synthetische Urteile a priori in der Mathematik

Namd zammen,
Also Kant schreibt, dass 5 + 7 = 12 ein synthetisches Urteil ist, weil in 5 + 7 bloß eine Vereinigung zweier Zahlen steht, nicht aber was letztendlich dabei rauskommt. Kurze Gegenfrage: Was ist bei bspw. 24 - 18 = 6? In sowohl 24, als auch 18, kommt man durch Zerlegung zur 6, wäre es nicht damit direkt herleitbar und analytisch?

Gruß
Roadside

@ Road:

In der Mathematik wird es schwierig, zwischen "synthetisch" und "analytisch" unterscheiden zu wollen!

Zahlen sind nämlich abstrakt, und, konkret gar nicht vorhanden!

Dennoch sind sie (konkreten) Gesetzmäßigkeiten unterworfen.

Wäre nett, wenn du "Synthetisch" genauer definieren könntest!

Ich bezieh mich da auf Kant:

In allen Urteilen, worinnen das Verhältnis eines Subjekts zum Prädikat gedacht wird, (wenn ich nur die bejahenden erwäge, denn auf die verneinenden ist nachher die Anwendung leicht,) ist dieses Verhältnis auf zweierlei Art möglich. Entweder das Prädikat B gehört zum Subjekt A als etwas, was in diesem Begriffe A (versteckterweise) enthalten ist; oder B liegt ganz außer dem Begriff A, ob es zwar mit demselben in Verknüpfung steht. Im ersten Fall nenne ich das Urteil analytisch, in dem andern synthetisch. Analytische Urteile (die bejahenden) sind also diejenigen, in welchen die Verknüpfung des Prädikats mit dem Subjekt durch Identität, diejenigen aber, in denen diese Verknüpfung ohne Identität gedacht wird, sollen synthetische Urteile heißen.

@ Roadside:

Das war ziemlich kompliziert, aber, oft gibt es für solch komplizierte Dinge einfache Beispiele! Nenne mir mal eines...................

Zitat:

Original von Archibald Zahlen sind nämlich abstrakt, und, konkret gar nicht vorhanden! Dennoch sind sie (konkreten) Gesetzmäßigkeiten unterworfen.

Das gilt nur für die natürlichen Zahlen. Sie sind ja nichts anderes als Ausdruckssymbol für konkret vorhandene Dinge.
Bei den komplexen und schon bei den rationalen Zahlen wäre ich mir hingegen gar nicht mehr so sicher , ob sie einer konkreten Gesetzmäßigkeit (i.S. der Repräsentanz konkreter Ereignisse) unterliegen oder ob sie nicht vielmehr rein synthetische Urteile sind.

Zitat:

Original von Neo Das gilt nur für die natürlichen Zahlen. Sie sind ja nichts anderes als Ausdruckssymbol für konkret vorhandene Dinge.

wo hast du denn das gelesen?
nenn mal ein beispiel für ein konkret vorhandenes ding das mit 13 symbolisiert wird.

Zitat:

Bei den komplexen und schon bei den rationalen Zahlen wäre ich mir hingegen gar nicht mehr so sicher , ob sie einer konkreten Gesetzmäßigkeit (i.S. der Repräsentanz konkreter Ereignisse) unterliegen oder ob sie nicht vielmehr rein synthetische Urteile sind.

synthetisch als gegensatz zu konkret? und wo hast du das gelesen?

mathematische strukturen oder entitäten repräsentieren immer nur insoweit irgendwas anderes als du es diesem regelhaft zuordnest. und nie in einem anderen sinne. eine gewissermassen natürliche repräsentanz gibt es nicht. was sollte das auch sein, bzw wie wollte man sich das auch vorstellen.
natürlich kann man rationale zahlen genauso auf konkretes anwenden wie natürliche. schliesslich ist ein halber kuchen nicht wirklich etwas ausser der welt liegendes. selbst irrationale zahlen sind doch recht anschaulich zum beispiel als diagonale im quadrat. und selbst pi ist als verhältnis von durchmesser und umfang nicht wirklich unanschaulich. komplexe zahlen sind zugegebenermassen etwas unanschaulicher, werden aber natürlich genauso zur beschreibung realer strukturen benutzt wie andere zahlen auch und unterscheiden sich in dieser hinsicht nicht.

zahlen unterliegen immer den gesetzmässigkeiten denen man sie unterwirft.

