(S) "Dieser Satz ist falsch" - Versuch einer neuen Annäherung

@ nylen

Zitat:

Original von Pippen @Nylen: Ich sehe es ja wie du. Der Punkt ist, dass jede Logik durch ihren Anwendungsbereich gleichzeitig ihren Nichtanwendungsbereich definiert...und da finde ich es schon spannend und wichtig, ob selbstbezügliche Aussagen von der Art des Lügnerparadoxons nicht von Vornherein aus der Logik genommen werden müssen/sollten, weil sie nicht mit und von ebenjener Logik einordbar ist.

Was pippen nicht begreift ist, dass es keinen Nichtanwendungsbereich von Logik geben kann, - außer das Schweigen. Er behauptet es gebe einen außerhalb des Schweigens, kann es aber nicht belegen bzw. wird in dieser Vermutung beständig widerlegt.

Zitat:

Original von eliskases Was pippen nicht begreift ist, dass es keinen Nichtanwendungsbereich von Logik geben kann, - außer das Schweigen.

Sorry, aber das gleicht dem Griff in die Kloschüssel. Allein zB das Bivalenzprinzip stellt nicht nur ein positives Axiom, sondern gleichzeitig ein negatives Axiom darüber auf, welche Wahrheitswerte (nämlich alle außer w & f) Aussagen nicht zukommen können/dürfen. Was du mit "Logik" meinst (nämlich letztlich allg. Rationalität und Vernunft), darum geht es hier überhaupt nicht! Get your facts straight!

Zitat:

Original von Nylen Ansonsten sind selbstreferentielle Aussagen, als solche erkannt nur noch ein Schreckgespenst für Logikstudenten. Als Philosoph und Historiker fühlte ich mich aber nie bedroht

tja, die tragik liegt, wie wir spätestens seit turing wissen, in "als solche erkannt"...
was an der unbedrohlichen selbstbezüglichkeit liegt...

Hi.

@mark

Ich picke mir mal die wichtigen Sachen heraus:

Zitat:

Zitat: Allerdings reicht die Aussagenlogik für den Lügner völlig aus. Mir sind zwei Formalisierungen bekannt, zunächst „TA <-> ~TA“. Das ist aber bloß eine Substitutionsinstanz des aussagenlogischen „p <-> ~p“. das ist kein paradoxon sondern ein schlichter widerspruch.

Paradoxien SIND in der Regel Widersprüche; der Lügner zumindest ist einer. So folgt aus dem Satz (S) „dieser Satz ist nicht wahr“, dass (S) wahr ist genau dann, wenn (S) nicht wahr ist. Da „(S) ist wahr genau dann, wenn (S) nicht wahr ist“ widersprüchlich ist und jeder Satz, aus dem sich ein Widerspruch herleiten lässt, widersprüchlich ist, ist (S) damit ebenfalls widersprüchlich.

Zitat:

Zitat: Eine andere Formalisierung ist „~TA“, wobei „A“ der Name des Satzes „~TA“ ist. Das lässt sich umformen ins aussagenlogische „A -> ~T“, wobei „A“ hier der Name von „A -> ~T“ ist. was eben wieder prädikatös ist.

Inwiefern?

PS: Es ist leider nicht meine Semantik, sondern die von Tarski^^ und der Unterschied zwischen Syntax und Semantik ist nun einmal wichtig. Nur weil die Rede von Syntax der Rede von Semantik auf den ersten Blick sehr ähnlich zu sein scheint, kann das doch kein Argument dafür sein, beides in einen Topf zu werfen. Es hat schon seine Gründe, warum man den Kram trennt.

@Pippen

Zitat:

Ein schönes Bsp. um zu zeigen, was ich meine. Du hast hier zwei Aussagen: nämlich 1. "x=x" und 2. „~(x = x)“. Das sind 2 Aussagen (bzw. das läßt sich in 2 Aussagen zerlegen), deren Inhalt sich gegeneinander betrachtet ausschließt, so dass ein Widerspruch vorliegt. Genau was ich vertrete.

