synthetische Urteile a priori in der Mathematik

Zitat:

Original von Telltale @ Florian Wenn Deine Objektgruppe aus 13 Objekten besteht, so liegt hier lediglich das 1-Sein von 13 Objekten vor. Um dieses 1-Sein von 13 Objekten in ein 13-Sein umzuwandeln, bist Du zur Abstraktion gezwungen. Wenn ein Regiment aus 1.000 Soldaten besteht, so wirst Du dessen Natur ja wohl auch nicht im 1000-Sein bzw. Regiment-Sein dieser Gruppe aus beieinander stehenden Einzelstücken ausmachen, woanders man auch annehmen könnte, dass ein Division-Sein entsteht, wenn 2 Regiment-Seiende sich paaren und mit einem weiteren Regiment-Sein gesegnet werden. Sorry, Florian, aber das haut nicht hin. Gruß Telltale

Dein Argumentationsmuster sieht folgendermaßen aus:

Ich stelle fest 13=13

Du behauptest, dass das nicht stimmt, da

13= 13 x 1

Aber hast Du damit die 13 als eigenständige, definierende Eigenschaft bestimmter Objekte widerlegt?
Nein!

Auch Deine Erklärung eine Gruppe von 13 Objekten sei nur eine Gruppe von 13 einzelnen Objekten beinhaltet letztlich die 13 als definierende Eigenschaft. Deine Erklärung kam ja ebenfalls nicht ohne die 13 aus.
Und selbst wenn Du 13 auf 1+1+1+1+1+1+1+....u.s.w. reduzierst, musst Du um dies zu tun im Kopf noch bis 13 zählen um dies zu tun.

Mit deinem Argumentationsmuster könnte man auch behaupten, der Satz 1=1 stimme nicht, da 1 = 0,1x 10 sei.
Auch die 1 ist kein unteilbares Absolutum, sondern läßt sich selbst auch wieder unterteilen.

Da jedes Objekt aus einer nicht näher bestimmbaren Menge an Unterteilen besteht, würde bei Deiner Betrachtungsweise jeglicher Objektbegriff zu Nichte gemact.
Beipielsweise wäre dann der Atlantische Ozean kein Ozean mehr, sondern lediglich die Summe seiner Wassermoleküle.
Und diese auch wieder unterteilbar in Atome u.s.w.
Das würde für jedes materielle Objekt gelten.

Obwohl ich kein wirklicher Freund von Aristoteles bin, muss ich ihn hier doch mal zitieren:
"Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile."

Und auch ein Regiment ist eben mehr als nur eine Anhäufung von 1000 einzelnen Soldaten, da es als Regiment spezifische Eigenschaften aufweist, die 1000 Einzelsoldaten nicht erfüllen.
Ein Regiment ist außerdem selbst wieder als Objekt quantifizierbar.

Und was wäre beispielsweisemit einem 12-Zylinder-Motor? Wenn er nur 10 Zylinder hätte, wäre er noch immer ein Motor.
Ihm würde aber eine maßgebliche Objekteigenschaft des 12-Zylinder-Motors fehlen. (die Quantität seiner Zylinder)

Fazit also:

Jedes materielle Objekt besteht aus einer nicht näher bestimmbaren Zahl von Unterobjekten. Wenn man nur eine nichtteilbares Eines als Objekt ansähe, könnte nur das kleinste Teilchen überhaupt Objekt sein.
Dies würde jeden Objektbegriff ad absurdum führen.
Demnach ist es (wenn man sich überhaupt auf einen Objektbegriff festlegen will) sinnvoll auch Konstrukte, die Objektgruppen sind, selbst als Objekt zu definieren.

Nun kann man natürlich einwenden, dass es nicht zwangsläufig notwendig ist, einen Objektbegriff zu definieren.
Dann aber ist man raus aus der Diskussion über synthetische oder analytische Urteile, da diese Diskussion ohne Objektbegriff nicht zu führen ist.

Das Postulat "Alles - 1 = 0" ist nicht nur willkürlich und esoterisch, sondern auch logisch fehlerhaft.

Der Begriff "Alles" umfasst nach seiner Definition auch alle Dinge die nicht einer sind bzw. Dinge die überhaupt nicht quantifizierbar sind. (z.B. abstrakte Begriffe, Gefühle)

Wenn Alles- 1 =0 ist, dann ist Alles = 1.
(Woher nur dieser Fetisch für eine völlig willkürlich ausgewählte Zahl? )

Zunächst einmal ist festzuhalten, dass "Alles =1 " eine Behauptung ist und nicht mehr.

Diese Behauptung wirft aber erhebliche Probleme auf:

Wenn Alles also 1 ist, dann ist es eine Konstante.
Eine Konstante verändert sich nicht. (nach Definition der Konstante)
Wenn alles eine Konstante ist und Konstanten sich nicht verändern, verändert sich alles nicht. Demnach dürfte nichts sich verändern.
Es existieren aber Veränderungen.

---> Alles ist keine Konstante. Darum kann nicht Alles = 1 sein.

Zitat:

Original von FLorian K. Auch Deine Erklärung eine Gruppe von 13 Objekten sei nur eine Gruppe von 13 einzelnen Objekten beinhaltet letztlich die 13 als definierende Eigenschaft. Deine Erklärung kam ja ebenfalls nicht ohne die 13 aus. Und selbst wenn Du 13 auf 1+1+1+1+1+1+1+....u.s.w. reduzierst, musst Du um dies zu tun im Kopf noch bis 13 zählen um dies zu tun.

Nein, du kannst auch auf 10 und dann auf 3 zählen. Viele Leute machen das so.

Zitat:

Original von FLorian K. Da jedes Objekt aus einer nicht näher bestimmbaren Menge an Unterteilen besteht, würde bei Deiner Betrachtungsweise jeglicher Objektbegriff zu Nichte gemact. Beipielsweise wäre dann der Atlantische Ozean kein Ozean mehr, sondern lediglich die Summe seiner Wassermoleküle. Und diese auch wieder unterteilbar in Atome u.s.w. Das würde für jedes materielle Objekt gelten. Obwohl ich kein wirklicher Freund von Aristoteles bin, muss ich ihn hier doch mal zitieren: "Das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile."