genau darin liegt auch das problem mit den synthetisch apriorischen urteilen. dass fünf plus sieben zwölf ergibt ist eben nur dann apriorisch, wenn ich ein sicheres system habe, in dem das entscheidbar ist. dieses system muss natürlich in irgendeinem sinn alle beteiligten zahlen irgendwie vorwegnehmend behandeln und insofern sind die ergebnisse, in genau dem sinn in dem die ergebnisse apriorisch als richtig erkannt werden können, schon vorweggenommen. das tut dem charakter der konkreten konstruktion keinen abbruch, liegt doch die sicherheit im system des konstruierens...und darin liegt eben auch die vorweggenommenheit aller möglichen zahlen eines eingeführten zahlenbereichs.
das problem mit der einteilung in synthetisch und analytisch nach dem sinngehalt der wörter liegt erstens darin, dass, bis auf wenige ausnahmefälle, bei vielen wörtern gar nicht klar ist, was sie denn nun enthalten und was nicht. und, dass kein wort eine bedeutung für sich selbst besitzen kann. der bedeutunggebende rahmen ist eben entscheidend und konstruiert man eben tatsächlich nichts neues mit den sätzen über das dreieck in dem sinn, als die sicherheit mit der man diese sätze weissen kann aus dem strengen begriffssystem herrührt und dieses dem dreieck seine bedeutung gibt und nicht nur, was man sich naiverweise unter einem dreieck mal eben so vorstellen würde. niemand würde im begriff des dreiecks den satz des pythagoras sehen...was ja auch der grund ist, warum man dafür einen beweis fordert, auch gegenüber sich selbst. aber der beweis ist letztlich nur eine analyse des begriffs des dreiecks im begriffssystem der geometrie, nicht natürlich im sinne eines naiven begriffs bzw einer naiven anschauung vom dreieck. aber das apriorische gründet sich eben ebenfalls ausschlieslich auf das strenge begriffssystem. so mag man solche sätze also synthetisch apriorisch nennen. sie sind aber nicht in dem rahmen synthetisch in dem sie apriorisch sind und umgekehrt. denn eine konstruktion die im grunde durch eine mechanische ableitung aus einem axiomatischen begriffssystem ersetzt werdne kann ist eben im kern keine synthese in diesem sinn.
für zahlen würde ich gleiches behaupten.
in dem sinn, in dem 5+7=12 synthetisch ist ist natürlich auch 24-18=6 synthetisch. konstruktion ist ja nicht zu verwechseln mit einer addition, überhaupt kann man das ja auch jeweils ins andere umschreiben, der charakter des satzes darf sich dabei ja nicht ändern.
wenn man ein ergebnis berechnet, das einem vorher nicht bekannt war (der ganze sinn der angelegenheit), dann erfährt man natürlich etwas neues, weiss hinterher mehr als vorher. aber es liegt eben in der natur des rechenvorgangs, dass in keinem schritt etwas neues hinzugefühgt wird das nicht schon implizit vorher dagewesen wäre. anders wäre die gültigkeit des ergebnisses ja nicht garantierbar. der wahrheiterhaltung folgt ja gerade aus der sicherheit mit keinem schritt etwas anderes getan zu haben als eine korrekt regelhafte inhaltlich nichts verändernde zeichenverschiebung. insofern ist da eben nichts neues.
die einteilung in synthetisch/analytisch und apriori/aposteriori scheint da nicht besonders weit zu tragen.

gruss

@Mark:

ich habe mir unter dem pythagoräischen Satz z.B. nie ein Dreieck sondern einen rechten Winkel vorgstellt, dessen beiden Schenkel durch eine abstrakte Verbindung in der Ebene auf kürzestem Weg verbunden sind. Das hat nämlich weit mehr Zusammenhang mit dem P. Satz als ein Dreieck, da nicht jedes Dreieck rechtwinklig ist. (auch ohne Pilze ). Auf demselben Weg stellte ich mir die Quadratwurzel räumlich vor. Es ist weniger als die Strecke von a plus b (aber mehr als deren Durchschnitt), was irgendwie auf geheimnisvolle Weise dadurch zustande kommt, dass ich eine Abkürzung durch die Ebene nehme und ich dadurch zusätzlich Weg benötige.

