Und sie ist DOCH extensional: modale Aussagenlogik

Hi.

Vorweg: Ich setze grundlegende Kenntnisse in modaler Aussagenlogik und Mögliche-Welten-Semantik voraus, aber diejenigen, die mit Modallogik nichts am Hut haben, wird das hier vermutlich eh nicht interessieren^^

Eine formale Sprache L ist extensional genau dann, wenn sie folgendes Kriterium erfüllt:

Extensionalitätsprinzip: Der Wahrheitswert einer komplexen wohlgeformten Formel ist durch die Exensionen (Wahrheitswerte) ihrer atomaren Subformeln determiniert.

Die Modallogik erfüllt dieses Kriterium nach allgemeiner Maßgabe nicht, weshalb sie unter die nicht-extensionalen Logiken geordnet wird. Ich behaupte, die Modallogik ist extensional, wenn man die Extension einer wohlgeformten Formel (wff) nicht als Wahrheitswert, sondern als eine Menge von möglichen Welten definiert.



Einige Vorbemerkungen:

Es geht mir in diesem Beitrag lediglich darum, eine gewisse Idee in einer ersten Annäherung darzustellen. Aus diesem Grunde verzichte ich auf allzu technischen Schnickschnack ebenso wie Beweise. Außerdem ist dieser Beitrag, um ihn kurz zu halten, technisch ziemlich schlampig geraten (z.B. unterscheide ich nicht zwischen Rahmen und Modellen sowie zwischen Wahrheit in einem Rahmen und Wahrheit in einer möglichen Welt; das kann man hinterher fein säuberlich ausbuchstabieren).

Ich werde mich in diesem Beitrag außerdem auf die modale Aussagenlogik S5 beschränken (d.h. man kann sich die Rede von der Zugänglichkeitsrelation schenken, „ p“ heißt dasselbe wie „'p' ist wahr in jeder möglichen Welt“). Wenn sich zeigt, dass meine Idee für S5 funktioniert, dürfte sie sich für alle weiteren modalen Aussagenlogiken erweitern lassen.

Um zu prüfen, ob ich mit meinem Vorschlag Erfolg habe, gebe ich einen intuitiven Test an, eine formale Sprache daraufhin zu überprüfen, ob sie extensional ist:

Es gilt, dass eine wff A extensional ist genau dann, wenn sich in ihre Ausdrücke gleicher Extension unbeschadet der Wahrheit von A ersetzen lassen. Eine formale Sprache L ist extensional genau dann, wenn sie nur extensionale wffs enthält.

Beispielsweise lässt sich mit diesem Test zeigen, dass S5, wenn als Extensionen ihrer wffs Wahrheitswerte definiert werden, nicht extensional ist. Sei „p“ in einer möglichen Welt wi wahr. Außerdem ist in wi „ (p v ~p)“ wahr. Ersetzt man aber die in wi wahre wff „p v ~p“ durch die in wi wahre wff „p“, erhält man die in wi falsche wff „ p“. „ (p v ~p)“ ist damit keine extensionale wff. Da „ (p v ~p)“ außerdem Element der Menge der wffs von S5 ist, ist S5 damit nicht extensional.

Jetzt zum interessanten Teil:

Statt wie üblich die Extension einer wff als Wahrheitswert zu definieren, möchte ich sie stattdessen als Menge von möglichen Welten definieren. Sätze seien also nicht mehr Namen von Wahrheitswerten, sondern Namen von Mengen möglicher Welten. Intuitiv gesprochen bezeichne eine wff A die Menge aller möglichen Welten, in denen sie wahr ist. Seien A und B wffs in denen kein Modaloperator vorkommt, dann ergeben sich für die nichtmodalen wffs von S5 folgende Wahrheitsbedingungen:

V(<A, wi>) = 1 gdw. wi A

(Das wird gelesen „die wff A ist in einer möglichen Welt wi wahr genau dann, wenn wi Element der Menge A ist. Alle weiteren Definitionen sind analog zu verstehen.)

V(<'~A', wi>) = 1 gdw. wi nicht A

V(<'A & B', wi>) = 1 gdw. wi A und wi B

V(<'A v B', wi>) = 1 gdw. wi A oder wi B oder beides

V(<'A -> B', wi>) = 1 gdw. wi nicht A oder wi B

Die Wahrheitsbedingungen für Äquivalenz, ausschließende Disjunktion usw. folgen aus oben Genanntem. Außerdem gelte für jede wff A, dass V(<A, wi>) = 0 gdw. nicht V(<A, wi>) = 1 (Bivalenzprinzip).