Nach Quantentheorie ist das Ganze weniger als die Summe all seiner Teile. Du brauchst nämlich mehr Information um die Zustände jedes einzelnen Atoms im Ozean zu definieren, als um den Zustand des Gesamtsystems anzugeben. In verschränkten Systemen ist der Zustand der einzelnen Atome überhaupt nicht definiert.

Zitat:

Nein, du kannst auch auf 10 und dann auf 3 zählen. Viele Leute machen das so.

ZÄHLEN; ja kann man

schreibe mir mal bitte, wie man eine eins Behandeln soll ohne davon eine anschauliche Vorstellung zu haben. Ganz zu schweigen von sieben und fünf.
Da kannst Du gerne eine Definition hersetzen, wenn Du aber eine Formel her setzt, dann bitte mit entsprechenden Parametererklärungen.

Wenn keine dieser Erklärungen auf eine Anschauung zurück läuft will ich gerne neu urteilen.

Bis jetzt kann ich mir einfach unter dem Begriff eins nichts vorstellen, wenn ich die Anschauung nicht zu Hilfe nehme.

Zitat:

Original von Quirm Zitat: Nein, du kannst auch auf 10 und dann auf 3 zählen. Viele Leute machen das so. ZÄHLEN; ja kann man schreibe mir mal bitte, wie man eine eins Behandeln soll ohne davon eine anschauliche Vorstellung zu haben. Ganz zu schweigen von sieben und fünf. Da kannst Du gerne eine Definition hersetzen, wenn Du aber eine Formel her setzt, dann bitte mit entsprechenden Parametererklärungen. Wenn keine dieser Erklärungen auf eine Anschauung zurück läuft will ich gerne neu urteilen. Bis jetzt kann ich mir einfach unter dem Begriff eins nichts vorstellen, wenn ich die Anschauung nicht zu Hilfe nehme.

Nimm die Peanoaxiome zu Hilfe, da kommt die 1 vor. Wie man 5 und 7 addiert, ohne einen Begriff von 12 zu haben, ist im Modell von von Neumann gut ersichtlich:
natürliche Zahlen axiomatisch aufgebaut

Zitat:

Original von Philipp Wehrli Zitat: Original von Quirm Zitat: Nein, du kannst auch auf 10 und dann auf 3 zählen. Viele Leute machen das so. ZÄHLEN; ja kann man schreibe mir mal bitte, wie man eine eins Behandeln soll ohne davon eine anschauliche Vorstellung zu haben. Ganz zu schweigen von sieben und fünf. Da kannst Du gerne eine Definition hersetzen, wenn Du aber eine Formel her setzt, dann bitte mit entsprechenden Parametererklärungen. Wenn keine dieser Erklärungen auf eine Anschauung zurück läuft will ich gerne neu urteilen. Bis jetzt kann ich mir einfach unter dem Begriff eins nichts vorstellen, wenn ich die Anschauung nicht zu Hilfe nehme. Nimm die Peanoaxiome zu Hilfe, da kommt die 1 vor. Wie man 5 und 7 addiert, ohne einen Begriff von 12 zu haben, ist im Modell von von Neumann gut ersichtlich: natürliche Zahlen axiomatisch aufgebaut

Das beantwortet in keinster Weise das von mir aufgestellte Problem.
Um zur EINS zu kommen, brauchst Du erst mal eine ANSCHAULICHE Vorstellung; ohne diese hat EINS für Dich überhaupt keinen Sinn.
Und hier meine ich nicht die geschriebene Zahl, falls Du mir damit kommen willst.

Also zeige mir wie ich einen Begriff von der EINS bekommen kann ohne auf Anschauungen zu refferieren ! ( (und das schließt Definitionen ein, welche Anschauung als Basis in irgendeinen Teil mit verwenden !)

Zitat:

Original von Roadside Namd zammen, Also Kant schreibt, dass 5 + 7 = 12 ein synthetisches Urteil ist, weil in 5 + 7 bloß eine Vereinigung zweier Zahlen steht, nicht aber was letztendlich dabei rauskommt. Kurze Gegenfrage: Was ist bei bspw. 24 - 18 = 6? In sowohl 24, als auch 18, kommt man durch Zerlegung zur 6, wäre es nicht damit direkt herleitbar und analytisch? Gruß Roadside

hi Roadside,

wenn ich die kardinalzahl 5 (bei kant = begriff der 5) zerlege, erhalte ich äquivalente singularitäten 1=1=1...
mehr nicht, denn ein begriff ist eine klasse von objekten gleicher qualität, d.h. a+a+... = a
erst wenn ich diese elemente ordne (zeit) in 1 =>1=>1...,
kann ich sie von einander unterscheiden, die (1) in (1+1), (1+1) in (1+1+1) etc. successive aufbauen (inclusion) und mit dem gleichartigen synthesieren: 1+1=2+1=3...(fingerzählen). (interpretation nach piaget, das ordnen in (zeit) ist von mir hinzugefügt).

"den begriff der größe überhaupt kann niemand erklären als etwa so: dass sie die bestimmung eines dinges sei, dadurch, wie vielmal eines in ihm gesetzt ist, gedacht werden kann. allein dieses wievielmal gründet sich auf die successive wiederholung, mithin auf die zeit und die synthesis (des gleichartigen) in derselben."
(kant, kdrv, phaenomena und noumena).

grüsse

@ Florian

Wenn man nicht richtig liest, passieren eben böse Fehler, wie dieser hier:

Zitat:

Original von FLorian K. Das Postulat "Alles - 1 = 0" ist nicht nur willkürlich und esoterisch, sondern auch logisch fehlerhaft.

Wo hast Du denn dieses "Postulat" gelesen?
Ist doch wohl klar, dass es falsch ist, weswegen es auch zu den absurden Ergebnissen führt, die Du im weiteren anführtest.

Und weiter im Irrgarten:

Zitat:

Ich stelle fest 13=13 - Du behauptest, dass das nicht stimmt...

Wo? Wann? Wie? Steht es im Text, im Kontext, im Subtext, im Apoplext? Wo behaupte ich das? Wo hast Du diese Behauptung gefunden?

Zitat:

Aber hast Du damit die 13 als eigenständige, definierende Eigenschaft bestimmter Objekte widerlegt?