Du unterstellst mir hier unabsichtlich weit mehr, als ich eigentlich behaupte. Formale Sprachen lassen sich selbstverständlich als Systeme von Axiomen (Sätzen) und Schlussregeln darstellen. Ist das System darüber hinaus widerspruchsfrei, läuft Widersprüchlichkeit eines Satzes S üblicherweise darauf hinaus, dass S einem oder mehreren Axiomen Ax1, Ax2, ... widerspricht. Insofern könnte man natürlich argumentieren, dass also S nicht selbstwidersprüchlich sei, sondern einfach Ax1, Ax2, ... widerspricht.

ABER: Wenn ich behaupte, der Satz (K) „~(x = x)“ sei widersprüchlich, meine ich NICHT, dass (K) AUSSERHALB irgend einer formalen Sprache widersprüchlich sei. Eine solche Behauptung wäre blanker Unsinn, denn selbstverständlich ist ein Satz stets nur ein Satz IN einer Sprache. Was ich vielmehr meine, ist, dass (K) INNERHALB der und der formalen Sprache L (die Axiome von L also vorausgesetzt) widersprüchlich sei. INNERHALB von L müsse man nur „~(x = x)“ behaupten und schon hat man etwas widersprüchliches behauptet, ohne, dass man INNERHALB von L noch einen zweiten Satz behaupten muss.

In diesem Sinne glaube ich auch nicht, dass dein Argument oben ein Argument dafür ist, was du eigentlich zeigen willst. Du hast ja die Klasse der formalen Sprachen, für die du zeigen willst, dass „dieser Satz ist falsch“ nicht widersprüchlich ist, selber vorgegeben: nämlich die Klasse der klassischen Logiken. Wenn du daher behauptest, dass INNERHALB der klassischen Logik ein Widerspruch stets aus wenigstens zwei Sätzen bestehe, scheinst du mir doch zu behaupten, dass man, die Axiome der jeweiligen klassischen Logik vorausgesetzt, DARÜBER HINAUS noch zwei Sätze benötigt, um aus ihnen einen Widerspruch zu konstruieren. Würdest du nämlich stattdessen behaupten, dass man also, um einen widersprüchlichen Satz zu konstruieren, wenigstens zwei Sätze benötigt, weil zumindest einer der beiden Sätze ein Axiom der jeweiligen formalen Sprache sein muss, dann würdest du dasselbe behaupten wie ich und anerkennen, dass (S) widersprüchlich sein kann.

Zitat:

Falls du nun konterst und sagst, dass das nach der klass. Logik nicht 2 Aussagen sind (die gegenübergestellt einen Widerspruch ergeben), so kontere ich darauf: Woraus soll sich das ergeben; das ist höchst unintuitiv?

Nur kurz eine Bemerkung dazu, weil du in letzter Zeit nur allzu gerne damit argumentierst, dass dies oder jenes unplausibel oder kontraintuitiv sei: Plausibilitätsargumente sind als Argumente i.d.R. völlig nutzlos. Wenn du etwa behauptest, A sei der Fall und dein Opponent behauptet, A sei nicht der Fall, macht es wenig Sinn, zu argumentieren, A sei plausibel. Wäre A tatsächlich so plausibel, dann würde dein Opponent doch offenbar gar nicht gegen A argumentieren. Jemanden mit einem Plausibilitätsargument zu überzeugen funktioniert eigentlich nur dann, wenn er schon überzeugt ist.

Sind aber Plausibilitätsargumente so schon recht nutzlos, machen sie, wenn man darüber diskutiert, was in bestimmten formalen Systemen (Logiken, Mathematiken, Geometrien usw.) der Fall ist oder nicht, überhaupt keinen Sinn mehr. Wenn etwa in der Mathematik gilt, dass zwei hoch null gleich eins ist, dann ist das eben so. Da kann man nicht sagen, man fände das irgendwie unplausibel. Hier muss man sich der mathematischen Realität einfach beugen. Nicht anders ist es mit der klassischen Logik.