Bis hierher ist das alles der übliche Kram, der wichtige Teil sind die Wahrheitsbedingungen für wffs mit Modaloperatoren, wobei W die Menge aller möglichen Welten ist (es gilt wie üblich, dass ' A' definiert ist durch '~ ~A'):

V(<' A', wi>) = 1 gdw. für alle w W ist w A

V(<' A', wi>) = 1 gdw. es gibt ein w W mit w A

Auffällig hier ist die Analogie zur Prädikatenlogik (PL). Was in PL der Gegenstandsbereich ist, ist hier die Menge der möglichen Welten und was in PL Prädikate sind, sind hier wffs. Während etwa '(x)[Ax]' in PL genau dann wahr ist, wenn alle Elemente des Gegenstandsbereichs Element der Klasse aller A sind, ist ' A' wahr in einer möglichen Welt wi genau dann, wenn alle Elemente der Menge aller möglichen Welten Element von A sind.

Zuletzt der Test:

Im Beispiel oben wurde die Nichtextensionalität von S5 dadurch gezeigt, dass unter der Annahme, dass „p“ wahr ist, die Ersetzung von „p v ~p“ in „ (p v ~p)“ durch das extensionsgleiche „p“ nicht unter Erhaltung der Wahrheit möglich ist. Ist die Extension einer wff eine Menge möglicher Welten, dann ist diese Ersetzung jedoch nicht mehr möglich. So ist die Extension von „p v ~p“ die Menge aller möglichen Welten, die von „p“ jedoch nicht (denn es lassen sich Modelle konstruieren, in denen es mögliche Welten gibt, in denen „p“ falsch ist). Damit sind „p v ~p“ und „p“ nicht extensionsgleich und damit ist die Ersetzung illegitim. Da die Auffassung von wffs als Namen von Mengen möglicher Welten darüber hinaus eine simple Kopie der Semantik der das Extensionalitätsprinzip erfüllenden Prädikatenlogik 1. Stufe ist, dürfte auch S5 mit der hier vorgestellten Semantik das Extensionalitätsprinzip erfüllen.

Abschließende Bemerkung:

Da die Idee, wffs als Namen von Mengen möglicher Welten aufzufassen, sehr simpel ist, bin ich überzeugt, dass meine Idee nicht neu ist und sie tatsächlich in irgendeinem Aufsatz in technisch adäquater Weise dargestellt ist. So hat z.B. Lewis in seinem Aufsatz Counterpart Theory die modale Prädikatenlogik in eine extensionale Sprache übersetzt. Allerdings ist die Counterpart Theory keine bloße Semantik, sondern eine Theorie. Da man jedoch überall liest, die Modallogik (und damit auch die modale Aussagenlogik) sei intensional, so als ob die Modallogik qua Modallogik nicht extensional sein könnte, hielt ich das Geben eines Gegenbeispiel (sofern sich nicht doch unüberwindbare Probleme ergeben) für nicht verkehrt.

Zitat:

Original von -Soso- Eine formale Sprache L ist extensional genau dann, wenn sie folgendes Kriterium erfüllt: Extensionalitätsprinzip: Der Wahrheitswert einer komplexen wohlgeformten Formel ist durch die Exensionen (Wahrheitswerte) ihrer atomaren Subformeln determiniert.

wie ist das eigentlich, ist determiniert automatisch eindeutig festgelegt?

Ich bin ausgewiesen kein Formallogiker.

Was mich verwirrt, ist der Nutzen von Modalaussagen über viele Welten.
Es ist notwendig, wenn es in allen möglichen Welten der Fall ist.
Möglich wenn es in einer der Fall ist usw.

Aber wie prüft man das? Welchen Zweck erfüllt diese Behauptung überhaupt?