Nein, natürlich nicht, weil das auch gar nicht meine Absicht war.
Im Gegenteil: Es war mein Einwand, dass ein Objekt nur dann mit einer Zahl wie 13 besetzt werden kann, W E N N es so definiert wird.
Die Definition, die Abstraktion ist es, die ich einem solchen Objekt zuwies, denn ein solches Objekt ist aus der Natur nicht zu analysieren, sondern muß synthetisiert werden.

Wenn ich 13 Früchte habe, bestehend aus Äpfeln, Birnen und Kirschen, so ist deren Definition als "Obst" niemals ein analytisches Urteil, sondern immer ein synthetisches. Und dieses synthetische Urteil ist kein Urteil a priori, sondern a posterori, nämlich der Anschauung folgend.
Es gibt in der Natur kein "Obst" und keine "Früchte", sondern ausschließlich einzelne Objekte, daher sind die genannten Begriffe abstrahierte Definitionen a posterori.

Zitat:

Jedes materielle Objekt besteht aus einer nicht näher bestimmbaren Zahl von Unterobjekten. Wenn man nur eine nichtteilbares Eines als Objekt ansähe, könnte nur das kleinste Teilchen überhaupt Objekt sein.

Nein, könnte es nicht. Da es zumindest theoretisch auch teilbar ist, wie Du selbst durch eine weitere Abstraktion belegt hast, die Du aber scheinbar einmal als Beweis und ein anderes Mal als Gegenbeweis verwendest, wie hier:

Zitat:

Mit deinem Argumentationsmuster könnte man auch behaupten, der Satz 1=1 stimme nicht, da 1 = 0,1x 10 sei. Auch die 1 ist kein unteilbares Absolutum, sondern läßt sich selbst auch wieder unterteilen.

Wie willst Du eigentlich herausfinden, ob und wie synthetische Urteile "a priori" möglich sind, wenn Du aus der Anschauung ein Urteil synthetisierst und dann ein synthetisiertes Urteil verwendest (Regiment-Beispiel) um damit anschauliche Eigenschaften (wie die speziellen Fähigkeiten) zu beschreiben?

Und was den logischen Nonsens betrifft, verweise ich hierauf:

Zitat:

Und was wäre beispielsweisemit einem 12-Zylinder-Motor? Wenn er nur 10 Zylinder hätte, wäre er noch immer ein Motor.

Im Lehrbuch: "Formale Logik I" findest Du dazu:
"Es kommt dem 12-Zylinder-Motor nicht zu, nur 10 Zylinder zu haben."


Gruß
Telltale

Zitat:

Original von Telltale Wenn ich 13 Früchte habe, bestehend aus Äpfeln, Birnen und Kirschen, so ist deren Definition als "Obst" niemals ein analytisches Urteil, sondern immer ein synthetisches. Und dieses synthetische Urteil ist kein Urteil a priori, sondern a posterori, nämlich der Anschauung folgend. Es gibt in der Natur kein "Obst" und keine "Früchte", sondern ausschließlich einzelne Objekte, daher sind die genannten Begriffe abstrahierte Definitionen a posterori.

Ich habe diese Diskussion nicht verfolgt und will mich auch gar nicht groß einmischen. Aber bei der fett gedruckten Aussage wäre ich vorsichtig.
Du schreibst zurecht, man könne keine Erfahrungen mit "Obst" haben, um dann zu schlussfolgern, es sei gleichwohl ein aposteriorischer Begriff.
Ich weiß, wie du dazu kommst: man muss ja nur abstrahieren. Aber so einfach ist das nicht ...

An anderer Stelle schrieb ich gerade an philipp wehrli:

Zitat:

Würdest du das Problem in seiner ganzen Tiefe verstehen, dann wäre dir klar, dass man das obige "Atom" sogar gegen den Gattungsbegriff "Tisch" auswechseln kann, von dem du ebenfalls keine Beobachtung und kein Erfahrungswissen hast. Du hättest vielleicht angemerkt, dass Menschen, um zu Gattungsbegriffen zu gelangen, subtanzielle Eigenschaften der Dinge nur abstrahieren müssen; um gleich darauf zu bemerken, das eine solche Abstraktionsleistung unerklärlich ist, wenn man nicht apriorische Begriffe annimmt. Du wärest nämlich darauf gestoßen, dass man, um den Gattungsbegriff "Tisch" definieren zu können, die "allgemeinen" Eigenschaften von Tischen hierzu bestimmen muss: z.B., dass es sich dabei um eine halbwegs waagerechte Fläche handelt, auf der man etwas abstellen kann (o.ä.). Um solche allgemeinen Eigenschaften feststellen zu können, Platon spricht vom "Wesen" der Dinge, muss man sie nicht nur von anderen Eigenschaften unterscheiden können, die nicht substanziell sind, sondern diese substanziellen als zwar untereinander wiederum unterschiedliche Eigenschaften bestimmen, sie aber als der gleichen Kategorie zugehörig, erkennen: du musst sie subsumieren können unter die Kategorie der substanziellen Eigenschaften (= primäre Qualitäten gegenüber sekundären Qualitäten). Bei der Bestimmung von Begriffen muss also immer schon auf andere, grundlegendere Begriffe zurückgegriffen werden, die irgendwann nicht mehr selbst aus der Erfahrung stammen können, weil sie zu allgemein sind: z.B., dass man Etwas von etwas Anderem unterscheiden können muss, um überhaupt irgendetwas erkennen zu können; oder dass man die Ähnlichkeit oder Identität zweier Dinge feststellen kann usw.

Zitat:

Original von Quirm Das beantwortet in keinster Weise das von mir aufgestellte Problem. Um zur EINS zu kommen, brauchst Du erst mal eine ANSCHAULICHE Vorstellung; ohne diese hat EINS für Dich überhaupt keinen Sinn. Und hier meine ich nicht die geschriebene Zahl, falls Du mir damit kommen willst. Also zeige mir wie ich einen Begriff von der EINS bekommen kann ohne auf Anschauungen zu refferieren ! ( (und das schließt Definitionen ein, welche Anschauung als Basis in irgendeinen Teil mit verwenden !)

Moment mal: Kant hat behauptet, wir müssen eine Anschauung von der 12 haben, um 5 + 7 berechnen zu können. Ich sage, um die Summe 5 + 7 zu berechnen, reichen die Peanoaxiome und die Definitionen von Addition und Multiplikation aus.
Die 1 ist definiert als das Element der Grundmenge, das mit der Verknüpfung "Multiplikation" mit einem beliebigen anderen Element n verknüpft, wieder das Element n ergibt. Man kann beweisen, dass das 1 Element eindeutig bestimmt ist. Die 1 kommt also schon in den Definitionen vor. Es braucht deshalb keine zusätzliche a priori Anschauung, um zur 1 zu kommen. Dass der Begriff 1 analytisch aus den Definitionen abgeleitet werden kann, ist trivial.

