahr, also wieder ein Widerspruch.
L3 kann also keinen der drei Werte w,-w,u annehmen.

Der Ausweg in meiner Logik führt auch nicht über die Dreiwertigkeit sondern über die Stufen.
Aber das werde ich ein andermal erläutern, ebenso wie die zugehörige Mengenlehre, die ohne Überabzählbarkeit auskommt.

Eine Algebra habe ich vermutlich noch nicht, aber ich bin formal mit Logik nicht sonderlich vertraut (Studium liegt schon über 20 Jahre zurück).

Gruß
Trestone

Hi.

Sei A eine Metaaussage auf t=1:

(A) A ist auf t=1 falsch.

Da A eine Metaaussage ist, ist sie wahr oder falsch. Angenommen, A ist wahr auf t=1, dann ist A falsch auf t=1. Angenommen, A ist falsch auf t=1, dann ist A wahr auf t=1. Widerspruch.

Ich nehme an, was dir vorschwebt, ist daher, dass eine Metaaussage M über eine Aussage A auf einer höheren Stufe ist als A; und dass eine Metaaussage N über eine Stufe t auf einer höheren Stufe ist als t.