Und speziell auf dein Thema soweit ich es überhaupt verstanden habe, fand ich die Bemerkunk interessant A sei die Menge aller möglichen Welten. Wie soll eine solche Logik jeweils in die Welt hinausgreifen? Wie bestimmst du den diese Menge überhaupt? Bei Gegenstandsbereichen habe ich wenigstens in der Theorie einen abzählbaren Bereich. Die Menge der Schwäne etc. Die Mengen der Mengen. Meinetwegen.
Aber wie sollte die Menge aller möglichen Welten bestimmt sein?

Da meine Fragen Laieneinwürfe sind und vom Thema abweichen, kannst du mir auch gern per PM antworten.

Hi.

@mark

Jepp, „determiniert“ heißt hier soviel wie „eindeutig festgelegt“. In der Aussagenlogik kann man das richtig schön sehen, wenn man etwa den Wahrheitswert von „p v q“ dadurch ermittelt, indem man lediglich nach den Wahrheitswerten von „p“ und „q“ schaut.

@Nylen

Zitat:

Was mich verwirrt, ist der Nutzen von Modalaussagen über viele Welten. Es ist notwendig, wenn es in allen möglichen Welten der Fall ist. Möglich wenn es in einer der Fall ist usw. [Du kannst aus dem „wenn...dann---“ sogar ein „genau dann, wenn“ machen; Soso] Aber wie prüft man das?

Mögliche Welten gibt es nur in einem Modell und Modelle konstruiert man. In welchen möglichen Welten eines Modells was der Fall ist, kann man dann einfach anhand des Modells ablesen. Während aussagenlogische Wahrheiten dabei prinzipiell in jeder möglichen Welt der Fall sind, hat man bei kontingenten Aussagen freie Hand, ob man sie in einem Modell in jeder, wenigstens einer oder keiner möglichen Welt der Fall sein lässt. Allerdings interessiert man sich in der Modallogik meist weniger für Wahrheit in EINEM Modell, sondern für Wahrheit in ALLEN Modellen. So ist ein Satz S eine modallogische Wahrheit genau dann, wenn er in allen Modellen wahr ist und ein Satz B folgt aus einem Satz A genau dann, wenn jedes Modell von A ein Modell von B ist.

Zitat:

Welchen Zweck erfüllt diese Behauptung überhaupt?

Bevor es die Mögliche-Welten-Semantik von Kripke gab (die man im Wesentlichen schon bei Leibniz findet), war Modallogik nur axiomatisch möglich. D.h. man hatte ein paar Axiome zusammen mit einigen Schlussregeln. Wenn man dann wissen wollte, ob etwa „ [(p v ~ p) -> ~ p]“ eine modallogische Wahrheit ist, musste man im Trial-and-Error-Verfahren schauen, ob sich die besagte Formel herleiten lässt (oder wenigstens ihre Negation, denn dann ist sie widersprüchlich und damit definitiv keine modallogische Wahrheit). Wenn man nach endlosen Versuchen aber noch immer nicht die besagte Formel oder ihre Negation herleiten konnte, war damit leider nicht gesagt, dass die Formel also weder logisch wahr noch widersprüchlich ist, denn vielleicht hat man den Beweis, dass sie logisch wahr oder widersprüchlich ist, einfach noch nicht gefunden.

In dieser Situation kam die Mögliche-Welten-Semantik wie gerufen. Statt – womöglich erfolglos – zu versuchen, eine modallogisch wahre Formel zum Beweis ihrer Wahrheit axiomatisch herzuleiten, konnte man die Formel jetzt einfach interpretieren und zeigen, dass jedes Modell sie erfüllt (bzw. dass es kein Modell gibt, dass ihre Negation erfüllt). Während das axiomatische Beweisen einer Formel, je nach Glück, mitunter Tage, Wochen oder noch länger dauern kann, ist das – übrigens algorithmische – Verfahren des Beweisens der Nichtexistenz eines Modells der Negation meist eine Sache weniger Minuten.

Darüber hinaus hat die Mögliche-Welten-Semantik zu einer Explosion modallogischer Systeme geführt, da man nur an den Eigenschaften der Zugänglichkeitsrelation drehen musste um ein neues System zu erhalten.

Zitat:

Und speziell auf dein Thema soweit ich es überhaupt verstanden habe, fand ich die Bemerkunk interessant A sei die Menge aller möglichen Welten. Wie soll eine solche Logik jeweils in die Welt hinausgreifen? Wie bestimmst du den diese Menge überhaupt? Bei Gegenstandsbereichen habe ich wenigstens in der Theorie einen abzählbaren Bereich. Die Menge der Schwäne etc. Die Mengen der Mengen. Meinetwegen. Aber wie sollte die Menge aller möglichen Welten bestimmt sein?