Zitat:

Zitat: Original von Telltale @ Florian Wenn man nicht richtig liest, passieren eben böse Fehler, wie dieser hier: Das Postulat "Alles - 1 = 0" ist nicht nur willkürlich und esoterisch, sondern auch logisch fehlerhaft.

Dafür gibts erstmal nen leckerern Keks

Zitat:

Wo hast Du denn dieses "Postulat" gelesen?

In Deiner Signatur zum Beispiel
"Alles minus Eins wird Null."

Zitat:

Zitat: Ich stelle fest 13=13 - Du behauptest, dass das nicht stimmt... Wo? Wann? Wie? Steht es im Text, im Kontext, im Subtext, im Apoplext? Wo behaupte ich das? Wo hast Du diese Behauptung gefunden?

Im Text schreibst Du

Zitat:

1 = 1. Das steht fest. 2 dagegen entsteht aus der Operation: 1 + 1. Muß also erst mal werden. Und diese Operation benötigt ein zur Abstraktion fähiges Wesen, ist also auch nur abstrahierte Natur.

Aber das ist schlicht falsch. Auch 1=1 ist bereits eine Abstraktion. Um Dinge gleichsetzen zu können muss man abstrahieren.

Zitat:

Zitat: Aber hast Du damit die 13 als eigenständige, definierende Eigenschaft bestimmter Objekte widerlegt? Nein, natürlich nicht, weil das auch gar nicht meine Absicht war. Im Gegenteil: Es war mein Einwand, dass ein Objekt nur dann mit einer Zahl wie 13 besetzt werden kann, W E N N es so definiert wird. Die Definition, die Abstraktion ist es, die ich einem solchen Objekt zuwies, denn ein solches Objekt ist aus der Natur nicht zu analysieren, sondern muß synthetisiert werden.

Um überhaupt auf ein Objekt zu kommen muss man abstrahieren.

Zitat:

Es gibt in der Natur kein "Obst" und keine "Früchte", sondern ausschließlich einzelne Objekte, daher sind die genannten Begriffe abstrahierte Definitionen a posterori.

Auch "es gibt", "einzeln" und "Objekte" sind Abstraktionen.

Ich sagte

Zitat:

Jedes materielle Objekt besteht aus einer nicht näher bestimmbaren Zahl von Unterobjekten. Wenn man nur eine nichtteilbares Eines als Objekt ansähe, könnte nur das kleinste Teilchen überhaupt Objekt sein.

Du sagtest

Zitat:

Nein, könnte es nicht. Da es zumindest theoretisch auch teilbar ist, wie Du selbst durch eine weitere Abstraktion belegt hast, die Du aber scheinbar einmal als Beweis und ein anderes Mal als Gegenbeweis verwendest,

Die Abstraktion von mir diente lediglich dem Gegenbeweis zu Deiner These, die Du wie folgt formuliert hast

Zitat:

Genau. Und diese besondere Stellung ist folgende: 1 ist. Alles Übrige wird.

In diesem Sinne sollten meine Aussagen zur Teilbarkeit der 1 lediglich die Absurdität des von Dir vertretenen Objektbegriffes darstellen.

Wenn etwas das kleinste mögliche Teilchen ist, könnte es nicht geteilt werden, da ja nach Definition das Kleinstmögliche nicht mehr kleiner werden kann. Es könnte aber auch nicht eins sein, da eins ja bekanntlich teilbar ist.

Zitat:

Wie willst Du eigentlich herausfinden, ob und wie synthetische Urteile "a priori" möglich sind, wenn Du aus der Anschauung ein Urteil synthetisierst und dann ein synthetisiertes Urteil verwendest (Regiment-Beispiel) um damit anschauliche Eigenschaften (wie die speziellen Fähigkeiten) zu beschreiben?

Guter Einwand... dazu schreib ich gleich noch mehr.

Zitat:

Und was den logischen Nonsens betrifft, verweise ich hierauf: Zitat: Und was wäre beispielsweisemit einem 12-Zylinder-Motor? Wenn er nur 10 Zylinder hätte, wäre er noch immer ein Motor. Im Lehrbuch: "Formale Logik I" findest Du dazu: "Es kommt dem 12-Zylinder-Motor nicht zu, nur 10 Zylinder zu haben."

"Es ist so weil´s so ist" aha...

Wenn das die Basis ist auf der philosophische Lehrbücher heute arbeiten, dann wundere ich mich über vieles nicht mehr.

Man könnte ja weiterfragen: "Warum kommt es dem 12-Zylinder-Motor nicht zu, nur 10 Zylinder zu haben?"


Aber worauf ich eigentlich hinaus wollte:

Jeglicher Sprachgebrauch ist zwangsläufig Abstraktion. Auch jede mathematische Begrifflichkeit ist Abstraktion.
Wenn wir also die Abstraktion vollkommen ausschließen wird auch jede philosophische Diskussion überflüssig.
Außerdem ist jede Art von Urteil bereits eine Abstraktion!

Das drückte ich bereits aus mit dem Satz

Zitat:

Nun kann man natürlich einwenden, dass es nicht zwangsläufig notwendig ist, einen Objektbegriff zu definieren. Dann aber ist man raus aus der Diskussion über synthetische oder analytische Urteile, da diese Diskussion ohne Objektbegriff nicht zu führen ist.

aus.

Wir wollen aber philosophisch diskutieren, darum habe ich die Erkenntnis über die Unzulänglichkeit der Sprache mal bewusst ausgeklammert.
Sonst könnte ich die ganze Diskussion über analytische und synthetische Urteile einfach als Scheinproblem bezeichnen, mich ausklinken und noch ne Runde World of Warcraft zocken.

Wenn wir uns aber den Spass machen und einen Objektbegriff aufstellen und dieses Objekt dann als "in der Natur vorhanden" definieren, dann müssten mit dem Objekt doch auch seine charakteristischen Eigenschaften "in der Natur vorhanden sein".

