Chrono-Logik: Ein erster Versuch

Hallo Soso,

dass ich auf der obersten Metaebene die Umgangssprache und Alltagslogik verwende, ist wohl kaum zu vermeiden.
Aber dass ich innerhalb meiner Logik nur eine Art von Aussagen benutze,
ist denke ich schöner und einfacher.

Danke für Deine Vorlage zum systematischen Aufbau einer Theorie.
Leider erlaube ich mir als Amateur den Luxus, formal unvollständig und unsystematisch zu sein,
ja insgesamt ist mir das Ganze schon viel zu formal und formelbehaftet geraten.

Vielleicht findet sich ja jemand, der diese Arbeit (z.B. als Diplomarbeit oder Dissertation) übernimmt?

Wenn mich meine Intuition nicht täuscht,
kann man mit einer auf der chrono-logischen-Stufenlehre basierenden Mathematik wohl fast alle über Widerspruchsbeweis gezeigten Schlüsse aufheben,
also z.B. Irrationalität von Wurzel 2, Überabzählbarkeit der Potenzmenge der natürlichen Zahlen, Gödels Unvollständigkeitssatz, ... .

Denn meist wird der Widerspruch in einer anderen Stufe konstruiert
oder die konstruierten Hilfsmengen sind gar keine Stufenmengen.

Wofür "t" in meiner Theorie steht (Stufe oder Zeit oder logische Ebene) weiß ich übrigens selbst nicht.

V.a. was wir uns unter Stufe 0 vorstellen sollen, bei der alles "unbestimmt" ist, bleibt schwierig.
Ideen dazu: Urknall, Bewußtseinsstart, ...

Das schöne ist, dass Theorien auch ohne vollständige Deutung benutzt und entwickelt werden können.


Gruß
Trestone

Hi.

Ein Beitrag in eigener Sache:

Dass es dir nicht darum geht, einen Formalismus zu konstruieren, hast du ja schon einige male betont und das nicht nur in diesem Thread und insbesondere in deinem letzten Beitrag, sondern auch in deinen anderen Logik-Threads, in denen du ja prinzipiell dieselben Intuitionen wie hier präsentierst, der ganzen Sache jedoch andere Namen gibst („Stufenlogik“, „virtuelle Logik“, „teildynamische Logik“ usw.).

Wie ich aber – wenn ich mich recht entsinne – auch schon in einem dieser anderen Threads angemerkt habe, fällt es mir schwer, nachzuvollziehen, was du eigentlich erreichen willst. Deinen Beiträgen nach zu urteilen willst du Probleme wie das der Russellmenge, dem Gödelsatz, dem Lügnersatz usw. lösen. Diese Probleme sind jedoch ausgewiesene FORMALE Probleme; sie sind Probleme bestimmter FORMALSPRACHEN; sie sind nicht Probleme AN SICH, sondern Probleme VON. Würde etwa die Russellmenge die fregesche Mengenlehre nicht trivial machen, würde sich niemand für sie interessieren. Die Russellmenge ist überhaupt nur darum ein Problem, weil sie in der fregenschen Mengenlehre auftritt. Ebenso ist der Gödelsatz nur darum ein Problem, weil er in einer bestimmten Formalisierung der Mathematik vorkommt.

Zu behaupten, man hätte eine Lösung für die Paradoxie der Russellmenge, kann daher nur heißen, dass man eine Mengenlehre konstruiert hat, die das kann, was die fregesche können soll und dabei die Paradoxie der Russellmenge nicht enthält. Gleichsam kann die Behauptung, man habe die Paradoxie des Gödelsatzes gelöst, nur heißen, dass man eine formale Theorie der Mathematik konstruiert hat, in welcher jedoch der Gödelsatz nicht herleitbar ist.

Nun behauptest du, dass du eine Idee zur Lösung von Russellmenge, Gödelsatz usw. hättest. Versteht man diese Behauptung jedoch so, als wolltest du sagen, du hättest etwa eine Idee für eine Mengenlehre, die das kann, was die fregesche können soll, aber in der sich die Russellmenge nicht bilden lässt, entgegnest du, dass es dir gar nicht um den Formalismus geht. Darauf kann ich mir keinen Reim bilden. Du behauptest, du hättest die Idee zur Lösung dieses oder jenes formalen Problems, distanzierst dich aber von jeglichem Formalismus. Das wirkt zumindest auf mich so, als würde jemand behaupten, er hätte eine Idee, wie man eine Maschine mit 30 Zahnrädern so verbessern kann, dass sie nur noch 20 Zahnräder benötigt, um Antwort gefragt jedoch antwortet, er interessiere sich nicht für Mechanik und Zahnräder.