Zitat:

1. Das Bivalenzprinzip sagt lediglich, dass jeder Satz entweder wahr oder falsch sein muss. Das dies nicht ausnahmslos gilt kann man schon durch das Wort BivalenzPRINZIP sehen. Und in der Tat scheint die klass. Logik bestimmte Sätze aus ihrem Anwendungsbereich herauszunehmen [...] und ich vertrete, dass das für meine selbstbezüglichen Sätze genauso geschehen muss, weil man wegen deren infiniten Struktur beim besten Willen keinen Wahrheitswert zuordnen kann.

Na genau DAS sage ich doch die ganze Zeit! Dass dein Satz (S), wenn man ihn so analysiert wie du, nicht in den Anwendungsbereich der klassischen Logik fällt, weil für ihn das Bivalenzprinzip nicht gilt. Ich nehme an, damit erübrigen sich 2. und 3.

Zitat:

Original von -Soso- Paradoxien SIND in der Regel Widersprüche;

deswegen ist aber nicht jeder widerspruch schon eine paradoxie.
p und nicht p ist keine paradoxie.

Zitat:

Zitat: Zitat: Eine andere Formalisierung ist „~TA“, wobei „A“ der Name des Satzes „~TA“ ist. Das lässt sich umformen ins aussagenlogische „A -> ~T“, wobei „A“ hier der Name von „A -> ~T“ ist. was eben wieder prädikatös ist. Inwiefern?

deiner benennung wegen.

Zitat:

PS: Es ist leider nicht meine Semantik, sondern die von Tarski^^ und der Unterschied zwischen Syntax und Semantik ist nun einmal wichtig. Nur weil die Rede von Syntax der Rede von Semantik auf den ersten Blick sehr ähnlich zu sein scheint, kann das doch kein Argument dafür sein, beides in einen Topf zu werfen. Es hat schon seine Gründe, warum man den Kram trennt.

stimmt, semantik ist nicht das gleiche wie syntax. aber letztlich verhält es sich damit so wie mit analytisch und synthetisch und jeder anderen derartigen auftrennung. das getrennte ist eben verbunden durch die trennung, wenn man es kryptisch mag.
es ist ja richtig, dass er gödelsatz nicht die epimenidesversion ist sondern tarskis version. nur, die struktur und die methode ist die gleiche.
so führt das ja gerade zum unterschied zwischen satzheit und wahrheit. was man ja gerne zusammen gesehen hätte...denn dazu ist das ganze ja eigentlich gedacht, wahre aussagen per formalem kriterium.
für die typentheorie ist es nun wirklich egal, die kann man auf beides anwenden bzw nicht.

gruss

Hi.

Die Übersetzung eines umgangssprachlichen Satzes in einen formalsprachlichen ist immer ein Kompromiss, denn irgendetwas von dem umgangssprachlichen Satz geht bei der Übersetzung stets verloren – und wenn es wie üblich bloß die Bedeutung des Satzes ist. Ebenso muss man bei Sätzen wie dem Lügner schauen, was man wirklich in die Formalsprache mitnehmen will und was nicht. Was den Lügner und die Russellmenge so gefährlich macht und was Leuten wie Russell, Tarski, Kripke, Priest und Co. soviel Kopfzerbrechen bereitet hat, ist dabei schlichtweg ihre Widersprüchlichkeit, mit der sie jede klassische Formalsprache trivial machen. Nur das ist der Grund für Russells Typentheorie, die Selbstbezüglichkeit eben nicht darum verbietet, weil Russell etwas gegen Selbstbezüglichkeit hätte, sondern weil dadurch die Formulierung des speziellen Widerspruchs der Russellmenge nicht mehr möglich ist.