Wie oben geschrieben, ist man meist an Wahrheit in ALLEN Modellen interessiert (denn Wahrheit in allen Modellen ist dasselbe wie modallogische Wahrheit). Um zu zeigen, dass eine wff A in allen Modellen wahr ist, gibt es bestimmte Verfahren. Mit diesen Verfahren zeigt man i.d.R., dass es kein Modell gibt, welches die Negation von A, also 'nicht-A', erfüllt. Bei diesen Verfahren konstruiert man mögliche Welten. Abhängig von der Länge von A (also der Anzahl der Zeichen) ist es jedoch in der Regel nicht nötig, allzuviele möglichen Welten zu konstruieren. Meist ist nach der Konstruktion einiger weniger möglicher Welten schon gezeigt, dass es kein Modell gibt, dass 'nicht-A' erfüllt, womit A dann eine modallogische Wahrheit ist.

Prinzipiell ist die Menge der möglichen Welten daher unendlich groß, praktisch macht man davon selten Gebrauch.

Zitat:

Original von -Soso- Jepp, „determiniert“ heißt hier soviel wie „eindeutig festgelegt“.

ja, dass du es hier so gebrauchst dachte ich mir schon, denn ich geh ja davon aus, dass du weisst, was du redest und interpretiere (erstmal) entsprechend dieser annahme.
ich hab mich nur an der stelle gefragt, wie das allgemein ist. im fall des kreises sind die zuordnungen ja auch da, aber eben nicht eindeutig im sinne eines x zu einem y. im sinner einer zuordnung eines wertepaares ist es natürlich eindeutig.
ich würde "eindeutig" benutzen.

Zitat:

Die Modallogik erfüllt dieses Kriterium nach allgemeiner Maßgabe nicht, weshalb sie unter die nicht-extensionalen Logiken geordnet wird. Ich behaupte, die Modallogik ist extensional, wenn man die Extension einer wohlgeformten Formel (wff) nicht als Wahrheitswert, sondern als eine Menge von möglichen Welten definiert.

das erinnert mich an die idee diejenigen syllogismen, die im konventionellen verständnis existenzaussagen voraussetzen, auch ohne diese als allgemeingültig zu verstehen wenn/indem man nicht mehr auf die existenz etwas möglichen schliesst sondern auf die möglichkeit der existenz.

gruss

Hi.

Die Analogie mit dem Kreis hakt etwas. So sind die aussagenlogischen Junktoren Funktionen. Funktionen sind dabei rechtseindeutige Relationen, was bedeutet, dass jedem Element des Definitionsbereiches ein und nur ein Element des Wertebereiches zugeordnet wird (einem Element des Wertebereiches können aber freilich mehrere Elemente des Definitionsbereiches zugeordnet sein, die Funktion ist dann nicht linkseindeutig). Wenn man daher einen Kreis dadurch beschreibt, indem man einem x mehrere y zuordnet, dann besteht zwischen den x und y keine rechtseindeutige Relation und damit hat man in diesem Falle schlichtweg keine Funktion. Wenn man daher Funktionen betrachtet, ist der Kram immer eindeutig.

Wie dem auch sei: im Endeffekt geht es ja nur darum, dass man versteht, was ich meine und das scheint meine Formulierung des Extensionalitätsprinzips offensichtlich geschafft zu haben^^

Zitat:

Original von -Soso- Hi. Die Analogie mit dem Kreis hakt etwas. So sind die aussagenlogischen Junktoren Funktionen. Funktionen sind dabei rechtseindeutige Relationen, was bedeutet, dass jedem Element des Definitionsbereiches ein und nur ein Element des Wertebereiches zugeordnet wird (einem Element des Wertebereiches können aber freilich mehrere Elemente des Definitionsbereiches zugeordnet sein, die Funktion ist dann nicht linkseindeutig). Wenn man daher einen Kreis dadurch beschreibt, indem man einem x mehrere y zuordnet, dann besteht zwischen den x und y keine rechtseindeutige Relation und damit hat man in diesem Falle schlichtweg keine Funktion. Wenn man daher Funktionen betrachtet, ist der Kram immer eindeutig.

soll ich ehrlich sein? ich find dich schwierig. ich sagte doch, dass der kreis keine funktion ist. deswegen ist er doch nicht undeterminiert.
dass, wenn man funktionen betrachtet, der kram immer eindeutig ist, ist irgendwie witzlos, sind funtionen per definition nur dann funktionen, wenn sie eindeutig sind.