Was ich mit den natürlichen Zahlen sagen wollte ist, dass diese bereits a priori in den primitivsten Formen unseres Denkens vorhanden sind und nicht etwas erst durch synthetische Urteile hergeleitet werden müssen. Diese sind sofort da, sobald man gelernt hat zu zählen. Und das können bereits Vögel.
Dein sicheres System ist also nichts anderes, als der angeborene anschauliche Unterschied zwischen Einheit und Vielheit.

Gruß

Zitat:

Original von Neo @Mark: ich habe mir unter dem pythagoräischen Satz z.B. nie ein Dreieck sondern einen rechten Winkel vorgstellt, dessen beiden Schenkel durch eine abstrakte Verbindung in der Ebene auf kürzestem Weg verbunden sind. Das hat nämlich weit mehr Zusammenhang mit dem P. Satz als ein Dreieck, da nicht jedes Dreieck rechtwinklig ist. (auch ohne Pilze ). Auf demselben Weg stellte ich mir die Quadratwurzel räumlich vor. Es ist weniger als die Strecke von a plus b (aber mehr als deren Durchschnitt), was irgendwie auf geheimnisvolle Weise dadurch zustande kommt, dass ich eine Abkürzung durch die Ebene nehme und ich dadurch zusätzlich Weg benötige.

allgemeiner pythagoras

Zitat:

Was ich mit den natürlichen Zahlen sagen wollte ist, dass diese bereits a priori in den primitivsten Formen unseres Denkens vorhanden sind und nicht etwas erst durch synthetische Urteile hergeleitet werden müssen. Diese sind sofort da, sobald man gelernt hat zu zählen. Und das können bereits Vögel.

nix ist apriori vorhanden.
vögel können natürlich nicht zählen. was nicht heisst, dass sie nicht begrenzt mit mengen oder anzahlen umgehen können.
bei dem satz geehts auch nicht darum ob die vorkommenden zahlen synthetisch sind sondern darum, ob die aussage über den zusammenhang der zahlen eine synthetische ist. kleiner unterschied.
und da man mit gewisser berechtigung sagen kann, dass man die zwölf sicher nicht mit der fünf mitdenken muss etc... siehe oben.

gruss

Zitat:

Original von mark Zitat: Original von Neo Das gilt nur für die natürlichen Zahlen. Sie sind ja nichts anderes als Ausdruckssymbol für konkret vorhandene Dinge. wo hast du denn das gelesen? nenn mal ein beispiel für ein konkret vorhandenes ding das mit 13 symbolisiert wird.

Vollkommen richtige Gegenfrage!
Denn 1 ist die einzige Zahl, mit der ein konkretes Ding so ausgedrückt werden kann, dass über dessen Anzahl keinerlei Zweifel bestehen können.

Das ist aber auch nicht weiter verwunderlich, da nun einmal jedes Ding in der Natur als Einzelding vorliegt. Will ich diese Einzeldinge kombinieren, bin ich zur Abstraktion gezwungen. Vielleicht hätte der geniale Kant das bedenken sollen, bevor er uns erst mit dem Ding an sich und den Dingen für uns zugeschwemmt und dann zu transzendentalen Mätzchen gezwungen hat, damit wir uns in dem Schlamassel zurechtfinden können, den er selbst angerichtet hat.

Gruß
Telltale

Zitat:

Original von Telltale Denn 1 ist die einzige Zahl, mit der ein konkretes Ding so ausgedrückt werden kann, dass über dessen Anzahl keinerlei Zweifel bestehen können.

jedenfalls kann man nicht umhin anzuerkennen, dass die eins eine besondere stellung einnimmt.

Genau. Und diese besondere Stellung ist folgende:
1 ist.
Alles Übrige wird.

Zitat:

Original von Telltale Genau. Und diese besondere Stellung ist folgende: 1 ist. Alles Übrige wird.

ich glaube, diese formulierung wird von der überwiegenden mehrheit, mich eingeschlossen, als eher kryptisch empfunden...

Zitat:

Original von mark ich glaube, diese formulierung wird von der überwiegenden mehrheit, mich eingeschlossen, als eher kryptisch empfunden...

Wirklich? Also ich finde das eher recht leicht einzusehen.
1 = 1. Das steht fest.
2 dagegen entsteht aus der Operation: 1 + 1. Muß also erst mal werden.
Und diese Operation benötigt ein zur Abstraktion fähiges Wesen, ist also auch nur abstrahierte Natur. Weitergesponnen ist demnach jegliche komplexe Aussage eine Abstraktion, deren Basis immer 1 sein muß.