Selbst wenn man daher den Lügner adäquat in eine klassische Formalsprache übersetzt, fangen die Probleme erst dann an, wenn man aus dem Lügner den widersprüchlichen Satz „der Lügner ist wahr genau dann, wenn er nicht wahr ist“ hergeleitet hat. Aus diesem Grunde kann man sich das ganze Vorgeplänkel auch sparen und den Lügner gleich als „der Lügner ist wahr genau dann, wenn er nicht wahr ist“ formalisieren, was aber eben bloß eine Substitutionsinstanz des aussagenlogischen „p <-> ~p“ ist.

Wenn man natürlich unbedingt die Selbstbezüglichkeit des Lügners erhalten will, dann ist seine Formalisierung als „p <-> ~p“ freilich unpassend. Aber wenn es wie üblich bloß um seine Widersprüchlichkeit geht, muss man seine Selbstbezüglichkeit nicht mitformalisieren.

Weiterhin schreibst du, mein zweiter Vorschlag „A -> ~T“ mit „A“ als Namen von „A -> ~T“ sei prädikativ, weil in ihm ein Satz benannt wird. Dass eine formale Sprache Namen enthält, macht sie jedoch noch nicht zu einer Prädikatenlogik. Auch die Aussagenlogik enthält schließlich Namen, nämlich Namen von Wahrheitswerten und Namen von Funktionen, ohne dass sie dadurch plötzlich zu einer Prädikatenlogik wird. Was eine formale Sprache zu einer Prädikatenlogik macht, sind eben Prädikate und nicht das Vorkommen von Namen in ihr.

Zitat:

Original von -Soso- In diesem Sinne glaube ich auch nicht, dass dein Argument oben ein Argument dafür ist, was du eigentlich zeigen willst. Du hast ja die Klasse der formalen Sprachen, für die du zeigen willst, dass „dieser Satz ist falsch“ nicht widersprüchlich ist, selber vorgegeben: nämlich die Klasse der klassischen Logiken. Wenn du daher behauptest, dass INNERHALB der klassischen Logik ein Widerspruch stets aus wenigstens zwei Sätzen bestehe, scheinst du mir doch zu behaupten, dass man, die Axiome der jeweiligen klassischen Logik vorausgesetzt, DARÜBER HINAUS noch zwei Sätze benötigt, um aus ihnen einen Widerspruch zu konstruieren. Würdest du nämlich stattdessen behaupten, dass man also, um einen widersprüchlichen Satz zu konstruieren, wenigstens zwei Sätze benötigt, weil zumindest einer der beiden Sätze ein Axiom der jeweiligen formalen Sprache sein muss, dann würdest du dasselbe behaupten wie ich und anerkennen, dass (S) widersprüchlich sein kann.

Ok, ich stimme dir zu. Widersprüchlich kann auch nur eine Aussage (in sich selbst) sein. Die Frage wäre, wie man einen solchen Widerspruch definiert...wird er wirklich nur derart definiert, dass ein W. dann vorliegt "wenn daraus beliebiges folgt"? Das scheint mir eine petitio principii-Def. zu sein, weil sie bereits einen Widerspruch voraussetzt, um dessen Erklärung es aber gerade geht.

Zitat:

Na genau DAS sage ich doch die ganze Zeit! Dass dein Satz (S), wenn man ihn so analysiert wie du, nicht in den Anwendungsbereich der klassischen Logik fällt, weil für ihn das Bivalenzprinzip nicht gilt. Ich nehme an, damit erübrigen sich 2. und 3.

