Chrono-Logik: Ein erster Versuch

Hallo,

wieder einmal renne ich mit und gegen die Windmühlenflügel der Logik an,
um einen (mir) neuen Ansatz zu testen: Chrono-Logik.

Die Idee dazu stammt u.a. aus der (Quanten-)Physik:
Wie Eigenschaften von Teilchen unbestimmt bleiben,
bis sie in einer (irreversiblen) Messung bestimmt werden,
will ich von unbestimmten Wahrheitswerten ausgehen,
bis sie durch einen "Denkakt" (irreversibel) festgelegt werden.

Dabei spielt nun zu jeder Aussage der Zeitpunkt eine Rolle,
auf den wir uns bei der Wahrheitswertfindung der Aussage beziehen.

Statt Zeitpunkten können wir uns auch Gedankenreihenfolgen vorstellen:
Beim ersten Nachdenken war eine Aussage vielleicht noch unbestimmt,
nach drei weiteren Gedanken erkennen wir sie dann als wahr.
Ab dann werden wir sie immer für wahr ansehen
(als perfekte Logiker, die wir sind …).

Nun die Grundprinzipien der Chrono-Logik:

W1: Aussagen A haben zu jedem Zeitpunkt t Wahrheitswerte W(A,t).
W(A,t) kann jeweils einen der Werte w, -w, (w,-w) annehmen,
dabei steht der letzte für "unbestimmt".

(Das Prinzip W1 ist selbst eine (Meta-)Aussage, es ist ab t+1 w, für t=0 also ab t=1)


A0: Zum Zeitpunkt 0 sind alle Aussagen (w,-w) (d.h. unbestimmt).

(A0 ist ab t=1 w, zu t=0 wie alle andern auch unbestimmt)

A1: Aussagen können nicht nacheinander w und –w sein:
Fall W(A,t1)=w gibt es kein t2 mit W(A,t2)=-w. (A1 w ab 1+max t1,t2)

Folge: typische Aussagen sind zunächst für einige t unbestimmt und ab einem t1 dann stets wahr oder stets nicht wahr (oder stets unbestimmt).

Aussagen, die W1, A0 und A1 erfüllen, heißen chrono-logische Aussagen.

A2: Chronologiesatz:
Sind die Zeitpunkte t1<t2<t3<…<tn aufsteigend geordnet, und f ein aussagenlogischer Ausdruck
so ist die Gleichung W(An,tn) =w :<-> f(W(A1,t1), W(A2,t2), … , W(An-1,tn-1)) = w
durch eine chrono-logische Aussage An lösbar.

Beispiel:
1. W(An,2) =w :<-> f(W(A1,1)) = f((w,-w)) = w (dabei f die Konstante w)

1. Beispiel erfüllbar mit An gleich der ab 2 stets wahren Aussage.

2. W(An,1)=w :<-> f(W(A1,0))=w <-> f(w,-w)=w <-> (w,-w)=w (f=Identidät)

2. beispiel erfüllbar für W(An,1)=(w,-w).



Beispiel Lügner Aussage:

W(An,1) = w :<-> W(An,0)=-w
Erfüllbar für W(An,1)=(w,-w).

W(An,1) = w :<-> W(An,0)=-w v W(An,0)=(w,-w)
Erfüllbar für W(An,1)=(w,-w), aber auch für W(An,1)=w.

Problematisch sind Aussagen über alle Zeitpunkte:

W(L,t0)=w :<-> Für alle t>0 gilt W(L,t)=-w oder W(L,t)=(w,-w)

Hier wäre die rechte Seite niemals vollständig bestimmbar,
wir müssten unendlich lange darüber nachdenken …
Solche Bestimmungsgleichungen sind daher (zunächst?) nicht zugelassen.

Eine chrono-logische Aussage, die nicht stets unbestimmt ist,
wird ja durch den kleinsten t-Wert charakterisiert, für den sie ihren bestimmten Wert annimmt.

Dadurch kann man die Ungleichheit von Aussagen bestimmen, wenn mindestens eine Aussage bestimmt ist:

W(A,t1)=w und W(B,t2)=-w dann W(A=B,max t1,t2 +1)=-w
W(A,t1)=w und W(B,t2)=(w,-w) und t2>t1 dann W(A=B, t2+1)=-w

Die Gleichheit ist z.T schwierig zu bestimmen, da man bei einer Gleichung nicht die gleichen Zeitpunkte auf beiden Seiten nutzen darf (wir können meist nur den Wert von entweder A oder B zu t1 bestimmen und das nicht zugleich tun).

Metaaussagen:

Gewöhnlich gilt: W(A)=w dann auch W(W(A)=w) = w.
In Chrono-Logik benötigt jeder Denkakt einen eigenen Zeitpunkt.

Aus W(A,t1)=w folgt, dass t1 belegt ist (zumindest wenn t1 minimal ist) und somit W((A,t1)=w,t1) = (w,-w) , danach für t2>t1: W((A,t1)=w,t2) = w.

Ökonomie-(Minimum)prinzip:
Wurde einmal ein Wahrheitswert W(A,t1) ungleich (w,-w) ermittelt, so wird zu späteren Zeitpunkten t2 nur noch der Erinnerungswert von t1 benutzt und der Wert nicht neu bestimmt.

Folge für Metaaussagen: t1<t2<t3: W(W(A,t3)=w,t2) = W(W(A,t1)=w,t2) = w.


Anwendung auf Mengenlehre:

x e R :<-> x –e x

Jetzt: W(x e R,t+1)= w : <-> W(x e x, t )= -w

Ann. W(R e R, t) = -w -> W(R e R, t+1) = w -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = w -> W(R e R, t+1) = -w oder (w,-w) -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = (w,-w) -> möglich.

Verschärft: W(x e R,t+1)= w : <-> ( W(x e x, t )= -w oder W(x e x, t )=(w,-w) )

Ann. W(R e R, t) = -w -> W(R e R, t+1) = w -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = w -> W(R e R, t+1) = -w oder (w,-w) -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = (w,-w) -> W(R e R, t+1) = w (möglich, nur einmalig)

Also W(R e R,t) = w für t>0. Also Russellmenge chrono-logisch wohl möglich.


Cantorbijektion zur Potenzmenge:

Sei f: M -> P(M) eine bijektive Abbildung einer Menge M auf ihre Potenzmenge
(= Menge aller Teilmengen von M).

Wir bilden folgende Teilmenge von M:
Mf: x e Mf :<-> x –e f(x)
Chrono-logisch: W(x e Mf, t+1)=w <-> W(x e f(x),t) = -w
Sei f(x0)=Mf, dh x0 Urbild zu Mf.

1. Fall: W(x0 e f(x0),t) = w -> W(x0 e Mf=f(x0), t+1)= -w oder (w,-w) Widerspruch!
2. Fall: W(x0 e f(x0),t) = -w -> W(x0 e Mf=f(x0), t+1)= w Widerspruch!
3. Fall: W(x0 e f(x0),t) = (w,-w) -> W(x0 e Mf=f(x0), t+1)= -w oder (w,-w) möglich

2. Teilmenge: Mg: x e Mg :<-> x –e f(x) oder x (e,-e) f(x)
W(x e Mg, t+1)=w <-> W(x e f(x),t) = -w oder W(x e f(x),t) = (w,-w)
Sei f(x2)=Mg, dh x2 Urbild zu Mg.

1. Fall: W(x2 e f(x2),t) = w -> W(x2 e Mg=f(x2), t+1)= -w oder (w,-w) Widerspruch!
2. Fall: W(x2 e f(x2),t) = -w -> W(x2 e Mg=f(x2), t+1)= w Widerspruch!
3. Fall: W(x2 e f(x2),t) = (w,-w) -> W(x2 e Mg=f(x2), t+1)= w möglich (einmalig)

Also Bijektion zwischen Menge und Potenzmenge chrono-logisch wohl möglich.


Wohl noch nicht ganz ausgegoren,
aber die Richtung ist hoffentlich erkennbar.

Rückmeldungen willkommen (auch Widersprüche)!

Gruß
Trestone

Was sagt deine Logik zu Sätzen wie "Alle Sätze sind falsch" oder "Es gibt keine Wahrheit"?

@Trestone

Hi.

Ich habe zwei ganz grundlegende Bitten an dich:

(a) Da du mit drei Wahrheitswerten arbeitest, gibt mal bitte die Wahrheitstafeln für deine Junktoren an.

(b) Könntest du außerdem mal die Wahrheitsbedingungen deiner Formeln vollständig ausbuchstabieren, also im Sinne von „W<A, tn> = w gdw. …“ usw.? Bis jetzt weiß ich nur, dass zu t0 alle Aussagen unbestimmt sind und die Wahrheitswerte des Wahren und des Falschen über nachfolgende Zeitpunkte vererbt werden.

Darüber hinaus habe ich so einige Verständnisschwierigkeiten und ein paar Anmerkungen mit bzw. zu deinen Ausführungen:

Zitat:

W1: Aussagen A haben zu jedem Zeitpunkt t Wahrheitswerte W(A,t).

(A, t) muss ein geordnetes Paar sein. Daher entweder eckige Klammern benutzen oder dazuschreiben, dass die runden Klammern hier wie eckige funktionieren.

Zitat:

W(A,t) kann jeweils einen der Werte w, -w, (w,-w) annehmen

Ich finde es einigermaßen verwirrend, dass du den Wert der Unbestimmtheit mit „(w, -w)“ bezeichnest. Das suggeriert, dass bei dir eine unbestimmte Aussage wahr UND nicht wahr ist. Warum nicht einfach „u“ oder so nehmen? Das macht auch deine Formeln kürzer.

Zitat:

A1: Aussagen können nicht nacheinander w und –w sein: Fall W(A,t1)=w gibt es kein t2 mit W(A,t2)=-w. (A1 w ab 1+max t1,t2) Folge: typische Aussagen sind zunächst für einige t unbestimmt und ab einem t1 dann stets wahr oder stets nicht wahr (oder stets unbestimmt).

Die tn als Zeitpunkte zu interpretieren, scheint mir mit A1 nicht vereinbar zu sein. So gibt es Aussagen wie „heute ist Dienstag“, die zu einem Zeitpunkt wahr sind und zu einem späteren falsch. Insofern erscheint mir A1 recht unplausibel.

Andererseits könntest du argumentieren, dass es dir einzig und allein um Mathematik geht und dass zu sagen, dass eine Aussage A wahr sei, nichts anderes bedeute, als dass die Wahrheit von A bewiesen ist. Das wäre dann aber Intuitionismus und entsprechend müsstest du auch deine Logik intuitionistisch gestalten (was mir auf den ersten Blick nicht der Fall zu sein scheint).