Worauf also willst du hinaus, wenn du zwar behauptest, du hättest Lösungsideen für formale Probleme, jedoch von Formalismen die Finger lassen willst? Geht es dir bloß darum, eine Intuition zu präsentieren und zu hoffen, dass jemand, der mehr Ahnung von formalen Theorien hat, diese Intuitionen in solchen umsetzt? Wenn das der Fall ist, was soll dann diese formale Aufmachung? Was sollen die Formelbildungsregeln, die Bewertungsfunktionen und die Versuche formaler Beweise? Wenn es dir nicht um Formeln geht, dann erscheint es mir seltsam, Formeln aufzustellen und zu bewerten und noch seltsamer erscheint es mir, formale Beweise mit diesem Formalismus zu führen, um den es eigentlich gar nicht gehen soll. Ich habe einfach den Eindruck, dass das, was du willst und das, was du tust um es zu erreichen, nicht zusammenpassen. Ich als Leser habe da natürlich die Wahl, wie ich deine Beiträge verstehen will und entscheide mich aufgrund der Formellastigkeit deiner Beiträge dafür, die Diskussionen zu deinen diversen Logiken als Arbeit am Formalismus zu verstehen und konzentriere mich entsprechend auf deine Erläuterungen zum selbigen. Dies mag der Grund sein, warum du dich von mir womöglich etwas missverstanden fühlst, doch wüsste ich nicht, worüber man sich hier sonst unterhalten sollte. Sollte man sich auf deine Intuition konzentrieren, Logiken als Stufenlogiken anzulegen und sich fragen, ob sich das formal umsetzen lässt? Fragte man nach der formalen Umsetzbarkeit, müsste man wiederum am Formalismus arbeiten. So oder so, man landet immer wieder beim Formalismus und das liegt eben, wie eingangs angemerkt, einfach an der Natur der Probleme, die du zu lösen gedenkst: es sind Probleme von Formalsprachen und Probleme von Formalsprachen löst man, indem man an diesen Formalsprachen arbeitet.

Hallo Soso,

Du hast meine Problematik ganz gut dargestellt:

Ich glaube, intuitive Lösungen zu formalen Problemen zu haben,
die aber nur überprüfbar sind, wenn man sie formal entwickelt.

Daher mache ich immer wieder (etwas widerwillig und halbherzig) den Versuch, das Ganze auch formal korrekt darzustellen.

Am liebsten wäre mir wirklich, wenn das jemand anderer übernehmen würde...

Und bevor ich mich zu weit mit den Formalismen einlasse,
versuche ich auszuloten, ob meine Intuitionen überhaupt tragen.

Bei der (ursprünglichen) Stufenlogik stieß ich so auf das Problem von Aussagen über alle Stufen, die sich nicht gut einfangen ließen.

Hier bin ich bei der Chrono-Stufen-Logik nun einen Schritt weiter.

Das Ergebnis (d.h ein formal nachvollziehbares korrektes Resultat) ist mir nicht wichtiger als der Weg,
nämlich das immer wieder lustvolle Anrennen (mit zugegebenermaßen kaum neuen) Ideen.

Gruß
Trestone

Hallo,

Nun schaffen wir die (ziemlich formalen) Voraussetzungen für natürliche Zahlen und Arithmetik:

Dazu benötigen wir eine Nachfolgerfunktion, die jeder Menge m ihren Nachfolger m´ zuordnet (in Stufe t).

Sei m eine chrono-logische Stufenmenge.

Definiere m´ über: Für alle x, für alle t gilt: E(m´,x,t+1) := E(m,x,t) v W(x=m,1)

m´ heißt Nachfolger von m in Stufe 1.

Erfüllt diese Nachfolgerbildung die Peano-Axiome?

Zitiert nach wikipedia:
1. 0 ist eine natürliche Zahl.
2. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
3. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
4. Jede natürliche Zahl ist Nachfolger höchstens einer natürlichen Zahl.
5. Von allen Mengen X, welche
o die Zahl 0 und
o mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger n'
enthalten, ist die Menge der natürlichen Zahlen die kleinste.
Ende Zitat wikipedia.