Hier missverstehst du mich wohl. Du führst hier kein Bivalenzprinzip ein sondern ein Bivalenzaxiom ein, das also in der klass. Logik immer und notwendig gelten müßte. Ist das wirklich so? Warum heißt es dann gerade "BivalenzPRINZIP"? Eine solche Logik würde - zumindest für mich - wenig Sinn machen. Schauen wir mal auf die Aussage "Heute ist Dienstag". Nach deinem Bivalenzaxiom müßte man dieser Aussage sofort einen Wahrheitswert (w,f) zuweisen können. Tut man das, macht man aber die betreffende Logik völlig wertlos, weil man eben o.g. Aussage nicht bewerten kann ohne weitere Infos darüber zu haben, wie "heute" gemeint ist (wenn zB "heute" wirklich heute heißt, dann wäre die Aussage falsch, weil heute Montag ist). Die Logik würde hinsichtlich solcher Aussagen trivial und beliebig werden. Solche Aussagen - so könnte ich mir vorstellen - nimmt daher die klass. Logik ganz bewußt (in Form einer negativen Definition) aus ihrem Anwendungsbereich heraus. Solche Aussagen können dann auch nicht mehr widersprüchlich sein, weil aus ihnen gar nichts folgen kann (weil sie keinen Wahrheitswert haben können, mit Hilfe dessen man ja erst folgern kann).

Dasselbe gilt nun - so behaupte ich - auch für Aussagen der Form "Der Satz ist falsch", weil auch dort eine Festlegung des Wahrheitswertes für den Satz unmöglich ist.

Die entscheidende Frage lautet daher: Ist es richtig, dass die klass. Logik absolut allen Aussagen der Form S-P-O einen Wahrheitswert zuschreibt oder gibt es mind. eine Aussagegruppe für die die klass. Logik selbst eine Ausnahme zuläßt. Wenn letzteres der Fall wäre, dann hätte ich mE eine Chance zu zeigen, dass die klass. Logik eben 2 Ausnahmen zulassen müßte: für indexikalische Aussagen und für selbstbezügliche Aussagen der Form "Dieser Satz ist falsch" oder "Es gibt keine Wahrheit".

@Pippen

Hi.

Zitat:

Die Frage wäre, wie man einen solchen Widerspruch definiert...wird er wirklich nur derart definiert, dass ein W. dann vorliegt "wenn daraus beliebiges folgt"? Das scheint mir eine petitio principii-Def. zu sein, weil sie bereits einen Widerspruch voraussetzt, um dessen Erklärung es aber gerade geht.

Nein, die Definition ist nicht zirkulär, das habe ich dir weiter oben bereits erklärt. Dein Argument war, dass die Definition „ein Satz S ist widersprüchlich genau dann, wenn aus ihm Beliebiges folgt“ zirkulär sei, weil man die EFQ Regel bemühen müsse, um aus einem Widerspruch Beliebiges zu folgern, die EFQ-Regel selber aber bereits voraussetze, dass man weiß, was ein Widerspruch ist (denn sie besagt, dass aus Widerspruch Beliebiges folgt). Wie ich jedoch schrieb, ist EFQ als Regel eine abgeleitete Regel. Ich habe dir sogar ein Beispiel gegeben, wie man aus einem widersprüchlichen Satz OHNE EFQ einen Widerspruch herleiten kann:

Zitat:

1. A und nicht-A (Dies sei gegeben.) 2. A (Folgt aus 1. mit und-Elimination.) 3. nicht-A (Folgt aus 1. mit und-Elimination.) 4. A oder B (Folgt aus 2. mit oder-Einführung.) 5. B (Folgt aus 3. und 4. mit disjunktivem Syllogismus.)

Die infrage stehende Definition von Widersprüchlichkeit eines Satzes ist vollkommen in Ordnung. (Selbstverständlich gibt es noch anderen Definitionen, etwa „ein Satz S ist widersprüchlich genau dann, wenn es einen Satz T gibt, sodass T nicht aus S folgt“, doch das läuft alles auf dasselbe hinaus.)