Und eine charakteristische Eigenschaft eines Objektes ist nunmal auch die Quantität der in ihm vorhanden Unterobjekte.
Sonst "käme es dem 12-Zylinder-Motor ja zu 10 Zylinder zu haben".

Zu der Frage ob synthetische Urteile in der Mathematik "apriorisch" sein können daher:

Ja.
Wenn man annimmt, dass Apriorisches möglich ist.

Jetzt mal ganz billig Wiki zitiert:
"Logik und Mathematik gehen meist apriorisch vor"

Fraglich ist dabei aber, ob es nicht bereits "a posteriori" ist, überhaupt darauf zu schließen, dass es etwas "a priori" gibt.

Nachtrag:

Ich sehe hier schon Einwände kommen von wegen "was hat der Objektbegriff mit dem Thema zu tun?"

Es ging um Urteile.
Urteil braucht immer ein Subjekt (der Beurteilende) und ein Objekt (das Beurteilte)

Kann denn ein Urteil überhaupt apriorisch sein? Ist nicht überhaupt der Pozess des Urteilens selbst aposteriorisch?

Zitat:

Original von FLorian K. Das Postulat "Alles - 1 = 0" ist nicht nur willkürlich und esoterisch, sondern auch logisch fehlerhaft. Zitat: Original von Telltale Wo hast Du denn dieses "Postulat" gelesen? In Deiner Signatur zum Beispiel "Alles minus Eins wird Null."

Tja Florian, ich nehme an, Mr. Green hat zu bedeuten, dass Du meinst, mich hier bei einem Widerspruch ertappt zu haben. Aber ich sage dazu nur dies:
Wenn Du der Meinung bist, "Alles minus Eins wird Null" und "Alles minus Eins ist Null" sagen dasselbe aus, so hast Du wirklich ein ernstes Problem.
Ist aber OK, denn ich gebe zu, dass der Unterschied zwischen Sein und Werden nicht für jeden sofort offensichtlich ist.

Zitat:

Original von FLorian K. Ich sehe hier schon Einwände kommen von wegen "was hat der Objektbegriff mit dem Thema zu tun?"

Damit Du nicht als untalentierter Prophet dastehst:
Was zum Teufel hat denn der Objektbegriff mit dem Thema zu tun?

Zitat:

Original von FLorian K. Kann denn ein Urteil überhaupt apriorisch sein?

Und noch dazu ein synthetisches.

Zitat:

Original von FLorian K. Ist nicht überhaupt der Pozess des Urteilens selbst aposteriorisch?

Das sollte man annehmen.

Zitat:

Original von FLorian K. Man könnte ja weiterfragen: "Warum kommt es dem 12-Zylinder-Motor nicht zu, nur 10 Zylinder zu haben?"

Da könnte man antworten: Einen Motor mit 10 Zylindern einen "12-Zylinder-Motor" zu nennen, ist ein Begriffsirrtum.

Zitat:

Original von FLorian K. Wenn das die Basis ist auf der philosophische Lehrbücher heute arbeiten, dann wundere ich mich über vieles nicht mehr.

Glaube ich Dir sofort.



Aber jetzt kommts endlich:

Zitat:

Original von FLorian K. Jeglicher Sprachgebrauch ist zwangsläufig Abstraktion.

Vollkommen korrekt.

Zitat:

Original von FLorian K. Auch jede mathematische Begrifflichkeit ist Abstraktion.

Vollkommen korrekt.

Zitat:

Original von FLorian K. Außerdem ist jede Art von Urteil bereits eine Abstraktion!

Vollkommen korrekt.

Zitat:

Original von FLorian K. Wenn wir also die Abstraktion vollkommen ausschließen wird auch jede philosophische Diskussion überflüssig.

Sogar unmöglich!

Zitat:

Original von FLorian K. Sonst könnte ich die ganze Diskussion über analytische und synthetische Urteile einfach als Scheinproblem bezeichnen, mich ausklinken und noch ne Runde World of Warcraft zocken.

Na klar. Du könntest aber auch einfach die "World of Warcraft" als Scheinwelt bezeichnen und dann auch das sein lassen.

Zitat:

Original von FLorian K. Wenn wir uns aber den Spass machen und einen Objektbegriff aufstellen und dieses Objekt dann als "in der Natur vorhanden" definieren, dann müssten mit dem Objekt doch auch seine charakteristischen Eigenschaften "in der Natur vorhanden sein".

Sehr gutes Argument.
Denn man könnte den Spass dabei noch vergrößern, indem man fragt, ob die "Charakteristischen Eigenschaften eines Objekts" und das "Objekt, dessen Eigenschaften sie sind" nicht vielleicht sogar identisch sind.
Wer weiß? Unter Umständen ist ja ein Apfel und das woraus er besteht ein und dasselbe.

Zitat:

Original von FLorian K. Fraglich ist dabei aber, ob es nicht bereits "a posteriori" ist, überhaupt darauf zu schließen, dass es etwas "a priori" gibt.

Aber diese Frage hast Du doch schon selbst beantwortet, als Du sagtest, sämtliche Urteile seien abstrahiert. Und da der Abstraktion von Etwas, dieses Etwas zwangsläufig vorangehen muß und zwar als dessen notwendige Bedingung, so müßte auch das Urteil, es gäbe etwas, das a priori sei, a posteriori gewonnen werden.
Nun hat Kant jedoch die Bedingungen dafür, dass etwas geschlußfolgert werden kann, a priori verortet, wodurch der Widerspruch entsteht, dass das, was er schlußfolgert unmöglich eingesehen werden kann, weil die Bedingung für diese Schlußfolgerung das Ziel der Schlußfolgerung bzw. der Schluß selbst ist.
Das hat Hegel ebenso zu recht kritisiert, wie es erstaunlich ist, dass es Kant selbst nicht aufgefallen sein soll. Merkwürdig.

Zitat:

Original von FLorian K. Zitat: Original von Telltale 1 = 1. Das steht fest. 2 dagegen entsteht aus der Operation: 1 + 1. Muß also erst mal werden. Und diese Operation benötigt ein zur Abstraktion fähiges Wesen, ist also auch nur abstrahierte Natur. Aber das ist schlicht falsch. Auch 1=1 ist bereits eine Abstraktion. Um Dinge gleichsetzen zu können muss man abstrahieren.