Wir betrachten 2.: Ist unsere Nachfolgermenge eindeutig?
Da Stufen-Mengen M über die Elementfunktion E(M,x,t) festgelegt sind, ist dies für m´ erfüllt.

Zu 3.: E(m´,m,t+1) = E(m,m,t) v W(m=m,1) = w
m´enthält also in allen Stufen >=1 mindestens m als Element und ist damit ungleich 0.

Zu 4.: Sei m´= n´
Dann gilt für alle x, für alle t: ( E(m´,x,t+1) := E(m,x,t) v W(x=m,1) ) <-> ( E(n´,x,t+1) := E(n,x,t) v W(x=n,1) ),
also für alle t, für alle x: E(m,x,t) v W(x=m,1) <-> E(n,x,t) v W(x=n,1)
Setze t=0: u v W(x=m,1) <-> u v W(x=n,1)
Setze x=m: w <-> W(m=n,1), also gilt m=n.

Eine Stufenmenge I heißt t-induktiv, wenn E(I,0,t)=w gilt
und aus E(I,n,t)=w folgt, dass E(I,n´,t) gilt.
(Also wenn 0 in Stufe t Element von I ist und mit jedem Element n von I in Stufe t
auch dessen Nachfolger n´ Element von I in Stufe t ist.)

Klar: Unsere All-Menge All ist t-induktiv für alle t >=1.

Soweit für heute.

Gruß
Trestone

Hallo,

die Stufenlogik hat in der jetzigen Form noch einen Schönheitsfehler:

Auf der Metaebene (z.B. bei Beschreibung/Zuordnung des Wahrheitswertes einer Aussage)
kommt ja noch die "klassische" Logik zum Einsatz:

Beispiele:

W1: Aussagen A haben zu jedem Zeitpunkt t Wahrheitswerte W(A,t).
W(A,t) kann jeweils einen der Werte w, u, -w annehmen,
dabei steht u für "unbestimmt".


A0: Zum Zeitpunkt 0 sind alle Aussagen u (d.h. unbestimmt).

Zwar hatte ich angedeutet, dass man W1 als in Ebene t+1 wahr ansehen kann und A0 als wahr in Ebene 1,
aber diese Teilaussagen bräuchten ja wieder eine Stufe usw.

Eine überzeugende Lösung dazu habe ich noch nicht,
aber ich experimentiere z.Zt. mit folgendem Ansatz:

(Meta-)Aussagen der Form "W(A,t)=m" mit m einer der drei möglichen Wahrheitswerte w,u,-w
sind in höheren Ebenen als t "klassisch",
d.h. ab t+1 entweder w oder -w.
W ( W(A,t)=m , t+1 ) = entweder w oder -w.

Gilt umgekehrt W ( W(A,t)=m , t+1 ) =w, so gilt W(A,t)=m .

Was mit W ( W(A,t)=m , d ) für 1 <=d<=t ist, bleibt noch offen.
Es könnte jeweils unbestimmt sein (wie bei d=0),
aber z.B. auch ab einem d jeweils w sein.

Dies hätte Auswirkungen auf die Gleichheit von Stufenaussagen:

Es könnte dann zwar gelten: (G): W(A1,t) = W(A2,t) für alle t,
aber z. B. W( W(A1,3)=w, 2) = u und W( W(A2,3)=w, 2) = w.

Trotz (G) wären A1 und A2 also nicht stufenlogisch gleich
(da meta-ungleich).

Ob es sich lohnt, die Gleichheit über Metastufen ( und Meta-Meta-Stufen usw.) einzuführen -
oder ab wo man am besten "klassisch" wird,
kann ich noch nicht absehen.

Gerade in der Mengenlehre finde ich es aber intuitiv wichtig,
die Metaebene mitzubetrachten:
z.B. das Minimum einer Menge von Elementen der Stufe t ist selbst erst in (Meta?-)Stufe t+1 bekannt.

Gruß
Trestone

Hallo,

Nach 10 Jahren habe ich endlich zu den Metaebenen eine einigermaßen konsistente Idee
(leicht anders als im vorhergehenden Beitrag):

Stufen sind nach oben blind,
und All-Stufen-Aussagen bei Zutreffen ungewiss.