Gruß
Telltale

Zitat:

Original von Telltale Zitat: Original von mark ich glaube, diese formulierung wird von der überwiegenden mehrheit, mich eingeschlossen, als eher kryptisch empfunden... Wirklich?

wirklich.

Zitat:

Also ich finde das eher recht leicht einzusehen.

mag ja sein, dass da ein sachverhalt leicht einzusehen ist. deswegen kann die formulierung ja trotzdem kryptisch sein.

Zitat:

1 = 1. Das steht fest. 2 dagegen entsteht aus der Operation: 1 + 1. Muß also erst mal werden. Und diese Operation benötigt ein zur Abstraktion fähiges Wesen, ist also auch nur abstrahierte Natur. Weitergesponnen ist demnach jegliche komplexe Aussage eine Abstraktion, deren Basis immer 1 sein muß.

nun...ob die zwei überhaupt entstehen muss... und wenn ja wie, das ist ja so eine sache.
es ist klar, dass die eins am anfang einer reihe steht und die einfachheit allen anderen -heiten zusammengefasst als mehr- oder vielheit gegenübergestellt werden kann.
aber der begriffliche rahmen ist mir trotzdem nicht klar, was es heissen soll, dass da was ist im gegensatz zu werden etc.
das könntest du ja vielleicht mit etwas prosa drumherum, die zeigt, wie du das benutzt, ändern.

gruss

@ Mark

Es ist nicht ganz leicht, das auf rein schriftlichem Wege darzustellen. In persönlichen Gesprächen versuche ich oft, das mit einem umfangreichen gestischen Repertoire aufzupeppen - nicht ganz unähnlich dem Sonnentanz der Hopi-Indianer.

Aber im Ernst, es ist deshalb etwas kompliziert, weil es Teil einer Weltsicht ist, die als reduktionistisch zu bezeichnen, eigentlich noch übertrieben ist. Und in einer Gesellschaft, die vollkommen durchkategorisiert ist, steht die Einfachheit nun mal als die komplizierteste Sache der Welt da.
Wittgenstein sagte dazu: "Die für uns wesentlichen Aspekte der Dinge sind durch ihre Einfachheit und Alltäglichkeit verborgen." Und da kann ich dem Mann wirklich nur zustimmen.

Unglücklicherweise verbietet ein Verständnis der Natur, das einfach nur lautet: "Alles minus Eins wird Null." jegliche Einordnung in Kategoriensysteme fast von selbst. Sogar diese Formel krankt daran, eben formal zu sein.

Aber da Du etwas mehr Prosa wünschtest, umschreibe ich es mal so:
Wenn ich von "Eins" rede, dann beschreibe ich damit lediglich das ausschließliche Vorhandensein von Sein (auch Natur genannt) und gleichzeitg den völligen Ausschluß von Nichts (im Sinne von Gegensatz zu Sein).
Hierbei sind noch keinerlei Affektionen betrachtet.
Es beschreibt wirklich nur eine "Einfachheit und Alltäglichkeit" wie:
Sein ist.
Nichtsein ist nicht.

Leider kann ich nicht selbst einschätzen, ob das noch zu kryptisch ist, deshalb mußt Du es mir sagen, ob da noch Erklärungsbedarf besteht oder ob ich fortfahren kann.

Gruß
Telltale

Zitat:

Original von mark Nenn mal ein beispiel für ein konkret vorhandenes ding das mit 13 symbolisiert wird.

Konkret vorhanden ist 13 als materiell erfahrbare Eigenschaft einer Objektgruppe.
Man kann die vorhanden Objekte zählen und kommt zum Ergebnis, dass es 13 sind.
Da das "13-Sein" dieser Objekte materiell erfahrbar ist, ist es konkret vorhanden.
Auch für eine andere Person sind diese als 13 wahrnehmbar.

Anders ist es bei Begriffen wie "Ethik", "Freiheit", "gut" oder "böse". Diese haben keinen konkreten Objektbezug.

@ Florian

Wenn Deine Objektgruppe aus 13 Objekten besteht, so liegt hier lediglich das 1-Sein von 13 Objekten vor. Um dieses 1-Sein von 13 Objekten in ein 13-Sein umzuwandeln, bist Du zur Abstraktion gezwungen.