Zitat:

A2: Chronologiesatz: Sind die Zeitpunkte t1<t2<t3<…<tn aufsteigend geordnet, und f ein aussagenlogischer Ausdruck so ist die Gleichung W(An,tn) =w :<-> f(W(A1,t1), W(A2,t2), … , W(An-1,tn-1)) = w durch eine chrono-logische Aussage An lösbar.

Das verstehe ich in vielerlei Hinsicht nicht. Wofür steht zunächst einmal „f“? Du schreibst, es sei ein aussagenlogischer Ausdruck. Aussagenlogische Ausdrücke sind aussagenlogische wffs wie „p“, „p v q“, „~(~p & ~q)“ usw. Was soll dann aber deine Definition besagen? Vor allem: was soll „f(W(A1,t1), W(A2,t2), … , W(An-1,tn-1)) = w“ aussagen?

Wofür stehen „A1“, „A2“ usw.? Sind das einfach nur Metavariablen für irgendwelche wffs, sodass man statt „A1“, „A2“ usw. auch hätte schreiben können „A“, „B“ usw.? Hat es irgendeinen Grund, dass die Ziffer hinter den „A“ dieselbe Ziffer ist wie hinter den „t“?

Zitat:

2. W(An,1)=w :<-> f(W(A1,0))=w <-> f(w,-w)=w <-> (w,-w)=w (f=Identidät) 2. beispiel erfüllbar für W(An,1)=(w,-w).

Oben schreibst du, f sei ein aussagenlogischer Ausdruck. Hier schreibst du „f = Identität“. Soll das heißen, dass „f“ in dem Beispiel für das Identitätszeichen stehe? In der Aussagenlogik gibt es aber kein Zeichen für Identität.

Zitat:

Beispiel Lügner Aussage: W(An,1) = w :<-> W(An,0)=-w Erfüllbar für W(An,1)=(w,-w). W(An,1) = w :<-> W(An,0)=-w v W(An,0)=(w,-w) Erfüllbar für W(An,1)=(w,-w), aber auch für W(An,1)=w.

Was hat das mit dem Lügnersatz zu tun? Der Lügnersatz sagt von sich selbst, dass er falsch sei; er ist aber keine Definition. Wie kommst du daher zu der Definition „W(An,1) = w :<-> W(An,0)=-w“? Was soll es weiterhin bedeuten, dass eine Definition erfüllbar sei? Oder ist „:<->“ bei dir gar kein Definitionszeichen? Was dann? Ein Äquivalenzzeichen? Warum schreibst du dann manchmal „<->“ und manchmal „:<->“ als Äquivalenzzeichen? Gibt es da einen Unterschied?

Ansonsten hier mal eine Verständnisfrage: Fassen wir „:<->“ mal als Äquivalenzzeichen auf und betrachten einfach die Formel „W(An,1) = w :<-> W(An,0)=-w“. Warum ist das Ding erfüllbar für W(An,1)=(w,-w)? Die rechte Subformel „W(An,0)=-w“ ist in jedem Falle falsch, denn zum Zeitpunkt 0 sind alle Aussagen unbestimmt. Daher kann An zu 0 nicht falsch sein. Nun hast du die Wahrheitsbedingungen für die Äquivalenz nicht angegeben, aber ich nehme an, eine Äquivalenz ist bei dir wahr genau dann, wenn die Subformeln links und rechts denselben Wahrheitswert haben. Da also die rechte Subformel „W(An,0)=-w“ in jedem Falle falsch ist, kann die ganze Äquivalenz nur wahr werden, wenn die linke Subformel auch falsch ist, d.h. An darf zu 1 nicht wahr sein. Demnach muss An zu 1 unbestimmt oder falsch sein. Hast du dir das so gedacht?

Den Rest lasse ich erst einmal weg, da ich mir erst einmal über die Grundlage Klarheit verschaffen möchte. Aber abschließend noch eine Frage: sind alle Aussagen in deiner Logik chrono-logisch oder gibt es auch solche, die es nicht sind?

PS: Warum konstruierst du deine Logik als eine semantisch geschlossene Sprache, d.h. warum treten metasprachliche Aussagen wie „W<p, t2> = w“ in der Objektsprache auf? Damit ist ein Scheitern deines Ansatzes doch schon beinahe vorprogrammiert. Warum nicht erst einmal eine ganz einfache, semantisch nicht geschlossene Aussagenlogik gemäß deinen Überlegungen konstruieren, um zu schauen, ob deine Idee überhaupt funktioniert? Wenn man sich selber ein Auto zusammenbaut, dann sollte man doch als allererstes sicherstellen, dass das Auto überhaupt fahrtüchtig ist, bevor man es mit allerlei Gimmicks ausstattet.

PPS: Wenn du zusätzlich zu den Angaben der Wahrheitstafeln deiner Junktoren sowie den Wahrheitsbedingungen deiner Formeln noch Erfüllbarkeit sowie eine semantische Folgerungsrelation definierst, wäre das natürlich auch noch recht hilfreich. (Was Erfüllbarkeit angeht, bin ich bei meinem Geschreibsel zum Lügnersatz davon ausgegangen, dass eine wff bei dir erfüllbar ist genau dann, wenn es eine Bewertungsfunktion gibt, die sie wahr macht.)

Zitat:

Original von Pippen Was sagt deine Logik zu Sätzen wie "Alle Sätze sind falsch" oder "Es gibt keine Wahrheit"?

Hallo Pippen,

zu solchen Sätzen ist sie ganz ähnlich wie die klassische Logik:

Beide Sätze sind zwar für t=0 unbestimmt (w,-w), aber konvertieren mit wachsendem t zu nicht wahr,
da man als Gegenbeispiel nur einen (für große t) wahren Satz konstruieren muss.

Gruß
Trestone

Zitat:

Original von -Soso- @Trestone Hi. Ich habe zwei ganz grundlegende Bitten an dich: (a) Da du mit drei Wahrheitswerten arbeitest, gibt mal bitte die Wahrheitstafeln für deine Junktoren an. ...

Hallo Soso,

zunächst nur eine Antwort auf Deine erste Frage:

Im Prinzip kann ich als Ausgangspunkt jede dreiwertige Logik benutzen,
die die klassische zweiwertige Logik fortsetzt.
Am besten leuchtete mir dabei das Substitutionsprinzip ein:

Überall wo "u" (oder "(w,-w)") steht, ersetzt man dieses an jeder Stelle
und unabhängig voneinander durch "w" und "-w".
Erhält man bei Auflösung der dann klassisch zweiwertigen Formeln beide Wahrheitswerte, so ist das dreiwertige Ergebnis "u",
sonst der eindeutige Wahrheitswert.

A : -A ___ A B :__A und B__A oder B__A -> B (-AvB)
w -w ___ w w______w_______w_______w
u u _____ w u______u________w_______u
-w w ___ w -w_____-w_______w______-w
________ u w_______u_______w_______w
________ u u_______u________u_______u
________ u -w______-w______u________u
________ -w w_____-w______w_______w
________ -w u______-w______u_______w
________ -w -w_____-w_____-w_______w

(sorry für die unschöne Darstellung)
Spannender als diese Relationen ist die Gleichheit:

Nach dem Substitutionsprinzip ist z.B. W( w = u , t ) = u,
ebenso W( u = u , t ) = u.
Also ist "A=A" nicht stets wahr.

Bei der Gleichheit gibt es noch ein "Unschärfeproblem":
Eigentlich möchte man zwei chrono-logische Aussagen (chrono-logisch) gleich nennen,
wenn sie für alle t gleiche Wahrheitswerte annehmen.

Da man aber zu einem t nur den Wahrheitswert einer Aussage bestimmen kann,
ist dies so nicht möglich.
Wegen der Konstanz und Stetigkeit von Aussagen lässt sich aber ein Vergleich für benachbarte t (+-1) treffen.
Z.B. sind Aussagen mit den t-Belegungen (u,u,u,w,w,w,w,w,...) und (u,u,w,w,w,w,w,...)
nicht mittels Wahrheitswertbestimmungen unterscheidbar.

Evtl. genügt es, die Aussagen zu solchen Äquivalenzklassen zusammenzufassen.

In der zugehörigen Mengenlehre besteht ein Problem darin,
das Durchschnittsmengen über unendliche Mengen unbestimmt sein können,
selbst wenn jede einzelne Menge M ab einem t(M) bestimmte Elemente hat,
kann das t(D) der Durchschnittsmenge D unendlich sein,
d. h. W("x e D",t) ist möglicherweise stets u.

Gruß
Trestone

Hi.

Deine Wahrheitstafeln entsprechen denen von Kleenes starker dreiwertiger Logik K3 bzw. denen von Priests LP. Damit man mit den Wahrheitstafeln jedoch auch etwas anfangen kann, müsstest du außerdem – worum ich dich ja gebeten hatte – die semantische Folgerungsrelation für deine Logik definieren. In der klassischen Logik ist es ganz simpel: für beliebige wffs A und B gilt, dass A B genau dann, wenn, wann immer A wahr ist, auch B wahr ist. In einer dreiwertigen Logik hat man jedoch mehrere Möglichkeiten: in Kleenes K3 gilt z.B. ebenfalls, dass A B genau dann, wenn, wann immer A wahr ist, auch B wahr ist. In Priests LP hingegen, welches dieselben Wahrheitstafeln wie K3 besitzt, gilt A B genau dann, wenn, wann immer A wahr oder wahr-und-falsch (wahr-und-falsch in LP entspricht unbestimmt in K3) ist, auch B wahr oder wahr-und-falsch ist. Der Unterschied in den Definitionen von in K3 und LP, macht, obwohl beide Logiken dieselben Wahrheitstafeln haben, Gewaltiges aus. Betrachten wir einige wffs:

(i) ~(p & ~p)
(ii) p v ~p
(iii) p -> p

In K3 gilt weder (i) noch (ii) noch (iii). Gegenmodelle sind in allen drei Fällen V(p) = u. In der Tat ist es so, dass in K3 jede wff den Wert u bekommt, wenn man jede atomare wff derselben mit u bewertet. Das birgt die interessante Konsequenz, dass es in K3 keine logischen Wahrheiten gibt, da es keine wffs gibt, die unter allen möglichen Bewertungen ihrer atomaren wffs wahr sind. Würdest du daher so wie in der klassischen Logik oder in K3 definieren, wäre deine Logik eine seltsame Grundlage für eine Formalisierung der Mathematik, denn mathematische Wahrheiten sollten ja doch schon als logische Wahrheiten gelten – meine ich.

In LP hingegen gelten (i), (ii) und (iii), denn es gilt für alle drei: jede Bewertung macht sie entweder wahr oder wahr-und-falsch. Dummerweise gilt in LP jedoch der modus ponens nicht, was, wie ich meine, LP von Vornherein für eine Formalisierung der Mathematik ausschließt.