Formal:
W ( W(A,t)=m , d) = u für d <= t
W ( W(A,t)=m , d) = entweder w oder –w für d > t

W( Es existriert t0 mit W(A,t0)=m , d ) = u für d <= t0 (falls ein solches t0 existiert)
W( Es existriert t0 mit W(A,t0)=m , d ) = w für d > t0 (falls ein solches t0 existiert)

W( Es existriert t0 mit W(A,t0)=m , d ) = u für beliebige d (falls ein solches t0 nicht existiert)
Im letzteren Fall ist lim (d->…) W( Es existriert t0 mit W(a,t0)=m , d ) = u
und dieses u bedeutet die Nichtexistenz eines solchen t0 (gewissermaßen –w).

Analog:
W( Für alle t>= t0 gilt: W(A,t)=m , d ) = u für d <= t0 und für d <= t1 falls W(A,t1) ungleich m und t1 minimal)
W( Für alle t>= t0 gilt: W(A,t)=m , d ) = –w für d > t1 (falls W(A,t1) ungleich m)

W( Für alle t>= t0 gilt: W(A,t)=m , d ) = u für beliebige d (falls ein t1 (Gegenbsp.) nicht existiert)
Im letzteren Fall ist lim (d->…) W( Für alle t>= t0 gilt: W(A,t)=m , d ) = u
und bedeutet, dass es kein Gegenbeispiel gibt, also gewissermaßen w.


Die stufenlogische Gleichheit von Aussagen ist nun wie folgt definiert:

A1=A2 := Für alle t: W(A1,t) = W(A2,t)

Also:
W(A1=A2,d) = W( Für alle t: W(A1,t) = W(A2,t) , d ) = -w (falls d>t1 und W(A1,t1) -= W(A2,t1).
W(A1=A2,d) = W( Für alle t: W(A1,t) = W(A2,t) , d ) = u sonst.
D.h. bei Gleichheit ist W(A1=A2,d)=u (und nicht = w).

Wir müssen also eine weitere Metastufe heranziehen, um Gleichheit als w bewerten zu können.

Z.B. W ( lim (d-> …) W(A1=A2,d) = u ,1) = w falls A1=A2
und W ( lim (d-> …) W(A1=A2,d) = u ,1) =-w sonst.

Abkürzung: W ( lim (d-> …) W(A1=A2,d) = u ,1) := W(A1==A2,1).

Damit kann nun auch wieder die Mengennachfolgerfunktion definiert werden:

E(x,n´,t+1) = E(x,n,t) v W(x==n,1).

Gruß
Trestone

Hallo,

Ganz langsam und allmählich beginne ich meine Stufenlogik zu begreifen:

Bisher konnte ich ja nicht sagen, was Stufen eigentlich sind.

Nun habe ich denke ich zwei fundamentale Eigenschaften „gefunden“:

A) Stufen sind für sich selbst und nach oben blind,
d.h. aus der Wahrheit einer Aussage in Stufe t
darf nichts über den Wahrheitswert einer anderen Aussage in Stufe t
oder in einer größeren Stufe ableitbar sein
(außer wenn diese Aussage ab t-1 konstant ist).
In gewisser Weise gehört der Wahrheitswert einer Aussage in Stufe t zu Stufe t+1.

B) Aussagen über alle Stufen sind nur scheinbar problematisch:
Denn gibt es zur Aussage A eine Stufe t0 mit W(A,t0) -= u,
dann ist W(A,t) ab t0 konstant (und größere Stufen können mit t0 gleichgesetzt werden, d.h. es müssen nicht unendlich viele Stufen betrachtet werden.)

Betrachten wir nun unsere Axiome:

A0: Zum Zeitpunkt (=Stufe) 0 sind alle Aussagen u (d.h. unbestimmt).

Oder:

A0: Für alle Stufenaussagen A gilt: W(A,0) = u

Ist A0 eine Stufenaussage?

Behauptung: A0 ist eine Stufenaussage und es gilt: W(A0,0)= u , W(A0,1) = w.


A3: Stufenaussagen A haben zu jedem Zeitpunkt t Wahrheitswerte W(A,t).
W(A,t) nimmt jeweils genau einen der Werte w, u, -w an.

Oder:

A3: Für alle A und für alle t gilt: Entweder W(A,t)= w oder W(A,t)=u oder W(A,t)=-w.

A3 bezieht sich auf alle Stufen t. Daher scheint es zunächst fraglich, ob A3 selbst eine Stufenaussage sein kann.

Behauptung: A3 ist eine Stufenaussage und es gilt: W(A3,0)= u , W(A3,1) = w.