Zitat:

Zitat: Na genau DAS sage ich doch die ganze Zeit! Dass dein Satz (S), wenn man ihn so analysiert wie du, nicht in den Anwendungsbereich der klassischen Logik fällt, weil für ihn das Bivalenzprinzip nicht gilt. Ich nehme an, damit erübrigen sich 2. und 3. Hier missverstehst du mich wohl. Du führst hier kein Bivalenzprinzip ein sondern ein Bivalenzaxiom ein, das also in der klass. Logik immer und notwendig gelten müßte. Ist das wirklich so? Warum heißt es dann gerade "BivalenzPRINZIP"? Eine solche Logik würde - zumindest für mich - wenig Sinn machen. Schauen wir mal auf die Aussage "Heute ist Dienstag". Nach deinem Bivalenzaxiom müßte man dieser Aussage sofort einen Wahrheitswert (w,f) zuweisen können. Tut man das, macht man aber die betreffende Logik völlig wertlos, weil man eben o.g. Aussage nicht bewerten kann ohne weitere Infos darüber zu haben, wie "heute" gemeint ist (wenn zB "heute" wirklich heute heißt, dann wäre die Aussage falsch, weil heute Montag ist). Die Logik würde hinsichtlich solcher Aussagen trivial und beliebig werden. Solche Aussagen - so könnte ich mir vorstellen - nimmt daher die klass. Logik ganz bewußt (in Form einer negativen Definition) aus ihrem Anwendungsbereich heraus. Solche Aussagen können dann auch nicht mehr widersprüchlich sein, weil aus ihnen gar nichts folgen kann (weil sie keinen Wahrheitswert haben können, mit Hilfe dessen man ja erst folgern kann). Dasselbe gilt nun - so behaupte ich - auch für Aussagen der Form "Der Satz ist falsch", weil auch dort eine Festlegung des Wahrheitswertes für den Satz unmöglich ist.

Ich habe keine Ahnung, worauf du hinaus willst (ein Bivalenzaxiom gibt es übrigens nicht). Daher erkläre ich einfach, worauf ICH hinaus will: Eine formale Sprache L (eine formale Logik) ist eine Menge von Sätzen. Von diesen Sätzen sind einige Theoreme, einige Widersprüche und einige weder das eine noch das andere. Nehmen wir an, die formale Sprache M sei eine klassische Logik ist. Sie erfüllt damit zwei Bedingungen:

1. Das Bivalenzprinzip, wonach jeder Satz entweder wahr oder falsch ist (und nicht beides und auch nicht keines).

2. Das Extensionalitätsprinzip, wonach der Wahrheitswert eines komplexen Satzes durch die Wahrheitswerte seiner atomaren Subsätze (Subformeln) eindeutig bestimmt ist. (Das soll hier aber nicht weiter interessieren.)

Dass für unsere Sprache M das Bivalenzprinzip gilt, bedeutet, dass jeder Satz von M (zu Erinnerung: M ist eine Menge von Sätzen) entweder wahr oder falsch ist (und nicht beides und auch nicht keines).

Nehmen wir nun an, wir hätten einen Satz S, der nicht entweder wahr oder falsch ist (vielleicht ist er wahr und falsch oder keines von beiden oder etwas Drittes). Gehört dieser Satz S zu M (zu den Sätzen, aus denen M besteht) oder nicht?

Wir wissen, dass, wenn ein Satz zu M gehört, er entweder wahr oder falsch ist. Daraus folgt, dass ein Satz, der NICHT entweder wahr oder falsch ist, NICHT zu M gehört. Weiterhin wissen wir, dass S NICHT entweder wahr oder falsch ist. Daraus folgt, dass also S NICHT zu M gehört.

Statt nun zu sagen, S gehöre nicht zu M (S sei keiner der Sätze, aus denen M besteht), könnte man aber auch sagen, dass S nicht in den Anwendungsbereich von M falle oder dass M nicht auf S anwendbar sei oder dass S mit M nicht adäquat analysierbar sei.

