Frage zur Reihenfolge von Junktoren

Hallo allerseits,

Wenn ich in der klassischen Aussagenlogik mit folgendem Satz konfrontiert werde
"A B C"
in welcher Reihenfolge gehe ich dann vor wenn ich den auswerten will?

"A (B C)"
oder
"(A B) C"

Irgendwo in den Weiten des Internets habe ich gelesen, dass man das analog zu Punkt-Vor-Strich handhabt -wobei das "und" dem Punkt entspricht, und das "oder" dem Strich-
ist das korrekt so?

Und wie verhält es sich mit anderen Junktoren?

Meines Wissens ist z.B. die Implikation
"A B"
äquivalent zu
"¬A B"

und die Äquivalenz
"A B"
äquivalent zu
"A B B A".


Wenn man nun statt "A B" schreibt "A B B A",
und wenn man dann die Implikationen wiederum ersetzt,
erhält man:
"¬A B ¬B A"



Wertet man das so aus:
"(¬A B) (¬B A)"

Muss man vielleicht sogar beim Ersetzen stets Klammern um den ersetzten Ausdruck machen so dass man die höhere Priorität eines ersetzten Ausdrucks nicht verwischt?

oder wertet man o.g. Aussage eher in folgendem Sinne aus:
"¬A (B ¬ B) A"

Gibt es eine einfache Regel, welchen Junktor man zuerst abhandelt
(z.B. Klammern vor Negation vor Äquivalenz vor Implikation vor Konjunktion vor Disjunktion),
und worauf man bei Ersetzen durch Äquivalentes achten muss,
so dass klar wäre in welcher Reihenfolge man folgende Junktoren angeht und/oder ersetzen kann:

A B C
A B C
A B C
A B C
A B C

Hi.

Vom Stärksten zum Schwächsten:

Negation
Konjunktion
Disjunktion
Konditional
Äquivalenz

Entsprechend muss etwa

„p v ~q -> r & s <-> p*“

schrittweise so geklammert werden (Außenklammern lasse ich weg):

„p v [~q] -> r & s <-> p*“
„p v (~q) -> [r & s] <-> p*“
„[p v (~q)] -> (r & s) <-> p*“
„[(p v (~q)) -> (r & s)] <-> p*“

Darüber hinaus gilt Linksklammerung. Die Formel

„p -> q -> r“

wird demnach so geklammert:

„(p -> q) -> r“

Man beachte, dass „(p -> q) -> r“ und „p -> (q -> r)“ nicht äquivalent sind.

Zitat:

Irgendwo in den Weiten des Internets habe ich gelesen, dass man das analog zu Punkt-Vor-Strich handhabt -wobei das "und" dem Punkt entspricht, und das "oder" dem Strich- ist das korrekt so?

Jepp. Die Konjunktion zweier Formeln A und B wird auch als logisches Produkt von A und B bezeichnet; die Disjunktion zweier Formeln A und B als logische Summe der beiden.

Zitat:

Muss man vielleicht sogar beim Ersetzen stets Klammern um den ersetzten Ausdruck machen so dass man die höhere Priorität eines ersetzten Ausdrucks nicht verwischt?

Jepp. Ersetzt man in

„(p & ~p) -> q“

etwa „p“ durch „p v p“ und vergisst zu klammern, erhält man:

„(p v p & ~p v p) -> q“

Gemäß den Klammerregeln ist das:

„(p v (p & (~p)) v p) -> q“

Was man haben will, ist aber eigentlich

„((p v p) & ~(p v p)) -> q“

Da die beiden letztgenannten Formeln nicht äquivalent sind, wäre dieser Klammerungsfehler fatal.

"(A B) C" = "(A oder B) und C"

1. Wäre das so richtig?
2. Nur zum Verständnis:

2.1. Wenn C falsch wäre, dann wäre die ganze Formel falsch, oder?
2.2 Wenn jeweils nur A oder B falsch wäre (also jeweils ein Buchstabe falsch, der andere wahr), wäre die ganze Formel wahr, oder? (vorausgesetzt C wäre wahr)

Zitat:

Original von Pippen "(A B) C" = "(A oder B) und C" 2.2 Wenn jeweils nur A oder B falsch wäre (also jeweils ein Buchstabe falsch, der andere wahr), wäre die ganze Formel wahr, oder? (vorausgesetzt C wäre wahr)

Du verwechselst das ="oder-auch" mit dem ="entweder-oder"
Wenn C wahr ist und mindestens einer von beiden A,B (oder auch beide) wahr ist, ist das Ganze wahr.

Hi Soso,

Ich habe mich heute, um das Prozedere genauer verstehen zu lernen, voller Tatendrang daran gemacht ein Javaprogramm zu schreiben das beliebige logische Formeln in eine konjunktive Normalform bringt:
"(A B ...) (C D ...) ..."
und kann voller Stolz berichten dass alles reibungsfrei zu funktionieren scheint.

Vielen Dank also für die wieder mal äußerst lehrreichen Antworten

@Pippen

Hi.

Zitat:

"(A B) C" = "(A oder B) und C" 1. Wäre das so richtig?

Jepp.

Zitat:

2.1. Wenn C falsch wäre, dann wäre die ganze Formel falsch, oder?

Jepp.

Zitat:

2.2 Wenn jeweils nur A oder B falsch wäre (also jeweils ein Buchstabe falsch, der andere wahr), wäre die ganze Formel wahr, oder? (vorausgesetzt C wäre wahr)

Wenn C wahr ist und entweder A wahr ist oder B wahr ist, ist die ganze Formel wahr, jepp.