Verstehe schon. Ich probiere es mal anders:
Die Operation 1=1 ist eine Abstraktion. Das Ding "Apfel" ist keine Abstraktion, sondern hängt am Baum.
Die Operation 13=13 ist eine Abstraktion. Das Ding "13 Äpfel" gibt es nicht, denn "13 Äpfel" ist eine Abstraktion.
Ist leicht zu verstehen, oder?

Zitat:

Original von FLorian K. In diesem Sinne sollten meine Aussagen zur Teilbarkeit der 1 lediglich die Absurdität des von Dir vertretenen Objektbegriffes darstellen.

Dann bist also sicher, dass es sich dabei um eine Absurdität handelt?
Ich meine, Du bist sicher, dass Du diesen Begriff so vollständig durchdacht hast, dass Du ihn als absurd entlarven kannst?
Vielleicht solltest Du das ja, nachdem Du den folgenden Absatz gelesen hast, nochmal durchdenken.

Zitat:

Original von FLorian K. Wenn etwas das kleinste mögliche Teilchen ist, könnte es nicht geteilt werden, da ja nach Definition das Kleinstmögliche nicht mehr kleiner werden kann. Es könnte aber auch nicht eins sein, da eins ja bekanntlich teilbar ist.

Ein Ding - ganz egal, wie klein es ist - bleibt ein Ding, womit feststeht, dass es eine Ausdehnung im Raum hat. Wäre das nicht der Fall, könnte man nicht von einem Ding sprechen - also auch nicht davon, dass es klein bzw. das kleinste ist. Hat es also eine Ausdehnung, so ist es teilbar.
Es gibt keine Definition, die diesen Umstand ändert. Jedenfalls keine sinnvolle.

Soll also jene "Eins", die in meiner Signatur steht, diesem Umstand nicht ausgesetzt sein, um nicht beliebig zu werden, so muß ich ihr lediglich absprechen, ausgedehnt zu sein.
Täte ich das nun einfach nur weil es mir gut gefällt, hättest Du mit Deiner Behauptung recht, dass es willkürlich und meinetwegen auch esoterisch wäre. Daher geschieht es natürlich auch nicht aus diesem Grund, sondern deshalb, weil etwas unveränderliches, zeit- und ausdehnungsloses eine Denknotwendigkeit ist, die sich aus dem Umstand begründet, dass keinesfalls irgendetwas aus "Nichts" entstehen kann.
Ein "Sein" nun (denn genau dafür steht diese EINS), welchem ich Bewegung, Veränderung - Entstehen und Vergehen zubilligte, müßte demnach aus Nichts entstanden sein und zu Nichts werden.
Dieser Gedanke ist es, der völlig absurd ist.

Deshalb hat die 1, die ich dem Objekt 1 Apfel zuschreibe, nicht das geringste mit der 1 zu tun, die in meiner Signatur steht. Denn erstere ist operabler Natur und letztere steht für "Ausschließlich Eins", womit sie lediglich beschreibt, dass es nur Sein geben kann und kein Nichts.
Zu etwas anderem ist sie nicht nütze.

Was jetzt mein Beharren darauf betrifft, dass bei der Abstraktion 13 Äpfel nicht vergessen werden darf, dass es sich dabei um 13 x 1 Apfel handelt, so hat es lediglich zu bedeuten, dass sich jene "Ausschließlich Eins", die das Sein selbst ist, natürlich in allem Seiendem, welches ja nur durch diese "AE" existieren kann, niederschlagen muß.
Und somit verweist dieses Beharren also nur darauf, dass unsere Abstraktion wie z.B. "Regiment" nicht für ein natürliches Objekt gehalten werden darf, wenn man sich der Hoffnung nicht begeben will, irgendwas über die Natur herauszufinden.
Wer nun versucht, zweifelsfrei nachzuweisen, dass es synthetische Urteile a priori in der Mathematik gibt, der erklärt weder oder streift auch nur ein natürliches Phänomen sondern er unternimmt den Versuch, nachzuweisen, dass unsere Abstraktion auf das verzichten kann, wovon abstrahiert wird. Aus diesem Grund wird ein solcher Nachweis auch nicht gelingen und aus diesem Grund erinnere ich stets daran, dass eine Abstraktionskette, die nicht auf das rückführbar ist, wovon abstrahiert wird, über unsere Welt gar nichts aussagt, sondern eine künstliche "World of Warcraft" schafft und diese dann für die wirkliche Welt ausgibt, weil die abstrahierten Argumente, die sich auf die abstrahierten Definitionen stützen, welche aus abstrahierten Axiomen gewonnen wurden, eben dafür sprechen.
Deshalb wagt man uns wunderliche Dinge als wirklich zu verkaufen, wie etwa "Blasenwelten", "Multiversen" oder "Urteile a priori".
Alles klar soweit?

Gruß
Telltale

Hallo, ich bin neu hier,
kenne die Regeln noch nicht so recht, und möchte sie by doing le(a)rnen
Also misch ich mich einfach mal ein, weil ich die Antwort im Studium sehr klar in einem Seminar zur KrV beantwortet bekommen habe:

Was die Mathematik zur Zeit Kants anging, konnte Kant sowas noch behaupten, weil die Grundlagen solcher einfachen Rechenoperationen noch nicht gesetzt waren.

Heute, und das ist die Zeit des Hilbertschen Axiomensystems, gibt es da Grundlagen, und zwar die Peano-Axiome:
Alle Rechnungen mit natürlichen Zahlen der Art 1+1=2 usw. basieren also auf den dort festgelegten Axiomen, das sind Setzungen, also rein analytisch.
Und somit sind auch diese Rechnungen rein analytisch.

Zur Zeit Kants konnte man durchaus noch sagen, wir rechnen so, weil wir das mit Fingern oder beim Zählen von Kühen so gelernt haben. Mit dem heutigen Axiomensystem ist die Mathematik aber rein analytisch.
Hoffe, nicht noch mehr Verwirrung gestiftet zu haben.

Milena S.

