Indeterminismus folgt aus Determinismus

Die meisten mögen denken, bei deterministischen Bewegungsgleichungen folgt aus einem Ausgangszustand notwendigerweise nur eine mögliche Zukunft.
Das folgende Beispiel zeigt jedoch etwas anderes. Angenommen in der Natur gäbe es irgendwo ein Geschwindigkeitsfeld, das heißt ein Gebiet, in der die Geschwindigkeit und nicht die Beschleunigung abhängig ist vom Ort, so in etwa wie bei einer stationären Luft- oder Wasserströmung. Die allgemeine Gleichung lautet hierbei im eindimensionalen Fall dz/dt = f(z), wobei z die eine Raumkoordinate darstellt, die wir betrachten wollen.
Ein Teilchen, das dieser Strömung folgt, würde eine deterministische Bahn verfolgen. Anders verhält es sich wenn f(z) eine Singularität enthält. Man betrachte die Gleichung dz/dt = -W/(2z), wobei W eine positive Konstante der Dimension m^2/s ist. Leider wird es jetzt etwas mathematisch, da man eine Differentialgleichung lösen muss.
dz/dt = -W/(2z), z*dz/dt = -W/2, integrieren nach der Zeit t, z*z/2 = -W/2*t + C, die Integrationskonstanste kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit gleich 0 gesetzt werden, da sie nur eine Verschiebung der Startzeit bedeutet also z*z/2 = -W/2*t, z*z = -W*t.
Für die Startphase beginne man mit t<0, dann gilt z = Wurzel(-W*t) oder z = -Wurzel(-W*t). Da man die Startbedingungen selbst wählt, nehme ich den positiven Wert z = Wurzel(-W*t). z ist also für t<0 reell positiv, bei t=0 erhält man z=0, für t>0 gibt es aber zwei symmetrische Lösungen: entweder z läuft entlang der postiven oder entlang der negativen imaginären Achse weiter. Zusammengefasst: Zunächst läuft ein Teilchen, dessen Raumkoordinate z ist auf der positiven reellen Achse in den Nullpunkt und dann muss es sich entscheiden, ob es auf der +i oder -i Achse aus dem Nullpunkt wieder herausläuft.

Auch wenn eine solche Gleichung in der Natur vielleicht keine Rolle spielt und das Teilchen entlang einer imaginären Achse läuft, so zeigt dieses Beispiel, dass Singularitäten Determinismus in Indeterminismus umwandeln können. Möglicherweise gibt es in der Natur aber Gleichungen mit Singularitäten, die nicht notwendigerweise 1.Ordnung in der Zeit sind, sondern Beschleunigungsfelder wie üblich, die ein ähnliches Verhalten zeigen.

Ein Teilchen entscheidet sich im Nullpunkt? Da kannst Du Differentialgleichungen aufstellen so viel Du willst, diese Aussage ist und bleibt Unsinn. Sie hilft allenfalls der Mathematik zu ihren Axiomen zurück und das muss so sein. Wie kann Indeterminismus aus Determinismus folgen? Entweder alles was geschieht, tritt mit Notwendigkeit ein oder ist das Ergebnis eines Freien Willens. Die Diskussion über den Freien Willen hat aber einen völlig anderen Hintergrund als den von Dir dargestellten. Du setzt ihn in Deiner Gleichung ja einfach voraus, wie sollte man ihn auch begründen, denn er ist ja frei und das stellt eine Unmöglichkeit dar. Von Determinismus im Sinne einer Endursache zu reden, ist ja wohl nicht das Gleiche wie bei der Wirkursache. Was geschieht, geschieht zwar mit Notwendigkeit, aber nur innerhalb dieses bestimmten Kausalzusammenhangs, was wir außerhalb wähnen, nennen wir Zufall und den Zufall auszuschalten, nur um zu einer determinierten Endursache zu gelangen, hilft nur den Theologen um ihr Dogma unterzubringen. Die sind natürlich sehr am Freien Willen interessiert um den Menschen damit unfrei machen zu können. Das ist aber ein anderes Thema. Dass man in der Mathematik unendlich viele Denkmodelle entwickeln kann, besagt doch nur etwas über die Offenheit unserer Kombinationsmöglichkeiten, jeder Erkenntnis liegt aber immer eine Anschauung zum Grunde. Danke.

Zitat:

Original von Würze Anders verhält es sich wenn f(z) eine Singularität enthält.

Macht die Einführung einer Singularität nicht jede Art von Determinismus zunichte? Würde mich jedenfalls sehr wundern, wenn nicht.

Singularitäten sind meistens ein schöner Hinweis darauf, dass Theorien in bestimmten Grenzfällen nicht oder nur unter Vernachlässigung bestimmter Terme angewandt werden dürfen, siehe z.B. das Selbstfeld geladener Teilchen in der Maxwellschen Elektrodynamik bzgl. Energiedichte usw. Dieses Problem ist m.W. bis heute nicht geklärt, aber tritt in moderneren Theorien nicht mehr auf.

Ich, persönlich als großer "Fan" des Determinismus wie der Mathematik, muss anmerken, dass so eine "simple" Gleichung einen solch komplexen Vorgang manchmal nicht beschreiben kann, denn, wir als Menschen, kennen nicht, und zwar grunsätzlich nicht, alle Komponenten eines solchen Vorgangs. Wir können berechnen wie ein Gegenstand fällt. Wir kennen die Erdanziehung, den Luftwiderstand und die Beschleunigung die ein Objekt im freien Fall erfährt. Aber: Für viele Phänomene kennen wir eben nicht alle Teilelemente, die aber zwingend notwendig sind, um eindeutig argumentieren können.

Dazu von C. J. Keyser - Absolute certainty is a privilege of uneducated minds and fanatics. Das ist beinahe richtig. Haben wir eine vollständige Gleichung ist jeder Wert eindeutig zugeordnet. Dieses ist aber so unmöglich, dass eben der Glaube an diese Sicherheit an Schwachsinn gleicht.