So oder so ist es in jedem Falle wichtig, dass du die semantische Folgerungsrelation definierst – das Ding, zusammen mit der syntaktischen Folgerungsrelation, macht schließlich das Herz einer jeden Logik aus. (Wobei es nicht nötig ist, dass man beide hat; eine von beiden genügt und da du deine Logik von der Semantik her aufziehst, reicht hier die Semantische.)

Zitat:

Da man aber zu einem t nur den Wahrheitswert einer Aussage bestimmen kann, ist dies so nicht möglich.

Hmm, das scheine ich in deinem Eingangspost überlesen zu haben. Aber zum Verständnis: zu t0 kennen wir den Wahrheitswert von höchstens null Aussagen. Zu t1, da man pro Zeitpunkt den Wahrheitswert von nur einer Aussage bestimmen kann, kennen wir den Wahrheitswert von höchstens einer Aussage. Zu t2 kennen wir dann den Wahrheitswert von höchstens zwei Aussagen und zu tn kennen wir den Wahrheitswert von höchstens n Aussagen. So meinst du das?

Zitat:

Bei der Gleichheit gibt es noch ein "Unschärfeproblem": Eigentlich möchte man zwei chrono-logische Aussagen (chrono-logisch) gleich nennen, wenn sie für alle t gleiche Wahrheitswerte annehmen. Da man aber zu einem t nur den Wahrheitswert einer Aussage bestimmen kann, ist dies so nicht möglich. Wegen der Konstanz und Stetigkeit von Aussagen lässt sich aber ein Vergleich für benachbarte t (+-1) treffen. Z.B. sind Aussagen mit den t-Belegungen (u,u,u,w,w,w,w,w,...) und (u,u,w,w,w,w,w,...) nicht mittels Wahrheitswertbestimmungen unterscheidbar.

Dein Lösungsvorschlag scheint mir äquivalent zu sein mit „zwei Aussagen A und B sind äquivalent (gleich) genau dann, wenn es einen Zeitpunkt ti gibt, sodass A und B sind zu ti beide wahr oder beide falsch“ (daraus folgt dann mit dem Konstanzaxiom schon, dass A und B für alle ti nachfolgenden Zeitpunkte auch beide wahr oder beide falsch sind). Auch mich dünkt aber, dass dies Haus und Hof öffnet für Aussagen, deren Wahrheitswert sich nicht auf Wahrheit oder Falschheit festlegen lässt, wenn sich etwa für eine Aussage wie „p <-> q“ („p = q“ in deiner Notation) schlichtweg nicht beweisen lässt, dass es einen Zeitpunkt ti gibt, zu dem beide wahr oder beide falsch sind.

Zitat:

Original von -Soso- Hi. Deine Wahrheitstafeln entsprechen denen von Kleenes starker dreiwertiger Logik K3 bzw. denen von Priests LP. Damit man mit den Wahrheitstafeln jedoch auch etwas anfangen kann, müsstest du außerdem – worum ich dich ja gebeten hatte – die semantische Folgerungsrelation für deine Logik definieren. In der klassischen Logik ist es ganz simpel: für beliebige wffs A und B gilt, dass A B genau dann, wenn, wann immer A wahr ist, auch B wahr ist. In einer dreiwertigen Logik hat man jedoch mehrere Möglichkeiten: in Kleenes K3 gilt z.B. ebenfalls, dass A B genau dann, wenn, wann immer A wahr ist, auch B wahr ist. In Priests LP hingegen, welches dieselben Wahrheitstafeln wie K3 besitzt, gilt A B genau dann, wenn, wann immer A wahr oder wahr-und-falsch (wahr-und-falsch in LP entspricht unbestimmt in K3) ist, auch B wahr oder wahr-und-falsch ist. ... Zitat: Da man aber zu einem t nur den Wahrheitswert einer Aussage bestimmen kann, ist dies so nicht möglich. Hmm, das scheine ich in deinem Eingangspost überlesen zu haben. Aber zum Verständnis: zu t0 kennen wir den Wahrheitswert von höchstens null Aussagen. Zu t1, da man pro Zeitpunkt den Wahrheitswert von nur einer Aussage bestimmen kann, kennen wir den Wahrheitswert von höchstens einer Aussage. Zu t2 kennen wir dann den Wahrheitswert von höchstens zwei Aussagen und zu tn kennen wir den Wahrheitswert von höchstens n Aussagen. So meinst du das? Zitat: Bei der Gleichheit gibt es noch ein "Unschärfeproblem": Eigentlich möchte man zwei chrono-logische Aussagen (chrono-logisch) gleich nennen, wenn sie für alle t gleiche Wahrheitswerte annehmen. Da man aber zu einem t nur den Wahrheitswert einer Aussage bestimmen kann, ist dies so nicht möglich. Wegen der Konstanz und Stetigkeit von Aussagen lässt sich aber ein Vergleich für benachbarte t (+-1) treffen. Z.B. sind Aussagen mit den t-Belegungen (u,u,u,w,w,w,w,w,...) und (u,u,w,w,w,w,w,...) nicht mittels Wahrheitswertbestimmungen unterscheidbar.

Hallo Soso,

wieder kann ich nur einen Teil beantworten.

In meiner Wertetabelle oben habe ich versucht, auch die Implikation zu definieren. ob das K3 oder LP ist, weiß ich nicht.

Aber dieser (technische) Teil meiner Logik ist mir nicht so wichtig,
da ich mehr die Folgen des chrono-logischen Ansatzes analysieren will.
Dreiwertigkeit benötige ich, weil ich unbedingt mit "unbestimmt" zum Zeitpunkt 0 starten will,
wie ich finde ein plausibler Ausgangspunkt.

In der Tat hatte mein erster Ansatz zur Folge, dass man startend von ungewissen Aussagen durch nacheinander abfolgende Bewertungen und Urteile
bis zum Zeitpunkt tn nur maximal n Aussagen bewerten konnte.
Diese Betrachtung aus Sicht eines Einzelnen (Robinsonansatz) hat zur Folge,
dass die Gleichheit von Aussagen nur t-unscharf bestimmt werden kann
und nicht einmal transitiv ist.

Dies wird bequemer, wenn man eine Logikergemeinschaft arbeitsteilig agieren lässt
- und so Urteile zu verschiedenen Aussagen zum gleichen Zeitpunkt t ab dem Zeitpunkt t+1 verfügbar sind
Das sind dann nämlich Metaaussagen zu diesen Aussagen.

Gruß
Trestone

Hi.

Zitat:

In meiner Wertetabelle oben habe ich versucht, auch die Implikation zu definieren. ob das K3 oder LP ist, weiß ich nicht.

Ich rede nicht von der Implikation, ich rede von der semantischen Folgerung. Es gibt vier Zeichen, die in Logiktexten immer wieder auftauchen und nur allzu gerne verwechselt werden:

->
=>



Das erste Zeichen steht für das materiale Konditional, auch „materiale Implikation“ genannt. Das materiale Konditional hast du in deiner Wahrheitstabelle definiert.

Das zweite Zeichen steht ebenfalls für das materiale Konditional. Im Gegensatz zu „->“ ist „=>“ aber ein metasprachliches Zeichen.

Das dritte Zeichen steht für die syntaktische Folgerung. „A B“ besagt dabei, dass es einen formalen Beweis von B aus A gibt.

Das vierte Zeichen schließlich steht für die semantische Folgerung. „A B“ besagt, dass jedes Modell von A ein Modell von B ist.

Damit man in einer Logik überhaupt schließen kann, muss wenigstens eine der beide Folgerungen definiert sein. Verfolgt man einen axiomatischen Ansatz, dann ist die verwendete Folgerungsrelation die syntaktische, ausgedrückt durch „ “. Geht man die Sache von der Semantik her an, dann muss man die semantische Folgerung definieren. Da du ebenfalls die Sache von der Semantik her angehst, musst du demnach definieren. Tust du das nicht, sind in deiner Logik schlichtweg keine Schlüsse möglich.

Als Fußnote: Wenn man die Vollständigkeit einer formalen Sprache L beweist, dann beweist man, dass, wann immer B aus A semantisch folgt, B aus A auch syntaktisch folgt (um die ganzen hübschen Zeichen zu verwenden: man beweist, dass A B => A B). Beweist man die Korrektheit von L, dann beweist man den Rückweg, also dass A B => A B. Ist L vollständig und korrekt, dann fallen für L semantische und syntaktische Folgerung zusammen. Entsprechend dem Gesagten besagt daher etwa Gödels 1. Unvollständigkeitssatz, dass jedes ausreichend ausdrucksstarke formale System entweder widersprüchlich ist oder dass A B => A B nicht gilt.

Zitat:

Dreiwertigkeit benötige ich, weil ich unbedingt mit "unbestimmt" zum Zeitpunkt 0 starten will, wie ich finde ein plausibler Ausgangspunkt.

Wenn das der einzige Grund ist, dann dürfte es möglich sein, Zweiwertigkeit beizubehalten, wenn man sich über unbestimmte wffs gewissermaßen einfach ausschweigt. An dieser Stelle muss ich allerdings etwas ausholen: Man kann deine Zeitpunkte als mögliche Welten im modallogischen Sinne betrachten. Zwischen diesen möglichen Welten besteht außerdem eine Zugänglichkeitsrelation, nämlich deine Konstanzrelation, die den Wahrheitswert wahrer oder falscher wffs in weitere mögliche Welten vererbt. Diese Zugänglichkeitsrelaton ist nicht symmetrisch, aber transitiv und reflexiv, wie man leicht nachprüfen kann.

Üblicherweise sind mögliche Welten maximale, konsistente Mengen von wffs, d.h. für jede beliebige möglichen Welt w (oder in deinem Falle tn) und jede wff A gilt, dass entweder A oder '~A' Element von tn ist. Gibt man die Bedingung der Maximalität auf, kann man mögliche Welten derart als Mengen von wffs definieren, dass die wffs, die eine mögliche Welt tn enthält, gerade die wffs sind, die in tn wahr sind. D.h. man kann definieren:

V<A, tn> = 1 gdw. A tn

Wie aber kann man ausdrücken, dass eine wff A in einer Welt tn falsch ist? Ganz einfach: da das Bivalenzprinzip aufrecht erhalten wird, gilt, dass eine wff A falsch ist genau dann, wenn ihre Negation wahr ist. Will man also ausdrücken, dass A in tn falsch ist, fügt man '~A' der Welt tn hinzu. Man definiert also:

V<A, tn> = 0 gdw. '~A' tn

Was ist nun zuletzt mit den unbestimmten wffs? Dies sind gerade diejenige wffs, sodass weder sie selbst noch ihre Negation Element der fraglichen Welt tn sind. Man könnte daher auf die Idee kommen, zu definieren:

V<A, tn> = u gdw. weder A tn noch '~A' tn

Diese Definition sollte man allerdings nicht vornehmen, denn dann würde man wieder einen dritten Wahrheitswert einführen. Stattdessen müsste man die Bewertungsfunktion V einschränken, nämlich derart, dass sie für eine Welt tn nur solche wffs A bewerten kann, sodass für alle atomaren Subformeln B von A gilt, dass entweder B oder '~B' Element von tn ist. Da unbestimmte wffs niemals Elemente von möglichen Welten sind, wäre die Bewertungsfunktion daher überhaupt nicht auf unbestimmte wffs anwendbar. Anwendbar ist sie nur auf wffs, die Element einer Welt tn sind und diese wffs sind allesamt wahr. In diesem Sinne wird hier von einem dritten Wahrheitswert überhaupt kein Gebrauch gemacht, obwohl der Ansatz, wie ich meine, dem deinigen ausreichend ähnlich ist.