Zitat:

Original von Milena S. Hallo, ich bin neu hier, kenne die Regeln noch nicht so recht, und möchte sie by doing le(a)rnen Also misch ich mich einfach mal ein, weil ich die Antwort im Studium sehr klar in einem Seminar zur KrV beantwortet bekommen habe: Was die Mathematik zur Zeit Kants anging, konnte Kant sowas noch behaupten, weil die Grundlagen solcher einfachen Rechenoperationen noch nicht gesetzt waren. Heute, und das ist die Zeit des Hilbertschen Axiomensystems, gibt es da Grundlagen, und zwar die Peano-Axiome: Alle Rechnungen mit natürlichen Zahlen der Art 1+1=2 usw. basieren also auf den dort festgelegten Axiomen, das sind Setzungen, also rein analytisch. Und somit sind auch diese Rechnungen rein analytisch. Zur Zeit Kants konnte man durchaus noch sagen, wir rechnen so, weil wir das mit Fingern oder beim Zählen von Kühen so gelernt haben. Mit dem heutigen Axiomensystem ist die Mathematik aber rein analytisch. Hoffe, nicht noch mehr Verwirrung gestiftet zu haben. Milena S.

Endlich mal wieder ein vernünftiger Beitrag. Ich bin froh, dass offensichtlich an den Universitäten wenigstens die Sache durchschaut wird.

Allerdings hätte Kant nach dieser Auffassung zum Schluss gelangen müssen, dass mathematische Schlüsse eben nicht a priori sind, weil sie ja zuerst an Kühen und Fingern geübt werden mussten.

ja, sorry, mein letztes Bsp war etwas plapsig.
Das meinte Kant auch nicht, sonst wäre er ja auf der Stufe von Locke geblieben. Locke hätte das vermutlich so erklärt: Wir lernen Zählen an den Fingern, also kommen die mathematischen Sätze aus der Erfahrung.

Kant war da schon weiter, wenn er sagt, dass wir da eben eingeborene a priori Urteile "vorschalten", also z.B. unsere Raum- und Zeit-Vorstellung.
Aber die mathematischen Sätze sind eben aus heutiger Sicht nicht mehr vergleichbar mit z.B. dem Kausalsatz ("Nichts geschieht ohne Ursache" Leukipp), der ein wirklich gutes Bsp. für einen synthetischen Satz a priori ist.

Der Kausalsatz macht eine Aussage über die Welt. Die mathematischen Sätze nicht. Sie sind eine logische Folge aus von uns gesetzten Axiomen.
Vielen Dank für den konstruktiven Hinweis!

Milena S.

Zitat:

Original von Milena S. ja, sorry, mein letztes Bsp war etwas plapsig. Das meinte Kant auch nicht, sonst wäre er ja auf der Stufe von Locke geblieben. Locke hätte das vermutlich so erklärt: Wir lernen Zählen an den Fingern, also kommen die mathematischen Sätze aus der Erfahrung. Kant war da schon weiter, wenn er sagt, dass wir da eben eingeborene a priori Urteile "vorschalten", also z.B. unsere Raum- und Zeit-Vorstellung. Aber die mathematischen Sätze sind eben aus heutiger Sicht nicht mehr vergleichbar mit z.B. dem Kausalsatz ("Nichts geschieht ohne Ursache" Leukipp), der ein wirklich gutes Bsp. für einen synthetischen Satz a priori ist. Der Kausalsatz macht eine Aussage über die Welt. Die mathematischen Sätze nicht. Sie sind eine logische Folge aus von uns gesetzten Axiomen. Vielen Dank für den konstruktiven Hinweis! Milena S.

Ich denke eben Kant argumentierte plapsig (schönes Wort, kannte ich nicht). Es gibt zwei Möglichkeiten, sauber zu argumentieren:
Entweder du baust mathematische Sätze auf dem Zählen mit Fingern und dergleichen auf. Dann sind sie synthetisch und sie basieren auf Erfahrungen und können durch Erfahrungen auch widerlegt werden.

Oder du baust sie exakt axiomatisch auf. Dann sind sie analytisch und können durch die Erfahrung nicht widerlegt werden.

Die Unsauberkeit in Kants Argument ist, dass er einerseits mathematische Sätze synthetisch nennt, was sie auch sind, so wie Kant sie aufbaut, dass er dann aber nicht merkt, dass er die Grundlagen aus der Erfahrung bezieht. Ja: Kants Vorstellung von Raum und Zeit baut auf Erfahrung auf. Man könnte Raum und Zeit auch axiomatisch festlegen. Dann müsste aber die Erfahrung zeigen, ob es in der Welt so etwas wie Raum und Zeit gibt.

Daran ändert sich übrigens auch nichts, wenn wir wie Kant nur das Bild von Raum und Zeit 'Raum' und 'Zeit' nennen und nicht Raum und Zeit an sich. Denn so oder so betrachten wir dieses innere Bild und können bei dieser Betrachtung überrascht werden.

Was ich sagen will: Ja, die Mathematik hat seit Kant geändert. Zu Kants Zeit war sie synthetisch und basierte auf Erfahrung (was Kant allerdings nicht erkannte). Heute ist sie analytisch und basiert nicht mehr auf Erfahrung. So oder so stimmt Kants Behauptung nicht, es gebe synthetische Sätze a priori.

Zitat:

Original von Philipp Wehrli Was ich sagen will: Ja, die Mathematik hat seit Kant geändert. Zu Kants Zeit war sie synthetisch und basierte auf Erfahrung (was Kant allerdings nicht erkannte). Heute ist sie analytisch und basiert nicht mehr auf Erfahrung. So oder so stimmt Kants Behauptung nicht, es gebe synthetische Sätze a priori.

Deine Alternativen gehen an Kant mal wieder - wie üblich - vollkommen vorbei.
Kant wollte mit seinem Beispiel 5+7=12 und den damit verbundenen Erläuterungen vor allem auf eines hinweisen, nämlich dass der Begriff (das Subjekt) 5+7 die 12 (das Prädikat) nicht bereits enthält (deutlich wird das vor allem bei größeren Zahlen) wie zB das Prädikat unverheiratet bereits in Junggeselle enthalten ist, man also nicht einfach durch eine Analyse des gegeben Begriffs (5+7) zur 12 gelangt, sondern erst durch einen Handlungsvollzug, eine Operation - ob man bei dieser Operation nun die Finger oder einen Abakus zu Hilfe nimmt, ist vollkommen wurscht.
Aber nicht wurscht ist der Umstand, dass alle Menschen (und egal welche Hilfsmittel sie benutzen) bei dieser Operation notwendig zur 12 gelangen müssen, weil sie nämlich nach einer bestimmten Regel verfahren (unwillkürlich wie zB bei der Verwendung der Grammatik in ihrer Muttersprache), die sie irgendwann zwar gelernt haben, die aber nichtsdestoweniger apriorischer Natur ist, dh rein aus dem Denken und nicht aus der Empirie stammt.
Die Mathematik kommt also 1. insofern synthetisch zu ihren Resultaten als sie diese nicht aus einem vorgegebenen Begriff entnimmt, sondern in einer Operation konstruiert und 2. apriorisch sind die Resultate, weil sie nach einer Regel konstruiert (erzeugt) werden, die nicht der Empirie entnommen ist, sondern rein aus dem Denken stammt.