Aus dem Wissen, dass W(A3,1)=w gilt, können wir keine Informationen über W(A,1) für beliebige andere Aussagen A ableiten, da weder w noch u noch –w als Wert ausgeschlossen wird.


A1: Stetigkeit: Stufenaussagen A haben mit steigendem t solange den Wert u,
bis sie erstmals einen anderen Wert annehmen.
Ab dann haben sie konstant diesen Wert.

Oder:

A1: Für alle Stufenaussagen A und beliebiges t gilt:
Wenn W(A,t)-=u, dann W(A,t+1)=W(A,t).

Behauptung: A1 ist eine Stufenaussage und es gilt: W(A1,0)= u , W(A1,1) = w.

W(A1,1)=w liefert ja nur eine bedingte Aussage zu W(A,t) und W(A,t+1).

D2a: 1. Definition Gleichheit:
Zwei Stufenaussagen sind gleich, wenn sie in allen Stufen gleiche Werte haben.

A1=A2 :<-> Für alle t: W(A1,t) = W(A2,t)

Behauptung: Für beliebige Stufenaussagen A1, A2 ist A1=A2 eine Stufenaussage.

Hier ist der Werteverlauf schon problematischer:

Vergleichen wir z.B. eine unbekannte Aussage X mit der stets unbestimmten Aussage U so könnten wir aus W(X=U,1) = w z.B. auf W(X,3)=u schließen.
Andererseits wäre X ja konstant. (Betrachten wir unten noch genauer).

W(A1=A2,t+1) = -w , falls t1<t +1existiert mit W(A1,t1)-=W(A2,t1).
W(A1=A2,t+1) = w , falls für alle 0<d<t+1 gilt W(A1,d)-=W(A2,d) und falls W(A1,t)-=u.
W(A1=A2,t+1) = u sonst.

Außer im Falle von U=U gilt: Gleichheit ist für hinreichend große t entweder w oder –w.

D4: Stufenzuordnung: Hat eine Aussage A ab Stufe t0 einen konstanten Wert,
so nennen wir A eine Aussage der Stufe t0 und setzten t(A):=t0.

Es gilt: W(A,t) = W(A, t(A)) für alle t >= t(A).

S5: t<t(A) -> W(A,t)=u und t >= t(A) -> W(A,t) = W(A,t(A)).

S6: Metawerte: W ( W(A,t)= w , d ) = w , falls d>t und W(A,t)=w.
W ( W(A,t)= w , d ) = -w , falls d>t und W(A,t)-=w.
W ( W(A,t)= w , d ) = u, falls d<=t und d<=t(A)
W ( W(A,t)= w , d ) = w, falls d<=t und d>t(A) und W(A,t)=w.
W ( W(A,t)= w , d ) = -w, falls d<=t und d>t(A) und W(A,t)-=w.

S7: Meta-Allaussagen: LA:= Für alle t gilt: W(L,t)= u oder W(L,t)= -w

1. Fall: t(L)=0 -> W(L,t)=u für alle t (und W(L,t)=W(L,0)) -> W(LA,1)=w.
2. Fall t(L)=t0>0 -> W(LA,t0+1) = W(für alle t<=t0 gilt: W(L,t)= u oder W(L,t)=-w)

S7: Substutitionsprinzip (Verendlichung in t):
Eine All-t-Aussage über A kann durch eine Aussage bei t(A)=0 zu Stufe 0
oder zu t= 0,1,…,t(A) bei t(A)>0 ersetzt werden.
Analog genügt statt „Es existiert ein t“ das begrenztere „Es existiert ein t<=t(A)“ zu betrachten.

D2b: 2. Definition Gleichheit:
Zwei Stufenaussagen A1 und A2 sind gleich, wenn sie zur gleichen Stufe gehören und dort den gleichen Wert haben.
(Zwei Stufenaussagen sind ungleich, wenn sie zu verschiedenen Stufen gehören oder in ihrer gemeinsamen Stufe verschiedene Werte haben.)

A1=A2 :<-> t(A1)=t(A2) und W(A1, t(A1)) = W(A2, t(A1))

W(A1=A2,t) = w für t > t(A1)
W(A1=A2,t) = u für t >= t(A1)

Jetzt ist klar: W(X=U,t) = -w für t > t(X) wenn t(X)>0.
Und W(U=U,1) = w.

Jetzt mache ich erst einmal Urlaub.

Gruß
Trestone