Abschließend muss man sagen, dass die o.g. Überlegung ziemlich ad hoc ist und mit Sicherheit ihrerseits große Tücken birgt, aber meines Erachtens nach sollte man Zweiwertigkeit nicht leichtfertig aufgeben.

Edit: Zur Veranschaulichung meines Vorschlages ein kleines Beispiel. Gegeben sei eine mögliche Welt ti = {p, ~q}. Was kann man über ti aussagen? Folgendes:

V<p, ti> = 1
V<~p, ti> = 0
V<q, ti> = 0
V<~q, ti> = 1

Außerdem lässt sich u.a. folgendes feststellen:

V<p v ~p, ti> = 1; denn in ti gilt die klassische Logik und außerdem erfüllt die wff „p v ~p“ die Bedingung, dass für jede atomare wff A von „p v ~p“ (in diesem Falle „p“) gilt, dass entweder A oder '~A' Element ti ist. Diese zweite Bedingung möchte ich „Existenzbedingung“ nennen.

V<p & q, ti> = 0; denn die Existenzbedingung ist erfüllt und „q“ ist falsch und damit die Konjunktion „p & q“.

Was aber ist der Wahrheitswert von „p v r“ in ti? Darüber lässt sich nichts sagen, denn diese wff erfüllt die Existenzbedingung nicht, da weder „r“ noch „~r“ Element von ti ist. Das ist allerdings unschön, denn da „p“ in ti wahr ist, sollte jede Disjunktion, deren eines Disjunkt „p“ ist, in ti wahr sein. Ebenso wäre auch „r v ~r“ sinnlos, da sie ebenfalls die Existenzbedingung nicht erfüllt. Wenn in ti die klassische Logik gilt, dann sollte aber auch diese wff wahr sein. Wie lässt sich dieses Problem lösen?

(Unter „Edit 2“ weiter unten findet sich ein einfacherer Ansatz.)

Die Lösung ist, die wffs, die Element einer möglichen Welt tn sind, als Gegenstände aufzufassen und das, was in wffs normalerweise die atomaren wffs sind, als Namen dieser Gegenstände oder als Variablen, deren Werte diese Gegenstände sind, zu definieren. So sind denn denn wffs Kompositionen dieser Namen und/oder Variablen. Formal sieht das so aus: Wir führen zunächst Satzvariablen „P“, „Q“, „R“ usw. sowie Satzkonstanten „Pk“, „Qk“, „Rk“ usw. ein und definieren rekursiv:

„P“, „Q“, „R“ usw. und „Pk“, „Qk“, „Rk“ usw. sind atomare wffs.
Ist A eine wff, dann auch '~A'.
Sind A und B wffs, dann auch 'A & B'.
Nichts sonst ist eine wff.

(Dass auch „P v Q“, „P -> R“ usw. wffs sind, folgt dann mit den üblichen Definitionen, die ich hier weglasse.)

Betrachten wir jetzt wieder die mögliche Welt ti = {p, ~q}. p und q sind hier Gegenstände. Diesen Gegenständen werden zunächst mit einer Bewertungsfunktion V Satzkonstanten (also Namen) zugeordnet:

V(Pk) = p
V(Qk) =q

Aus diesen Namen basteln wir nun wffs. So gilt für wi, dass die wffs „Pk“ und „~Qk“ wahr sind. So kann man wieder feststellen:

V<Pk, ti> = 1
V<~Pk, ti> = 0
V<Qk, ti> = 0
V<~Qk, ti> = 1

Wie sieht es nun aus etwa mit „Rk v ~Rk“? Diese wff ist sinnlos, denn „Rk“ ist eine Konstante und als solche muss sie interpretiert werden. Sie ist aber nicht interpretiert (es wurden oben nur „Pk“ und „Qk“ interpretiert). Statt der Konstanten „Rk“ kann man jedoch die Variable „R“ nehmen und fragen, was mit „R v ~R“ ist (in der Tat sind ja auch in der klassischen Aussagenlogik „p“, „q“, „r“ usw. Satzvariablen, sodass die „p“ in „p v ~p“ Variablen sind, weshalb „p v ~p“ äquivalent ist mit „R v ~R“). Diese wff ist wahr. Dass eine wff A wahr ist nämlich bedeutet nichts anderes, als dass sie für alle Belegungen ihrer Variablen wahr ist. Ist der Wert von „R“ p, dann haben wir gewissermaßen „p v ~p“ und das ist wahr. Ist der Wert von „R“ ~q, dann haben wir gewissermaßen „~q v ~~q“ und das ist auch wahr. Mehr Belegungen für „R v ~R“ gibt es nicht. Damit machen alle Variablenbelegungen diese wff wahr und damit ist sie wahr.

Ungünstig ist natürlich, dass man hier alles doppelt macht. Wie in dem Beispiel muss man erst von „R v ~R“ zu „p v ~p“ und „~q v ~~q“ und den Wahrheitswert dieser Formeln bestimmen, um dann den Wahrheitswert von „R v ~R“ bestimmen zu können. Das geht sicher auch eleganter, das Ganze soll aber auch nur als erster ad-hoc-Lösungsansatz gelten.

Edit 2: Mir ist gerade eine viel einfachere Lösung eingefallen: wenn man etwa für die Welt ti = {p, ~q} wissen möchte, welchen Wahrheitswert „p v r“ hat, bewertet man „r“ einmal mit w und einmal mit f. Wird „p v r“ in beiden Fällen wahr, ist „p v r“ wahr und damit Element von ti. Wird „p v r“ in beiden Fällen falsch, ist „p v r“ falsch und damit ist „~(p v r)“ Element von ti. Wird „p v r“ mal wahr, mal falsch, dann ist „p v r“ kontingent (unbestimmt) und damit ist weder „p v r“ noch „~(p v r)“ Element von ti. Dieses Verfahren hat aber zufolge, dass jede mögliche Welt, auch t0, alle logischen Wahrheiten enthält und dass dieses In-jeder-möglichen-Welt-nur-eine-zusätzlich-Bewertung-Prinzip zunächst einmal aufgehoben ist (obwohl sich das vermutlich retten lässt*). Ich weiß aber nicht, ob das ein so großer Nachteil ist, wenn die Alternative lautet, dass etwa in ti „p v r“ sinnlos ist, obwohl es eigentlich ganz offensichtlich wahr sein sollte, da ja „p“ wahr ist, sowie dass die Substitutionsregel eingeschränkt werden muss, damit von dem in ti wahren „p v ~p“ nicht auf das in ti sinnlose „r v ~r“ geschlossen werden kann.

*Das würde dann wohl so aussehen, dass alle Zeitpunkte tn alle logischen Wahrheiten enthalten. t0 enthielte allerdings darüber hinaus keine atomaren wffs. t1 enthielte neben den logischen Wahrheiten maximal eine atomare wff (oder die Negation einer solchen) sowie alle wffs, die daraus folgen. t2 enthielte neben allen logischen Wahrheiten maximal zwei atomare wffs (oder die Negation einer solchen) (wobei eine der beiden diejenige ist, die t1 enthält) sowie alle wffs, die aus den beiden wffs folgen usw.

Hallo SoSo,

danke für die Anregungen!
Das mit der semantischen Implikation muss ich aber erst noch besser verstehen,
immerhin liegt mein Studium schon 20 Jahre zurück ...

Von welchen "Modellen" ist da die Rede?

Gruß
Trestone

Hi.

Ein Modell einer Formelmenge F etwa in der Aussagenlogik ist eine Variablenbelegung, die alle Formeln von F wahr macht. Sei F = {p, p v ~q, q -> q}, dann ist folgendes ein Modell von F:

V(p) = 1 und V(q) = 1

Aber auch folgendes ist ein Modell von F:

V(p) = 1 und V(q) = 0

Folgendes hingegen ist kein Modell von F:

V(p) = 0, V(q) = 1

Da „A B“ besagt, dass jedes Modell von A ein Modell von B ist, ist es daher nichts anderes als die technische Ausgabe von „wann immer A wahr ist, ist auch B wahr“. Dass, wann immer A wahr ist, auch B wahr ist, bedeutet seinerseits nichts anderes, als dass B aus A logisch folgt (denn ein Schluss ist gültig genau dann, wenn, wann immer die Prämissen wahr sind, auch die Konklusion wahr ist).

Hallo Soso,

danke für die Erläuterungen zum Modell.

Trotzdem fühle ich mich in meinen Begrifflichkeiten wohler.

Hier habe ich mir inzwischen Gedanken zur Gleichheit gemacht:

Für die Wahrheitswerte w, u, -w nehme ich dabei folgendes an:

W(w=w,1)=w; W(w=u,1)=-w; W(w=-w,1)=-w
W(u=w,1)=-w; W(u=u,1)=u; W(u=-w,1)=-w
W(-w=w,1)=-w; W(-w=u,1)=-w; W(-w=-w,1)=w

insbesonder ist W(u=u,1) = u (und nicht etwa w).

Gruß
Trestone

Hi.

Wie definierst du denn nun die semantische Folgerung (oder wie auch immer das in deiner Terminologie heißt)?

Zu deiner neuen Gleichheit (Äquivalenz):

Ich habe in folgender Wahrheitstafel deine alte Äquivalenz neben deine neue gestellt, um die Unterschiede deutlich zu machen (in den fetten Zeilen stimmen sie nicht überein). Die alte Äquivalenz symbolisiere ich mit „<->“, die neue mit „<-->“:

A, B, A <-> B, A <--> B
w, w, w, w
w, u, u, f
w, f, f, f
u, w, u, f
u, u, u, u
u, f, u, f
f, w, f, f
f, u, u, f
f, f, w, w

Deine neue Äquivalenz wirkt auf mich, im Gegensatz zur alten, zunächst einmal recht ad-hoc. Die Wahrheitstafel für „<->“ ergibt sich einfach aus den Wahrheitstafeln für Implikation und Konjunktion; für die neue gilt das nicht. Könntest du daher mal die neue Äquivalenz für die fettgedruckten Zeilen motivieren? Warum ist etwa „p <--> q“ falsch, wenn „p“ wahr und „q“ unbestimmt ist? Die Intuition – zumindest meine – sagt doch, dass, wenn in einer Äquivalenz mindestens einer der beiden Teilsätze unbestimmt ist, die gesamte Äquivalenz unbestimmt ist.