Müsste man nicht das Zählen von den Darstellungen räumlicher Verhältnisse unterscheiden ? Ersteres entspringt doch dem uns innewohnenden Kausalitätsprinzip und das sieht nunmal für uns vor, dass selbst nach den endlosen Verläufen des unendlichen Regresses, nichts von uns vorgestellt werden kann, ohne nach einer Ursache für eine Wirkung zu fragen. D.h. wenn ich überhaupt etwas vorstelle, dann bin ich genötigt es in einen zeitlichen Zusammenhang zu stellen, das wäre apriorie und entspräche somit Kants transzendentalem Ansatz. Für mich klingt das so, als dass jede Veränderung von meiner eigenen bedingungslos abhängt. Man kann also völlig zu recht sagen, wie Telltale das dargelegt hat, das Werden geht dem Sein voraus, denn das Sein entfaltet sich für unsere Erkenntnis erst durch den nur empirisch bestimmbaren Raum. So bedeutet zunächst der Satz vom Widerspruch im aristotelischen Sinne, das nicht zur selben Zeit eine Aussage wahr und falsch zugleich sein kann und in zweiter Ordnung, nämlich der empirischen, die dann synthetische Urteile erst ermöglicht, kommt die räumlich materielle Komponente hinzu, nämlich, dass sich in dem was wir in der sog. Außenwelt als etwas uns vorstellen, dies sich konkret verändert, also, dass nicht zur selben Zeit etwas an zwei unterschiedlichen Orten sein kann, ohne dass eine Zeit dies durch Bewegung und Veränderung erst ermöglicht.

Man mag nun trefflich darüber streiten, ob synthetische Urteile apriorie möglich sind oder nicht, nur man verfängt sich leicht in Fallstricken, denn in diesem Sinne ist Zahl nunmal Zahl und ich ordne ihren Wert nicht nach einem Apriorie, sondern nach den Notwendigkeiten, mir das Leben durch das Zählen zu erleichtern. Das wurde hier auch schon gesagt und ich unterstreiche das. In der Geometrie, die durchweg empirisch angelegt ist, taucht diese Frage naturgemäß nicht auf.

Insofern ist das kantsche Apriorie durchaus anzweifelbar und vielleicht ist er vor seiner eigenen Erkenntnis zurückgeschreckt, weil er die Auswirkungen einer oberflächlichen Betrachtung des solipsistischen Phänomens vorausgesehen hat, was ihn aber nur als Menschenkenner ausweist.

Also, in der Mathematik kann es keine synthetischen Urteile apriorie geben, allenfalls in unserem Schädel, so man Kant folgt.

Mit freundlichen Grüßen
Reinhard

Zitat:

Original von Verena Zitat: Original von Philipp Wehrli Was ich sagen will: Ja, die Mathematik hat seit Kant geändert. Zu Kants Zeit war sie synthetisch und basierte auf Erfahrung (was Kant allerdings nicht erkannte). Heute ist sie analytisch und basiert nicht mehr auf Erfahrung. So oder so stimmt Kants Behauptung nicht, es gebe synthetische Sätze a priori. Deine Alternativen gehen an Kant mal wieder - wie üblich - vollkommen vorbei. Kant wollte mit seinem Beispiel 5+7=12 und den damit verbundenen Erläuterungen vor allem auf eines hinweisen, nämlich dass der Begriff (das Subjekt) 5+7 die 12 (das Prädikat) nicht bereits enthält (deutlich wird das vor allem bei größeren Zahlen) wie zB das Prädikat unverheiratet bereits in Junggeselle enthalten ist, man also nicht einfach durch eine Analyse des gegeben Begriffs (5+7) zur 12 gelangt, sondern erst durch einen Handlungsvollzug, eine Operation - ob man bei dieser Operation nun die Finger oder einen Abakus zu Hilfe nimmt, ist vollkommen wurscht.

Das Zeichen + steht für eine Operation. Diese Operation muss definiert werden und wer sich einmal über die Grundschule hinaus mit Mathematik befasst hat, weiss, dass andere Definitionen als die, die Kant und Verena meinen, durchaus vorkommen und Sinn machen. Wie Milena richtig andeutet, konnte Kant das noch nicht wissen. Aber Verena sollte mal endlich ihre Arroganz ablegen und solche Sachen zur Kenntnis nehmen oder zumindest nachfragen oder allermindestens ihre blöden Sprüche weglassen, mit denen sie andeutet, andere kommen nicht draus.

Wie der restliche Unsinn in Verenas Post richtig gestellt wird, bleibt den Lesern als Übungsaufgabe überlassen.

Zur Information an andere Leser: Ich habe eine andere Diskussion mit Verena kürzlich abgebrochen, nachdem sie meine Meinung mehrmals falsch widergab, obwohl ich sie mehrmals klar darauf aufmerksam gemacht habe, dass ihre Darstellung nicht meine Meinung widergibt.

Zitat:

Original von Philipp Wehrli Oder du baust sie exakt axiomatisch auf. Dann sind sie analytisch und können durch die Erfahrung nicht widerlegt werden. ... Was ich sagen will: Ja, die Mathematik hat seit Kant geändert. Zu Kants Zeit war sie synthetisch und basierte auf Erfahrung (was Kant allerdings nicht erkannte). Heute ist sie analytisch und basiert nicht mehr auf Erfahrung.

worauf denn sonst basiert die axiomatisierung, wenn nicht auf logisch-mathematische erfahrung, mathe-studium z.B.?
was kant nicht erkannt hat, war genau die erfahrung in seiner ganzheit, die ganzheitseinheit, also dingliche und gleichzeitig logisch-mathematische erfahrung, was nicht heißt, dass jeder ein mathegenie ist.

grüsse