Zitat:

Wie dem auch sei: im Endeffekt geht es ja nur darum, dass man versteht, was ich meine und das scheint meine Formulierung des Extensionalitätsprinzips offensichtlich geschafft zu haben^^

woraus entnimmst du das? ich weiss das nicht, die reaktionen fallen ja etwas müde aus. ich kann an mir schlecht testen ob ich wüsste, was du damit meinst, hätte ich das nicht schon vorher gewusst und determiniert dementsprechend interpretiert.
deswegen kam mir ganz allegmein der gedanke, ob etwas zwar determiniert sein kann, das aber nicht eindeutig.

gruss

Hi.

Zitat:

soll ich ehrlich sein? ich find dich schwierig.

Hehe, das kann ich zurückgeben, denn meistens weiß ich nicht, worauf du hinaus willst, weil du immer weit mehr meinst als du schreibst. So schreibst du etwa „ich sagte doch, dass der kreis keine funktion ist“. Wenn ich mir aber den entsprechenden Beitrag anschaue, dann finde ich dort keine solche Aussage. Dass du mit deiner Rede von nicht eindeutigen Zuordnungen im Falle des Kreises meinst, „dass der kreis keine funktion ist“ (auch so eine seltsame Formulierung), kann ich doch beim besten Willen nicht wissen. Gewiss, du schreibst von Zuordnungen und da Funktionen nichts anderes als Zuordnungen sind, hätte die Annahme naheliegen können, dass du den Begriff „Zuordnung“ als Synonym für den Begriff „Funktion“ verwendest. Jedoch schreibst du auch von nichteindeutigen Zuordnungen und nichteindeutige Zuordnungen sind keine Funktionen. Ergo ging ich, dir eine konsistente Begriffsverwendung unterstellend, davon aus, dass du „Zuordnung“ nicht als Synonym für „Funktion“ verwendest. Insofern liegt es vielleicht auch an dir, dass du mich schwierig findest.

Zitat:

Zitat: Wie dem auch sei: im Endeffekt geht es ja nur darum, dass man versteht, was ich meine und das scheint meine Formulierung des Extensionalitätsprinzips offensichtlich geschafft zu haben^^ woraus entnimmst du das? ich weiss das nicht, die reaktionen fallen ja etwas müde aus. ich kann an mir schlecht testen ob ich wüsste, was du damit meinst, hätte ich das nicht schon vorher gewusst und determiniert dementsprechend interpretiert.

Naja, ob die Reaktionen hier gerade darum etwas müde ausfallen, weil die Leute meine Formulierung des Extensionalitätsprinzips nicht verstehen? Das wird wohl eher am Thema selbst liegen, aber das war von Anfang an klar.

Was das Verstehen meiner Formulierung des Extensionalitätsprinzips (EP) angeht: es gibt in diesem Forum zwei Klassen von Teilnehmern: solche, die sich für das Thema hier interessieren und solche, die es nicht tun. Denjenigen, die sich für das Thema hier nicht interessieren, wird auch meine Formulierung des EP egal sein. Diejenigen, die sich für das Thema hier interessieren, lassen sich wieder in zwei Klassen unterteilen: diejenigen, die meine Formulierung des EP verstanden haben und diejenigen, die sie nicht verstanden haben. Diejenigen, die meine Formulierung des EP nicht verstanden haben, würden, weil sie sich für das Thema interessieren, nachfragen. Nun hat niemand nachgefragt (deine Nachfrage zähle ich nicht mit, da sie ja auf etwas anderes abzielte). D.h. entweder ist die Klasse derjenigen, die sich für dieses Thema interessieren, leer oder sie ist nicht leer und ihre Teilklasse derjenigen, die meine Formulierung des EP nicht verstanden haben, ist leer. In jedem Falle kann man mir also betreffs meiner Formulierung des EP keinen Vorwurf machen. Quite logical, isn't it?