Hallo,

inzwischen habe ich die Gleichheit noch einmal näher betrachtet
und meinen Ansatz verändert
(die Wertangaben in meinem letzten Beitrag sind damit aufgehoben):

Der Schlüssel scheint mir die Betrachtung von „W(A,t) = w“ zu sein,
d.h. die Behauptung, dass eine Aussage A in Stufe t den Wert w annimmt.
Dies ist selbst eine Aussage, aber eben eine (Meta-)Aussage über den Wahrheitswert einer (anderen) Aussage.
Und diese Aussage ist eigentlich selbst nicht stufenabhängig und wohl auch entweder wahr oder falsch und nie unbestimmt.
(Dies trifft auch für „W(A,t) = -w“ und „W(A,t) = u“ zu.)

Daher will ich neben den dreiwertigen Stufenaussagen noch klassisch zweiwertige Metaaussagen zulassen,
die Aussagen über Werte von Stufenaussagen treffen,
also eine Teilaussage der Art „W(A,t) =…“ enthalten.
Dabei ist das Gleichheitszeichen entscheidend, denn ohne es ist der Wahrheitswert
sozusagen noch nicht gemessen und möglicherweise unbestimmt
(Analogie zur Dekohärenz in der Quantentheorie, Metaaussagen sind Aussagen über gemessene (fixierter) Werte.)

Die Gleichheit von (chronologischen) Aussagen erkennt man jetzt als Metaaussage:

W(A=B) = w :<-> Für alle t: W(A,t) = W(B,t) wenn A, B Stufenaussagen sind
W(A) = W(B) wenn A,B Metaaussagen sind
(wenn A Metaaussage ist, dann auch ist auch "W(A)=…" eine Metaaussage).

Auch in der Mengenlehre kann man zwei Arten von Mengen unterscheiden:

Stufenmengen S, für die W(x e S, t) die Werte w, u, -w annehmen kann.

Und Metamengen, wie z.B. W(x e M, t+1) = w :<-> x = a
(Einermenge mit Element a).
x = a bedeutet dabei: Für alle d, für alle z: W(z e x , d) = W(z e a, d)
In der Definitionsaussage von Metamengen M taucht „W(x e S, t) = …“ auf,
wieder ein „fixierter“ Wert und daher hat eine Metamenge keinen echten Stufenbezug
und keine unbestimmten Elemente.

Auch Teilmengen lassen sich nur unter Bezug auf „W(x e S, t) = …“ definieren,
daher ist die Potenzmenge als Menge aller Teilmengen (z.B. zu Stufe t+1)
selbst eine Metamenge.

Interessanterweise haben wir mit der Einermenge und der Potenzmenge
gerade die Mengen als Sondermengen erkannt,
die beim Ausbau der Mengenlehre am problematischsten erschienen:
Die Einermenge als Grundlage der natürlichen Zahlen (was klassisch zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz führt)
und die Potenzmenge als Schlüssel zu überabzählbaren Unendlichkeiten
(über den Cantorschen Diagonalbeweis).

So besteht die Hoffnung, dass dies beides in unserem System vermieden werden kann,
allerdings ist erst noch zu untersuchen, ob damit überhaupt eine Arithmetik möglich ist.

@SoSo: Mit der Implikation habe ich mich noch nicht näher befasst,
da der Metaaussagenansatz für mich z.Zt. spannenender ist.
Aber aufgeschoben ist nicht aufgehoben ...

Gruß
Trestone

Hallo,

neben den gestern angedeuteten Parallelen zur Quantentheorie
kann man die Stufen-Meta-Logik auch philosophisch einordnen:

„In Stufe 0 sind alle Stufenaussagen unbestimmt“ entspricht dem Descarteschen Zweifel als Ausgangspunkt.
„W(W(A,0)=u) = w“ , also es ist wahr, dass in Stufe 0 alles ungewiss ist,
entspricht dem „ich weiß, dass ich nichts weiß“ von Sokrates.

Ich vermute, dass in der Meta-Stufen-Logik letztlich alle Gewissheiten
auf der Ungewissheit der Stufe 0 gründen, die damit das Fundament bildet.

Dazu sind die Wahrheitswerte der Stufen 1,2,… geeignet (rekursiv?) zu definieren.

Wie sieht es nun mit dem berühmten Lügnersatz L „Dieser Satz L ist nicht wahr“
in der Meta-Stufen-Logik aus?

1.Fall: L ist eine Stufenaussage mit W(L,t).
Dann bedeutet „L ist nicht wahr“: W(L,t) ist ungleich w (also gleich –w oder gleich u).
Damit enthält L aber eine Aussage über den Wahrheitswert einer Stufenaussage
und L ist damit eine Metaaussage, also eindeutig w oder –w.

2.Fall: L ist Metaaussage. Dann muss L eine Aussage über den Wert einer Stufenaussage enthalten.
Der einzige Wert, über den L etwas aussagt ist der von L selbst, also muss L eine Stufenaussage sein.

In beiden Fällen muss L also zugleich Metaaussage und Stufenaussage sein.
Da die einen nur stufenabhängige Wahrheitswerte haben
und die anderen nur einen stufenunabhängigen Wert scheint das kaum möglich zu sein.
Der Lügneraussage fehlt also die Fundierung.

Man kann Metaaussagen M auf Stufe 0 mit Wert u erweitern
und auf W(M,t):=W(M) für t=1,2,… und Stufenaussagen S ihren Grenzwert
W(S):= Lim t->… W(S,t) als Metawert zuordnen.

Für den Lügnersatz bedeutet dies:
W(L)= W( W(L,t)=u v W(L,t)=-w ) , für t=0: W(L)= W( u=u v u=-w ) = w
Damit W(L,1)=w . Der Lügnersatz wäre also wahr.

Es ist aber auch ein t-Lügnersatz möglich:
„Dieser Satz T ist für alle t nicht wahr“
W(T)= W( für alle t: W(T,t) = u v W(T,t)=-w)
1.Fall Für alle t : W(T,t)=u. Dann W(T)=w und damit W(T,1)=w, Widerspruch!
2.Fall Es gibt t0 mit W(T,t0)=w. Dann W(T)=-w und W(T,t0)=-w, Widerspruch!
3.Fall Es gibt t0 mit W(T,t0)=-w. Dann W(T)=-w und es gibt t1 mit W(T,t1)=w, Widerspruch!
Der t-Lügnersatz ist also keine Meta-Stufen-Aussage mit Wahrheitswert.

Gruß
Trestone

@Trestone

Hi.

Dein neuer Ansatz besteht darin, Objekt- und Metasprache auseinanderzuhalten, was äußerst nützlich ist und dem üblichen Vorgehen in der mathematischen Logik entspricht. Andererseits habe ich den Eindruck, dass du beide Sprachen dann doch wieder vermischst. So stellst du zunächst fest, dass „W<A, t> = w“ eine Aussage ÜBER eine Aussage und damit eine Metaaussage ist, schreibst dann aber:

Zitat:

Daher will ich neben den dreiwertigen Stufenaussagen noch klassisch zweiwertige Metaaussagen zulassen, die Aussagen über Werte von Stufenaussagen treffen, also eine Teilaussage der Art „W(A,t) =…“ enthalten.

Das klingt so, als wolltest du für dein System zwei verschiedene Arten von Aussagen – Stufenaussagen (entsprechen objektsprachlichen Aussagen) sowie Metaaussagen (entsprechen metasprachlichen Aussagen) – annehmen, für die jeweils eigene Regeln gelten. Das ist viel zu umständlich. Viel einfacher ist es, Objekt- und Metasprache sauber und konsequent zu trennen. So hättest du auf der einen Seite deine Objektsprache, welche ausschließlich Stufenaussagen enthält. Diese objektsprachlichen Aussagen können dabei einen von drei Wahrheitswerten annehmen. Auf der anderen Seite hättest du deine Metasprache. Diese enthält Aussagen, die ÜBER die objektsprachlichen Aussagen reden und etwa sagen, welchen Wahrheitswert sie haben. Für die Aussagen der Metasprache gilt, dass sie einen von zwei Wahrheitswerten annehmen können. (Diese Aussage über Aussagen der Metasprache ist entsprechend eine Aussage, die zur Metametasprache gehört, also einer Sprache, die über die Sätze der Metasprache zu reden erlaubt).

Obzwar die Trennung von Objekt- und Metasprache ein unglaublich nützliches Vorgehen ist, sehe ich nicht den Vorteil, den du zu sehen scheinst. Im Regelfall ist die Metasprache ausdrucksstärker als die Objektsprache und darin liegt ihr Hauptvorteil. Gerade DIESEN Vorteil nutzt du aber nicht. Du formulierst zu deinen objektsprachlichen Sätzen einfach metasprachliche Übersetzungen und schreibst dann, man sollte nicht mehr die objektsprachlichen Sätze untersuchen, sondern ihre Übersetzungen in die Metasprache. So kommst du dazu, zu behaupten „Die Gleichheit von (chronologischen) Aussagen erkennt man jetzt als Metaaussage“. Damit ist aber nichts gewonnen. Wenn zwei Sätze Übersetzungen voneinander sind, dann sind sie bedeutungsgleich. Damit haben sie dieselben Wahrheitsbedingungen, dieselben Sätze folgen aus ihnen und dieselben Sätze folgen aus ihnen nicht. Damit stimmen sie in allen wesentlichen Eigenschaften, die für einen Logiker interessant sein könnten, überein. Entsprechend ist es für den Logiker irrelevant, ob der einen Satz oder seine Übersetzung untersucht. Es ist daher gleich, ob der Logiker den metasprachlichen Satz „W(A=B) = w“ oder seine objektsprachliche Übersetzung „A = B“ untersucht.

Zuletzt präsentierst du eine Analyse der Lügnerantinomie, die darauf hinausläuft, dass der Lügnersatz gleichzeitig objekt- und metasprachlich ist. Das ist EXAKT die Analyse Tarskis – von dem die Unterscheidung von Objekt- und Metasprache übrigens stammt –, nur hat er es in klassischer Logik gemacht. Für DIESE Lösung ist es also überhaupt nicht nötig, drei Wahrheitswerte, Stufen und anderen solchen Kram anzunehmen.