Wenn ein Regiment aus 1.000 Soldaten besteht, so wirst Du dessen Natur ja wohl auch nicht im 1000-Sein bzw. Regiment-Sein dieser Gruppe aus beieinander stehenden Einzelstücken ausmachen, woanders man auch annehmen könnte, dass ein Division-Sein entsteht, wenn 2 Regiment-Seiende sich paaren und mit einem weiteren Regiment-Sein gesegnet werden.

Sorry, Florian, aber das haut nicht hin.

Gruß
Telltale

Zitat:

Original von Roadside Namd zammen, Also Kant schreibt, dass 5 + 7 = 12 ein synthetisches Urteil ist, weil in 5 + 7 bloß eine Vereinigung zweier Zahlen steht, nicht aber was letztendlich dabei rauskommt. Kurze Gegenfrage: Was ist bei bspw. 24 - 18 = 6? In sowohl 24, als auch 18, kommt man durch Zerlegung zur 6, wäre es nicht damit direkt herleitbar und analytisch? Gruß Roadside

Kants Argument leuchtet mir überhaupt nicht ein. Die Summe 5 + 7 beinhaltet eben mehr als nur die Zahlen 5 und 7. Da steht nämlich auch noch ein +. Im Axiomensystem der ganzen Zahlen sind die Zahlen 5, 7 und 12 eindeutig definiert. Es kann keine Überraschungen geben, was die Summe 5 + 7 für ein Resultat ergibt. Wir können unabhängig von einander zwei Zahlen addieren, die wir noch nie zuvor addiert haben und wir werden alle zur selben Anschauung kommen, was das für ein Resultat ergibt. Es gibt nicht verschiedene Möglichkeiten, wie die zwei Zahlen 'synthetisiert' werden könnten. Das ist alles wohl bestimmt.

Mathematische Sätze werden nicht synthetisch, sondern analytisch gewonnen.

Zitat:

Original von Philipp Wehrli Zitat: Original von Roadside Namd zammen, Also Kant schreibt, dass 5 + 7 = 12 ein synthetisches Urteil ist, weil in 5 + 7 bloß eine Vereinigung zweier Zahlen steht, nicht aber was letztendlich dabei rauskommt. Kurze Gegenfrage: Was ist bei bspw. 24 - 18 = 6? In sowohl 24, als auch 18, kommt man durch Zerlegung zur 6, wäre es nicht damit direkt herleitbar und analytisch? Gruß Roadside Kants Argument leuchtet mir überhaupt nicht ein. Die Summe 5 + 7 beinhaltet eben mehr als nur die Zahlen 5 und 7. Da steht nämlich auch noch ein +. Im Axiomensystem der ganzen Zahlen sind die Zahlen 5, 7 und 12 eindeutig definiert. Es kann keine Überraschungen geben, was die Summe 5 + 7 für ein Resultat ergibt. Wir können unabhängig von einander zwei Zahlen addieren, die wir noch nie zuvor addiert haben und wir werden alle zur selben Anschauung kommen, was das für ein Resultat ergibt. Es gibt nicht verschiedene Möglichkeiten, wie die zwei Zahlen 'synthetisiert' werden könnten. Das ist alles wohl bestimmt. Mathematische Sätze werden nicht synthetisch, sondern analytisch gewonnen.