Hallo (insbesondere Soso),

obwohl die Trennung (a la Tarski) zwischen Objektsprache (Stufenaussagen) und Metasprache
(Aussagen über Wahrheitswerte von Stufenaussagen) zunächst nahe lag,
habe ich sie inzwischen wieder verworfen
(wie ja letztlich auch von Soso empfohlen, auch die Identität von "A=B" mit "für alle t: W(A,t)=W(B,t)" habe ich wie vorgeschlagen integriert),
hier mein nächster Ansatz:

Die Metaaussagen sind einfach spezielle Stufenaussagen,
die schon in Stufe 1 entweder w oder –w sind,
d.h. alle von mir betrachteten Aussagen sind Stufenaussagen.

Ist vielleicht etwas verwirrend, aber ich stelle ja keine fertige Logik oder Theorie vor,
sondern entwickele diese „live bzw.online“
(aber auch "offline" mit Papier und Bleistift.)

Dies hat den Vorteil, dass in der Stufen-Chrono-Logik im Prinzip auch selbstbezügliche Aussagen zulässig und möglich sind.

Der Ausdruck M := „W(A,t) = w“ zu einer Stufenaussage A ist selbst eine (meist andere) Stufenaussage,
aber eben nicht zur Stufe t oder t+1 sondern –
wie alle Stufenaussagen – stufenunabhängig und nur mit ggf. unterschiedlichen Werten je Stufe 0,1,2,… .
Für M gilt W(M,0)=u (wie bei allen Stufenaussagen),
zudem gilt für M, dass entweder W(M,1) =w oder W(M,1) =-w
und dieser Wert dann auch für alle t>1.

Gleichheit von Wahrheitswerten:
W(w=w,1):=w ; W((u=u,1):=w ; W(-w,-w,1):=w W(x=y):=-w sonst

Hier können wir jetzt einige Bildungsregeln für chrono-logische Aussagen betrachten:

B1: Ist A (wie zum Start des threads definiert),
so auch –A und es gilt für alle t: W(-A,t) := -W(A,t).
eine chrono-logische Aussage
B2: Sind A und B chronologische Aussagen, so auch „A und B“, „A v B“, „A->B“
und es gilt für alle t: W(A und B):= W(A,t) und W(B,t) (analog mit v),
W(A->B,t):= W(-AvB,t) .

B3: Ist A eine chrono-logische Aussage, dann sind auch „W(A,t)=w“, „W(A,t)=u“, „W(A,t)=-w“ für beliebige t chronologische Aussagen
(die in Stufe 1 ungleich u sind).

B4: Ist A eine chrono-logische Aussage, dann sind auch „Es existiert ein t0>=d mit W(A,t0)=w“,
„Es existiert ein t0>=d mit W(A,t0)=u“, „Es existiert ein t0>= mit W(A,t0)=-w“
chronologische Aussagen (die in Stufe 1 ungleich u sind).

B5: A eine chrono-logische Aussage, dann sind auch „Für alle t>=d gilt: W(A,t)=w“,
„Für alle t>=d gilt: W(A,t)=u“, „Für alle t>=d gilt: W(A,t)=-w“ chrono-logische-Aussagen (die in Stufe 1 ungleich u sind).

B6: Sind A und B chronologische Aussagen, so auch „A = B“
und es gilt „A=B“:= „Für alle t>=0 gilt: W(A,t)=W(B,t) „
W(A=B,0)=u, W(A=B,1) ist entweder w oder –w.

Dass diese Definitionen und Bildungsregeln jeweils zu Aussagen führen, die die chrono-logischen Grundeigenschaften
(Dreiwertigkeit, Wert u in Stufe 0, Monotonie und Widerspruchsfreiheit) erfüllen,
führe ich hier nicht aus, habe es aber überprüft.

Jetzt können wir (erneut) einige chrono-logischen Varianten des Lügnersatzes analysieren:

L1:= Diese Aussage ist in Stufe 1 nicht wahr.

Wir betrachten die Teilaussage „Aussage ist in Stufe 1 nicht wahr“
und beschreiben sie mittels einer fiktiven Aussage L als „W(L,1)=-w“.
Letzteres ist (falls L eine Stufenaussage ist) nach B3 eine chrono-logische Aussage.

1. Fall: Es gilt W(L,1)=w. Dann ist W(W(L,1)=-w,1)=-w
Damit ist W(L1,1) = W(W(L,1)=-w,1) = -w während W(L,1)=w,
also können L und L1 nicht gleich sein, das „Diese“ ist nicht mit chrono-logisch vereinbar.

2. Fall: Es gilt W(L,1)=u. Dann ist W(W(L,1)=-w,1)=-w
Damit ist W(L1,1) = W(W(L,1)=-w,1) = -w während W(L,1)=u,
also können L und L1 nicht gleich sein.

3. 3. Fall: Es gilt W(L,1)=-w. Dann ist W(W(L,1)=-w,1)=w
Damit ist W(L1,1) = W(W(L,1)=-w,1) = w während W(L,1)=-w,
also können L und L1 nicht gleich sein.


L2:= Diese Aussage ist in Stufe 1 nicht wahr oder unbestimmt.

Setze an: „W(L,1)=-w v W(L,1)=u“

1. Fall: Es gilt W(L,1)=w. Dann ist W(W(L,1)=-w v W(L,1)=u ,1)=-w
Damit ist W(L2,1) = W(W(L,1)=-w v W(L,1)=u,1) = -w während W(L,1)=w,
also können L und L2 nicht gleich sein.

2. Fall: Es gilt W(L,1)=u. Dann ist W(W(L,1)=-w v W(L,1)=u ,1)=w
Damit ist W(L2,1) = W(W(L,1)=-w v W(L,1)=u,1) = w während W(L,1)=u,
also können L und L2 nicht gleich sein.

3. Fall: Es gilt W(L,1)=-w. Dann ist W(W(L,1)=-w v W(L,1)=u ,1)=w
Damit ist W(L2,1) = W(W(L,1)=-w v W(L,1)=u,1) = w während W(L,1)=-w,
also können L und L2 nicht gleich sein.

L3:= Diese Aussage ist in allen Stufen nicht wahr oder unbestimmt.

Setze an: „Für alle t gilt: W(L,t)=-w v W(L,t)=u“

1. Fall: Für alle t gilt: W(L,t)=u v W(L,t)=-w
Dann ist W(„Für alle t gilt: W(L,t)=-w v W(L,t)=u,1) = w = W(L3,1),
aber W(L,1)=u v W(L,1)=-w, also L ungleich L3.

2. Fall: Es gibt t0 mit W(L,t0)= w.
Dann ist W(„Für alle t gilt: W(L,t)=-w v W(L,t)=u,1) = -w = W(L3,1),
wegen Monotonie/Widerspruchsfreiheit kann W(L3,t0) nicht w sein, also L ungleich L3.

Versuch A4:= Diese Aussage ist für alle Stufen>=1 wahr.

Setze an: „Für alle t gilt: W(A,t)=w“

1. Fall: W(A,1)=w, dann ist „Für alle t gilt: W(A,t)=w“ wg. Monotonie erfüllt,
d.h. W(Für alle t gilt: W(A,t)=w,1)=w =W(A4,1).
Damit stimmen A und A4 überein (A=A4) und der Selbstbezug ist möglich.

2. Fall: W(A,1)=u, dann ist „Für alle t gilt: W(A,t)=w“ nicht erfüllt,
d.h. W(Für alle t gilt: W(A,t)=w,1)=-w =W(A4,1).
Damit stimmen A und A4 nicht überein und der Selbstbezug ist nicht möglich.

3. Fall W(A,1)=-w, dann ist „Für alle t gilt: W(A,t)=w“ nicht erfüllt,
d.h. W(Für alle t gilt: W(A,t)=w,1)=-w =W(A4,1).
Damit stimmen A und A4 überein (A=A4) und der Selbstbezug ist möglich.

Wie in der klassischen Logik erhalten wir zwei mögliche Lösungen,
d.h. selbstbezügliche Sätze sind weiter möglich,
Wie oben gezeigt können wir aber die Lügnersätze als nicht chrono-logisch identifizieren.

Das lässt doch hoffen!

Gruß
Trestone

Hallo,

zwar ist die Chronologische-Stufen-Aussagenlogik jetzt erst grob umrissen,
aber nun möchte ich auch die Stufen-Mengenlehre einführen,
da sie sehr interessante Möglichkeiten bietet:

Die Grundidee ist natürlich bei Mengen ganz analog zu den Aussagen:

WM1: Stufenmengen M haben zu jedem Zeitpunkt (bzw. jeder Stufe) t zu jeder Stufenmenge x eine Elementbeziehung E(M, x , t).
E(M,x,t) kann jeweils einen der Werte w, -w, u annehmen.

Für E(M,x,t)=w schreiben wir auch „M e(t) x“, x ist „(echtes, volles) Element“ von M zu t
für E(M,x,t)=-w schreiben wir auch „M -e(t) x“, x ist „Nicht-Element“ von M zu t
für E(M,x,t)=u schreiben wir auch „M (e)(t) x“, x ist „unbestimmtes Element“ von M zu t

WM0: Zum Zeitpunkt (bzw. zur Stufe) 0 haben alle Stufenmengen nur unbestimmte Elemente, d.h. für alle M,x gilt: E(M,x,0)=u.

WM2: Keine Menge x kann zu einer Menge M in einer Stufe gehören und in einer (auch nicht anderen) Stufe nicht gehören.
Gilt E(M,x,t)=w so gilt auch E(M,x,t+1)=w
Gilt E(M,x,t)=-w so gilt auch E(M,x,t+1)=-w

Folge: typische Mengen haben x zunächst für einige t als unbestimmtes Element und ab einem t1 dann stets entweder als Element oder als Nicht-Element.

Klassisch werden Mengen (auch) über Eigenschaften bzw. Aussagen zu ihren Elementen definiert.

Ich wähle natürlich chrono-logische-Stufenaussagen A(x) zu den Elementkandidaten x.

Die Elementbewertungsfunktion E(M,x,t) können wir uns auch als „Ableger“ der Stufenaussage „x ist Element von M“ E(M,x) vorstellen,
dann gilt W(E(M,x),t) = E(M,x,t).

1. Möglichkeit: Sei A(x) eine chronologische-Stufenaussage (für jede Stufenmenge x).
Dann definiert
E(M,x,t+1) := W(A(x),t) eine Stufenmenge M,
wobei diese Definition für t=0,1,… nur so lange gilt, bis der erste Wert ungleich u erreicht wird.
(da W(A(x),0)=u gilt x (e)(1) M für alle x und A).

2. Möglichkeit: Sei A(x) eine chronologische-Stufenaussage (für jede Stufenmenge x).
Dann definiert
E(M,x,t+1) := W(W(A(x),t)=u,1) eine Stufenmenge M,
wobei diese Definition für t=0,1,… nur so lange gilt, bis der erste Wert ungleich u erreicht wird.
(da W(A(x),0)=u gilt x e(1) M für alle x und A und damit x e(t+1) M für alle t>=0).

3. Allgemein:
Sei A(M,x) eine chronologische-Stufenaussage (für jede Stufenmenge x) in der M vorkommen darf
und B(x) eine chronologische-Stufenaussage (für jede Stufenmenge x) in der M (bzw. Eigenschaften bezogen auf M) nicht vorkommt
und seien F und G logische Funktionen

dann definiert

E(M,x,t+1) := F ( W(A(M,x),d ) v G ( W(B(x), r ) (wobei d<=t und r beliebig, das „v“ darf auch durch „und“ ersetzt werden)

(wobei diese Definition für t=0,1,… nur so lange gilt, bis der erste Wert ungleich u erreicht wird)

eine Stufenmenge M.

Gleichheit:
Zwei Stufenmengen M1 und M2 heißen gleich (M1=M2), wenn für alle x und alle t gilt E(M1,x,t) = E(M2,x,t).

Zwei Mengen sind auch gleich, wenn ihre definierenden Aussagen F ... G gleich sind.

Beispiele:

Leere Menge 0:
E(0,x,t+1) := W( W(x=x,0)=w , 1 );
Es gilt E(0,x,1)= W(u=w,1)=-w und damit E(0,x,t+1)=-w für alle t>=0 (und alle x).

Volle Menge All:
E(All,x,t+1) := W( W(x=x,0)=u , 1 );
Es gilt E(All,x,1)= W(u=u,1)=w und damit E(All,x,t+1)=-w für alle t>=0 (und alle x).

Un-Menge U:
E(U,x,t+1) := E(U,x,t);
Es gilt E(U,x,1) = W(U,x,0)=u ; allg. gilt E(U,x,t+1)=u für alle t>=0 (und alle x).

Mit der All-Menge haben wir einen großen unterschied zu klassischen Mengenlehren:
Die Menge aller Mengen ist hier eine Menge!

Wie wir später sehen werden, steht All via Identität in Bijektion zu ihrer Potenzmenge (in Stufe 1), die wieder All selbst ist.
Wenn es uns daher gelingt, in der Stufenmengenlehre eine Arithmetik zu entwickeln,
so brauchen wir uns nicht mit Überabzählbarkeit herumzuärgern.

Eine solche alternative Mathematik (und Logik) ist letztlich das Ziel meiner Bemühungen
(wobei ich eine einfachere Lösung ohne Stufen t bevorzugt hätte…).

Beispiel Russell-Menge R:
Variante 1:
E(R,x,t+1) := W( E(x,x,t)=-w v E(x,x,t)=u, 1 ) (+ Stufenmonotonie)
Es gilt E(R,x,1) = W( E(x,x,0)=-w v E(x,x,0)=u , 1) = W( u=-w v u=u , 1 ) = w (für alle x) damit E(R,x,t+1)=w alle t>=0 (und alle x,
insbesondere für x=R, also R=All.

Variante 2:
E(R,x,t+1) := W( E(x,x,t)=-w, 1 ) (+ Stufenmonotonie)
Es gilt E(R,x,1) = W( E(x,x,0)=-w , 1) = W( u=-w , 1 ) = -w (für alle x)
damit E(R,x,t+1)=-w alle t>=0 (und alle x, insbesondere für x=R, also R=0.

Variante 3:
E(R,x,t+1) := W(Für alle d: E(x,x,d)=-w v E(x,x,d)=u, 1 ) (+ Stufenmonotonie)
Betrachte x=R:
E(R,R,1) = W( Für alle d: E(R,R,d)=-w v E(R,R,d)=u, 1 )
1.Fall: Für alle d gilt E(R,R,d) ist u oder –w. Dann ist E(R,R,1)=w; Widerspruch zu d=1.
2.Fall Es gibt d0 mit E(R,R,d0)=w. Dann E(R,R,1)=-w ; Widerspruch zu Stufenmonotonie.

Aber definiert unsere obige Funktion überhaupt eine Stufenmenge?
E(x,x,d) hat insbesondere für x=R einen Bezug auf R,
ist also wohl nicht mengenbildend.

Welche Aussagen zulässig und stufenmengenbildend sind ist noch präziser auszuführen.


Gruß
Trestone

Hi.

Zitat:

obwohl die Trennung (a la Tarski) zwischen Objektsprache (Stufenaussagen) und Metasprache (Aussagen über Wahrheitswerte von Stufenaussagen) zunächst nahe lag, habe ich sie inzwischen wieder verworfen (wie ja letztlich auch von Soso empfohlen, auch die Identität von "A=B" mit "für alle t: W(A,t)=W(B,t)" habe ich wie vorgeschlagen integriert),

Da hast du mich ziemlich krass missverstanden. Ich habe die Trennung von Objekt- und Metasprache begrüßt und lediglich bemängelt, dass du dir ihre Vorteile nicht zunutze gemacht hast. Warum ich gegen eine semantisch geschlossene Sprache bin, habe ich in meinem ersten Beitrag hier angemerkt:

Zitat:

Warum konstruierst du deine Logik als eine semantisch geschlossene Sprache, d.h. warum treten metasprachliche Aussagen wie „W<p, t2> = w“ in der Objektsprache auf? Damit ist ein Scheitern deines Ansatzes doch schon beinahe vorprogrammiert. Warum nicht erst einmal eine ganz einfache, semantisch nicht geschlossene Aussagenlogik gemäß deinen Überlegungen konstruieren, um zu schauen, ob deine Idee überhaupt funktioniert? Wenn man sich selber ein Auto zusammenbaut, dann sollte man doch als allererstes sicherstellen, dass das Auto überhaupt fahrtüchtig ist, bevor man es mit allerlei Gimmicks ausstattet.

Weiter im Text und zu deinen Bildungsregeln:

Zitat:

B1: Ist A (wie zum Start des threads definiert), so auch –A und es gilt für alle t: W(-A,t) := -W(A,t). eine chrono-logische Aussage

Hier scheint einiges durcheinander gekommen zu sein. Ich nehme an, das soll heißen:

Zitat:

B1: Ist A eine chrono-logische Aussage, so auch –A und es gilt für alle t: W(-A,t) := -W(A,t).

Wenn das eine Bildungsregel für Formeln sein soll, dann hat die mit „und“ angeknüpfte Aussage hier nichts zu suchen. In dieser geht es um Wahrheitsbedingungen, Wahrheitsbedingungen haben aber mit Bildungsregeln nichts zu tun.

Darüber hinaus benutzt du hier Ausdrücke derjenigen Formalsprache, die du gerade konstruierst und über die lediglich bekannt ist, dass wenn A eine chronologische Aussage ist, so auch '-A'. Mit anderen Worten: du willst deinem Leser Chinesisch beibringen und sprichst dabei chinesisch. Man sollte hier sauber trennen zwischen der Sprache, die konstruiert wird und derjenigen Sprache, mit der ÜBER diese Sprache gesprochen wird (man sollte eben einfach die gute, alte Trennung von Objekt- und Metasprache beachten), um Verwirrungen und formale Fehler zu vermeiden. Wenn du mit einer Sprache L ÜBER deine Formalsprache F redest, dann haben Ausdrücke von F in L nichts verloren (außer, sie stehen in Anführungszeichen, um zu verdeutlichen, dass ÜBER sie geredet wird).

Zitat:

B2: Sind A und B chronologische Aussagen, so auch „A und B“, „A v B“, „A->B“ und es gilt für alle t: W(A und B):= W(A,t) und W(B,t) (analog mit v), W(A->B,t):= W(-AvB,t).

Wieder die Sache mit der Angabe der Wahrheitsbedingungen, die in den Bildungsregeln nichts zu suchen hat und der Verwendung objektsprachlicher Ausdrücke in der Metasprache.

Zitat:

B3: Ist A eine chrono-logische Aussage, dann sind auch „W(A,t)=w“, „W(A,t)=u“, „W(A,t)=-w“ für beliebige t chronologische Aussagen (die in Stufe 1 ungleich u sind).

Auch hier verwendest du mit „t“ ein und denselben Ausdruck in Objekt- und Metasprache. Nix gut.

Zitat:

B4: Ist A eine chrono-logische Aussage, dann sind auch „Es existiert ein t0>=d mit W(A,t0)=w“, „Es existiert ein t0>=d mit W(A,t0)=u“, „Es existiert ein t0>= mit W(A,t0)=-w“ chronologische Aussagen (die in Stufe 1 ungleich u sind).

Du schreibst „die in Stufe 1 ungleich u sind“. Bisher ist aber weder klar, was eine Stufe ist, was Stufe 1 ist oder wofür „u“ steht. Außerdem mit „u“ wieder ein Ausdruck, der in Objekt- und Metasprache vorkommt.

Zitat:

B5: [Ist] A eine chrono-logische Aussage, dann sind auch „Für alle t>=d gilt: W(A,t)=w“, „Für alle t>=d gilt: W(A,t)=u“, „Für alle t>=d gilt: W(A,t)=-w“ chrono-logische-Aussagen (die in Stufe 1 ungleich u sind).

Siehe Anmerkung zu B4.

Zitat:

B6: Sind A und B chronologische Aussagen, so auch „A = B“ und es gilt „A=B“:= „Für alle t>=0 gilt: W(A,t)=W(B,t)“ W(A=B,0)=u, W(A=B,1) ist entweder w oder –w.

„w“ und „-w“ sind wieder objektsprachliche Ausdrücke in der Metasprache.

Zu deinen Bildungsregeln insgesamt: Da ich diesen Thread hier verfolgt habe, verstehe ich natürlich, was du mit B1 bis B6 sagen willst. Handwerklich ist das jedoch sehr unsauber und für jemanden, der diesen Thread nicht verfolgt hat, schlicht unverständlich. So vermischst du Semantik und Syntax, indem du in den Bildungsregeln Aussagen über Wahrheitswerte machst; du vermischst Objekt- und Metasprache, indem du Ausdrücke der Objektsprache in der Metasprache verwendest (und meist, noch bevor überhaupt geklärt ist, was diese objektsprachlichen Ausdrücke eigentlich bedeuten) und du benutzt gänzlich undefinierte Begriffe wie „Stufe“.

Weiterhin hast du elementare Angaben vergessen. So fehlt etwa eine Aufzählung der Zeichen, die deine Formalsprache umfasst, d.h. du hast gar kein Alphabet angegeben. Außerdem fehlt eine Angabe der atomaren Formeln deiner Formalsprache. Deine Bildungsregeln beginnen stets mit „wenn A eine Formel ist, dann auch“, aber du gibst in B1 bis B6 kein einziges mal eine Formel an. Die Angabe von Formeln ist aber nötig, damit die rekursiven Definitionen B1 bis B6 einen Anfang haben, sodass man dann rekonstruieren könnte „aha, wenn A und B Formeln sind, dann ist auch 'A & B' eine und da 'p' und 'q' Formeln sind, ist also 'p & q' eine Formel“.