Kant Prolegomena


Mathematische Urteile sind insgesamt synthetisch. Dieser Satz scheint den Bemerkungen
der Zergliederer der menschlichen Vernunft bisher ganz entgangen, ja allen ihren
Vermutungen gerade entgegengesetzt zu sein, ob er gleich unwidersprechlich gewiß und in
der Folge sehr wichtig ist. Denn weil man fand, daß die Schlüsse der Mathematiker alle nach
dem Satze des Widerspruches fortgehen, | (welches die Natur einer jeden apodiktischen
Gewißheit erfordert), so überredete man sich, daß auch die Grundsätze aus dem Satze des
Widerspruchs erkannt würden, worin sie sich sehr irreten; denn ein synthetischer Satz kann
allerdings nach dem Satze des Widerspruchs eingesehen werden, aber nur so, daß ein anderer
synthetischer Satz vorausgesetzt wird, aus dem er gefolgert werden kann, niemals aber an sich
selbst.
Zuvörderst muß bemerkt werden: daß eigentliche mathematische Sätze jederzeit Urteile a
priori und nicht empirisch sind, weil sie Notwendigkeit bei sich führen, welche aus Erfahrung
nicht abgenommen werden kann. Will man mir aber dieses nicht einräumen, wohlan, so
schränke ich meinen Satz auf die reine Mathematik ein, deren Begriff es schon mit sich
bringt, daß sie nicht empirische, sondern bloß reine Erkenntnis a priori enthalte.
Man sollte anfänglich wohl denken: daß der Satz 7 + 5 = 12 ein bloß analytischer Satz sei, der
aus dem Begriffe einer Summe von Sieben und Fünf nach dem Satze des Widerspruches
erfolge. Allein, wenn man es näher betrachtet, so findet man, daß der Begriff der Summe von
7 und 5 nichts weiter enthalte, als die Vereinigung beider Zahlen in eine einzige, wodurch
ganz und gar nicht gedacht wird, welches diese einzige Zahl sei, die beide zusammenfaßt. Der
Begriff von Zwölf ist keinesweges dadurch schon gedacht, daß ich mir bloß jene Vereinigung
von Sieben und Fünf denke, und, ich mag meinen | Begriff von einer solchen möglichen
Summe noch so lange zergliedern, so werde ich doch darin die Zwölf nicht antreffen. Man
muß über diese Begriffe hinausgehen, !! indem man die Anschauung !! [zu Hülfe nimmt, die einem
von beiden korrespondiert, etwa seine fünf Finger, oder (wie SEGNER in seiner Arithmetik)
fünf Punkte, und so nach und nach die Einheiten der in der Anschauung gegebenen Fünf zu
dem Begriffe der Sieben hinzutut. Man erweitert also wirklich seinen Begriff durch diesen
Satz 7 + 5 = 12 und tut zu dem ersteren Begriff einen neuen hinzu, der in jenem gar nicht
gedacht war, d. i. der arithmetische Satz ist jederzeit synthetisch, welches man desto
deutlicher inne wird, wenn man etwas größere Zahlen nimmt; da es denn klar einleuchtet, daß,
wir möchten unsern Begriff drehen und wenden, wie wir wollen, wir, ohne die Anschauung
zu Hülfe zu nehmen, vermittelst der bloßen Zergliederung unserer Begriffe die Summe
niemals finden könnten.

Zitat:

Original von Quirm Zitat: Original von Philipp Wehrli Zitat: Original von Roadside Namd zammen, Also Kant schreibt, dass 5 + 7 = 12 ein synthetisches Urteil ist, weil in 5 + 7 bloß eine Vereinigung zweier Zahlen steht, nicht aber was letztendlich dabei rauskommt. Kurze Gegenfrage: Was ist bei bspw. 24 - 18 = 6? In sowohl 24, als auch 18, kommt man durch Zerlegung zur 6, wäre es nicht damit direkt herleitbar und analytisch? Gruß Roadside Kants Argument leuchtet mir überhaupt nicht ein. Die Summe 5 + 7 beinhaltet eben mehr als nur die Zahlen 5 und 7. Da steht nämlich auch noch ein +. Im Axiomensystem der ganzen Zahlen sind die Zahlen 5, 7 und 12 eindeutig definiert. Es kann keine Überraschungen geben, was die Summe 5 + 7 für ein Resultat ergibt. Wir können unabhängig von einander zwei Zahlen addieren, die wir noch nie zuvor addiert haben und wir werden alle zur selben Anschauung kommen, was das für ein Resultat ergibt. Es gibt nicht verschiedene Möglichkeiten, wie die zwei Zahlen 'synthetisiert' werden könnten. Das ist alles wohl bestimmt. Mathematische Sätze werden nicht synthetisch, sondern analytisch gewonnen. Kant Prolegomena Mathematische Urteile sind insgesamt synthetisch. Dieser Satz scheint den Bemerkungen der Zergliederer der menschlichen Vernunft bisher ganz entgangen, ja allen ihren Vermutungen gerade entgegengesetzt zu sein, ob er gleich unwidersprechlich gewiß und in der Folge sehr wichtig ist. Denn weil man fand, daß die Schlüsse der Mathematiker alle nach dem Satze des Widerspruches fortgehen, | (welches die Natur einer jeden apodiktischen Gewißheit erfordert), so überredete man sich, daß auch die Grundsätze aus dem Satze des Widerspruchs erkannt würden, worin sie sich sehr irreten; denn ein synthetischer Satz kann allerdings nach dem Satze des Widerspruchs eingesehen werden, aber nur so, daß ein anderer synthetischer Satz vorausgesetzt wird, aus dem er gefolgert werden kann, niemals aber an sich selbst. Zuvörderst muß bemerkt werden: daß eigentliche mathematische Sätze jederzeit Urteile a priori und nicht empirisch sind, weil sie Notwendigkeit bei sich führen, welche aus Erfahrung nicht abgenommen werden kann. Will man mir aber dieses nicht einräumen, wohlan, so schränke ich meinen Satz auf die reine Mathematik ein, deren Begriff es schon mit sich bringt, daß sie nicht empirische, sondern bloß reine Erkenntnis a priori enthalte. Man sollte anfänglich wohl denken: daß der Satz 7 + 5 = 12 ein bloß analytischer Satz sei, der aus dem Begriffe einer Summe von Sieben und Fünf nach dem Satze des Widerspruches erfolge. Allein, wenn man es näher betrachtet, so findet man, daß der Begriff der Summe von 7 und 5 nichts weiter enthalte, als die Vereinigung beider Zahlen in eine einzige, wodurch ganz und gar nicht gedacht wird, welches diese einzige Zahl sei, die beide zusammenfaßt. Der Begriff von Zwölf ist keinesweges dadurch schon gedacht, daß ich mir bloß jene Vereinigung von Sieben und Fünf denke, und, ich mag meinen | Begriff von einer solchen möglichen Summe noch so lange zergliedern, so werde ich doch darin die Zwölf nicht antreffen. Man muß über diese Begriffe hinausgehen, !! indem man die Anschauung !! [zu Hülfe nimmt, die einem von beiden korrespondiert, etwa seine fünf Finger, oder (wie SEGNER in seiner Arithmetik) fünf Punkte, und so nach und nach die Einheiten der in der Anschauung gegebenen Fünf zu dem Begriffe der Sieben hinzutut. Man erweitert also wirklich seinen Begriff durch diesen Satz 7 + 5 = 12 und tut zu dem ersteren Begriff einen neuen hinzu, der in jenem gar nicht gedacht war, d. i. der arithmetische Satz ist jederzeit synthetisch, welches man desto deutlicher inne wird, wenn man etwas größere Zahlen nimmt; da es denn klar einleuchtet, daß, wir möchten unsern Begriff drehen und wenden, wie wir wollen, wir, ohne die Anschauung zu Hülfe zu nehmen, vermittelst der bloßen Zergliederung unserer Begriffe die Summe niemals finden könnten.

Ich habe mich genau auf diesen Text bezogen und deshalb auch oben dieses Beispiel erwähnt. Die Argumente leuchten mir nicht ein. Nur weil Kant mit den Fingern rechnet, heisst dies nicht, dass alle Mathematiker auch mit den Fingern rechnen müssen. In den Peano-Axiomen kommen keine Finger vor.

Allerdings kommt da auch nicht das vor, was wir uns unter 12 vorstellen. Ich habe das oben schon einmal zu erklären versucht: Die Mathematiker können mit ihren Axiomen und ihren Definitionen widerspruchsfrei rechnen. Ihre Sätze sind analytisch.

Es ist aber nicht garantiert, dass es zu diesen Rechnungen in unserer Welt ein Äquivalent gibt. Ich habe ein Beispiele geschrieben, bei denen wir zwar Dinge addieren, aber dabei die Addition anders definieren müssen. 5dl Wasser plus 7dl Alkohol vermischt ergibt nämlich nicht 12dl Flüssigkeit. Ähnlich ist es z. B., wenn wir in der Relativitätstheorie Geschwindigkeiten addieren. Welche Definition für die Addition in unserer Realität angewendet werden darf, können wir nur durch Beobachtung herausfinden.

Kant meinte, die 12, die er aus der alltäglichen Beobachtung kenne, sei die 12 der Mathematiker. Das stimmt aber nicht. Die Mathematiker rechnen mit einer 12, die sie analytisch aus ihren Axiomen und Definitionen gewinnen. Kant dagegen denkt an 12 Eier oder 12 Schafe. Eier und Schafe verhalten sich bei der Addition vermutlich sehr ähnlich wie die Zahlen der Mathematiker. Es kann aber auch vorkommen, dass sie sich vermehren. Ob und wie ähnlich sie den Zahlen der Mathematiker sind, müssen wir aus unserer Erfahrung schliessen.