Vielleicht ist es hilfreich, anhand der Aussagenlogik mal durchzuspielen, wie man eine Formalsprache konstruiert. Dabei sind zwei Sprache zu unterscheiden, nämlich die Sprache, die da konstruiert wird – also die Sprache AL – sowie die Sprache, in der die Konstruktion geführt wird. Diese Sprache ist die deutsche Umgangssprache angereichert mit etwas Mengenlehre. Die Sprache AL ist entsprechend die Objektsprache, die deutsche Umganggsprache mit dem Anteil Mengenlehre die Metasprache. Nun zur Konstruktion von AL:

Definition 1: Das Alphabet von AL:

Das Alphabet von AL umfasst die Zeichen „p“, „~“, „&“, „*“, „)“ sowie „(“.

In Definition 1 wird also das Alphabet von AL angegeben, denn wenn man eine Formalsprache konstruiert, benötigt man freilich erst einmal Zeichen, aus denen sich die Formeln zusammensetzen lassen. Zu beachten ist, dass die Anführungszeichen nicht zu AL gehören. Sie sind metasprachliche Zeichen, die um solche Ausdrücke gestellt werden, die der Objektsprache angehören. Dies ist nötig, um klarzustellen, DASS die eingeschlossenen Ausdrücke der Objektsprache angehören und nicht der Metasprache.

Definition 2: Atomare Formeln von AL.

1. „p“ ist eine atomare Formel von AL (im weiteren Verlauf verzichte ich auf „von AL“).
2. Wenn A eine atomare Formel ist, dann auch 'A*'.
3. Nichts sonst ist eine atomare Formel.

Hier wird geklärt, welche Formeln atomare Formeln sind, wobei Teildefinition 2 etwas tricky ist. Teildefinition 1 besagt, dass das Zeichen „p“ des Alphabets von AL eine atomare Formel ist – das ist simpel. In Teildefinition 2 jedoch kommt eine Metavariable sowie ein Satz berüchtigter corner-quotes oder Quine-quotes vor. Als Metavariable benutzt man üblicherweise griechische Kleinbuchstaben. Da es im Zeichensatz dieses Forums jedoch solche nicht gibt, benutze ich stattdessen das „A“ anstelle des kleinen Alpha. Ebenso gibt es keine corner-quotes, weshalb ich stattdessen die einstrichigen Anführungsstriche verwende. (Zu meinem Entsetzen musste ich feststellen, dass sich im Netz einfach kein Text finden lässt, in dem jemand corner-quotes verwendet. Corner-quotes sind im Grunde eckige Klammern, bei denen die untere Hälfte fehlt. „'A*'“ steht also eigentlich für „[A*]“, wobei man sich die jeweils untere Hälfte der Klammern wegdenken muss.)

(a) Zur Verwendung von Metavariablen: In Teildefinition 2 ist „A“ eine Metavariable. Als solche ist sie eine Variable, die als Werte Zeichen von AL annimmt. Statt „wenn A eine atomare Formel ist, dann auch...“ könnte man daher auch schreiben „wenn eines der Zeichen von AL eine atomare Formel ist, dann auch...“. Dabei ist zu beachten, dass „A“ zur Metasprache gehört und nicht zur Objektsprache, denn wie man leicht nachprüfen kann, enthält das Alphabet von AL das Zeichen „A“ nicht.

(b) Zur Verwendung der corner-quotes: Die corner-quotes in Teildefinition 2 zeigen an, dass die zwischen ihnen stehende Zeichenkette aus objektsprachlichen UND metasprachlichen Zeichen besteht (darum stehen sie auch nicht um das einzeln stehende „A“). So ist das „A“ in „A*“ ein metasprachliches, das „*“ ein objektsprachliches Zeichen. Die Vermischung von objekt- und metasprachlichen Zeichen ist hier einfach nötig, um rekursiv definieren zu können, welche Formeln atomar sind.

Mit den Teildefinitionen 1 und 2 ist eine unendliche Anzahl von atomaren Formeln definiert. So besagt Teildefinition 2, dass, wenn A eine atomare Formel ist, so auch 'A*'. Da aus Teildefinition 1 hervorgeht, dass „p“ eine atomare Formel ist, folgt daher, dass auch „p*“ eine ist. Teildefinition 2 lässt sich wiederum auf „p*“ anwenden und es ergibt sich, dass auch „p**“ eine atomare Formel ist. Dieses Spielchen lässt sich unendlich weiterführen.

Die dritte Teildefinition wird gerne vergessen, ist jedoch notwendig, denn sie besagt, dass Definition 2 (also das ganze Ding) vollständig ist, d.h. dass mit Definition 2 ALLE atomaren Formeln definiert sind.

Definition 3: Wohlgeformte Formeln (wffs):

1. Jede atomare Formel ist eine wff.
2. Wenn A und B wffs sind, dann sind auch '~A' und „A & B' wffs.
3. Nichts sonst ist eine wff.

Auch diese Definition ist rekursiv und definiert vollständig alle wffs. So sind in Definition 2 alle atomare Formeln definiert und Definition 3 gibt an, wie wffs aus diesen atomaren Formeln zusammengesetzt sind.

Mit diesen drei Definitionen ist der syntaktische Teil beendet. Es wurde geklärt, welche Zeichen AL umfasst, welche davon atomare Formeln sind bzw. wie sich daraus atomare Formeln bilden lasse und wie sich aus atomaren Formeln komplexe Formeln zusammensetzen. Bis jetzt ist AL jedoch nur eine Anleitung zum Zusammenbauen irgendwelcher sinnloser Zeichenketten, die überhaupt keine Bedeutung haben. Was also fehlt, ist, den wffs von AL Bedeutung zu geben:

Definition 4: AL-Modell (AL-Interpretation):

Ein AL-Modell ist eine Funktion V, die jeder wff von AL ein Element aus {1, 0} zuordnet. Dabei gelten folgende Bedingungen:

1. V('~A') = 1 genau dann, wenn V(A) = 0.
2. V('A & B') = 1 genau dann, wenn sowohl V(A) = 1 und V(B) = 1.

Was hier geschieht, ist zunächst ziemlich unklar: es wird lediglich klar, dass die Funktion V den wffs Elemente aus {1, 0} zuordnet.

Was man jetzt macht, was aber nicht mehr zu Konstruktion von AL gehört, ist, Übersetzungsregeln anzugeben, welche gewissermaßen das Bindeglied von AL mit der Umgangssprache darstellen. So sollen atomare Formeln für Sätze stehen, das „~“ stehe für die Satznegation „es ist nicht der Fall, dass“, das „&“ stehe für „und“ und 1 und 0 seien die Wahrheitswerte des Wahren und des Falschen. So lassen sich nun Sätze der Umgangssprache in Sätze von AL übersetzen, sodass man diese AL-Sätze etwa auf ihre logischen Eigenschaften wie Erfüllbarkeit, Allgemeingültigkeit oder Widersprüchlichkeit prüfen kann, um dann Rückschlüsse auf die ursprünglichen Sätze der Umgangsprache zu ziehen (z.B. lässt sich „es regnet und es regnet nicht“ übersetzen als „p & ~p“ und da „p & ~p“ widersprüchlich ist, darauf schließen, dass auch „es regnet und es regnet nicht“ widersprüchlich ist).

Prinzipiell ist AL jetzt fertig, aber es ist freilich sehr anwenderunfreundlich, weshalb man einige Zusatzdefinition aufstellt:

Zusatzdefinition 1:

Eine atomare Formel kann mit „q“, „r“ oder „s“ abgekürzt werden.

Zusatzdefinition 2:

Seien A und B wffs.
1. '~(~A & ~B)' kann durch '(A v B)' abgekürzt werden.
2. '~(A & ~B)' kann durch '(A -> B)' abgekürzt werden.
3. '((A -> B) & (B -> A))' kann durch '(A <-> B)' abgekürzt werden.
4. '((A v B) & ~(A & B))' kann durch '(A xor B)' abgekürzt werden.

Klammerkonvention:

Außenklammern dürfen weggelassen werden.

Mit den Definition 1 bis 4 sowie den beiden Zusatzdefinitionen und der Klammerkonvention hat man schließlich AL, so wie es jeder kennt. Was man jetzt noch machen kann, ist etwa, ein semantisches Entscheidungsverfahren zu konstruieren, welches erlaubt, wffs schnell darauf zu prüfen, ob sie widersprüchlich, erfüllbar oder allgemeingültig sind, ohne, dass man ein Modell konstruieren müsste. Auch könnte man Kalküle basteln, etwa einen axiomatischen Kalkül wie in den Principia Mathematica oder einen Regelkalkül wie den Kalkül des natürlichen Schließens. Gerade ein Regelkalkül für AL ist nützlich, wenn man mit AL Schlüsse untersuchen will (und nicht bloß Sätze). Will man aber Schlüsse untersuchen, muss man freilich auch definieren, was es eigentlich heißt, dass ein Satz aus einem anderen (oder anderen Sätzen) folgt, man muss also eine Folgerungsrelation definieren.

Soweit will ich es erst einmal belassen, denn solange die Syntax nicht steht, macht es wenig Sinn, Semantik zu machen (deine L-Regeln). In diesem Sinne möchte ich dich bitten, die Syntax deiner Sprache (was also hier den Definitionen 1 bis 3 sowie den Zusatzdefinitionen und der Klammerkonvention entspricht) klar dazulegen. Sprich: ich möchte wissen, welche Zeichen deine Sprache enthält, welche davon atomare Formeln sind bzw. wie man solche daraus bildet und wie sich komplexe Formeln aus atomaren zusammensetzen.

Hi.

Kurzer Nachtrag:

Ich schrieb in der Erläuterung zu Definition 2, Teildefinition 2:

Zitat:

(a) Zur Verwendung von Metavariablen: In Teildefinition 2 ist „A“ eine Metavariable. Als solche ist sie eine Variable, die als Werte Zeichen von AL annimmt. Statt „wenn A eine atomare Formel ist, dann auch...“ könnte man daher auch schreiben „wenn eines der Zeichen von AL eine atomare Formel ist, dann auch...“. Dabei ist zu beachten, dass „A“ zur Metasprache gehört und nicht zur Objektsprache, denn wie man leicht nachprüfen kann, enthält das Alphabet von AL das Zeichen „A“ nicht.

Die Werte, welche „A“ annehmen kann, sind nicht nur einzelne Zeichen des Alphabets von AL, sondern auch Zusammensetzungen dieser Zeichen.