Zitat:

Solche Aussagen können dann auch nicht mehr widersprüchlich sein, weil aus ihnen gar nichts folgen kann (weil sie keinen Wahrheitswert haben können, mit Hilfe dessen man ja erst folgern kann).

Nope, denn man unterscheidet zwei Folgerungsbeziehungen: die semantische und die syntaktische. Dass ein Satz B aus einem Satz A semantisch folgt, bedeutet, dass, wann immer A wahr ist, auch B wahr ist. Hier also wird Wahrheit vorausgesetzt. Dass ein Satz B aus einem Satz A syntaktisch folgt, bedeutet hingegen, dass sich B mittelst der gegebenen Schlussregeln aus A herleiten lässt. Hier wird Wahrheit nicht vorausgesetzt. Im Falle der Definition, dass ein Satz widersprüchlich ist genau dann, wenn aus ihm Beliebiges folgt, ist die syntaktische Folgerungsbeziehung gemeint.

Zitat:

Die entscheidende Frage lautet daher: Ist es richtig, dass die klass. Logik absolut allen Aussagen der Form S-P-O einen Wahrheitswert zuschreibt oder gibt es mind. eine Aussagegruppe für die die klass. Logik selbst eine Ausnahme zuläßt.

Da ich, wie gesagt, keine Ahnung habe, worauf du hinaus willst (ich sehe nach wie vor nicht, worin du mir eigentlich widersprichst), schreibe ich den Kram von oben hier einfach nochmals in anderen Worten nieder: Das Bivalenzprinzip (BP) besagt, dass JEDER Satz entweder wahr oder falsch ist. Das ist eine Allaussage über ALLE Sätze. ABER: das BP wird in der modernen Logik üblicherweise an eine formale Sprache L gekoppelt. Gekoppelt an eine formale Sprache L besagt es dann nur noch, dass jeder Satz VON L entweder wahr oder falsch ist. Was mit den Sätzen ist, die nicht zu L gehören, darüber kann das an L gekoppelte BP nichts sagen (diese außerhalb von L liegenden Sätze können dann wahr, falsch, beides, keines oder sonstwas sein). Für die Sätze von L jedoch gibt es KEINE AUSNAHMEN, JEDER Satz von L ist entweder wahr oder falsch. Ein Satz, der nicht entweder wahr oder falsch ist, gehört schlichtweg nicht zu L (ist mit L nicht adäquat analysierbar, fällt nicht in den Anwendungsbereich von L).

Hallo Soso,

ich habe zwei Verständnisfragen und eine weitere Frage:

A) . Du schriebst zum Thema Widerspruchsdarstellung ohne EFQ-Nutzung:

1. A und nicht-A (Dies sei gegeben.)
2. A (Folgt aus 1. mit und-Elimination.)
3. nicht-A (Folgt aus 1. mit und-Elimination.)
4. A oder B (Folgt aus 2. mit oder-Einführung.)
5. B (Folgt aus 3. und 4. mit disjunktivem Syllogismus.)

1., 2. und 3. kann ich mir vorstellen. 4. und 5. kann ich mir irgendwie nicht vorstellen...wie da auf einmal B mit "oder-Einführung" folgen soll. Wieso kann aus "A und nicht-A" auf einmal ein B folgen? Kann man das "kindergerecht" erklären oder zu 1.-5. ein Beispiel bringen?

B) Was sagt die klass. Logik über einen Satz S "Heute ist Dienstag" und einen Satz S1 "§§$ ist §§$1". Wenn ich dich richtig verstehe, dann müßte diesen Sätzen ein w oder f zugewiesen werden können, ansonsten gilt für sie die klass. Logik nicht. Ist das richtig? Liege ich richtig, wenn die beiden o.g. Sätze daher nicht mehr von der klass. Logik aus betrachtet werden können?

Ich stimme dir übrigens mit dem Bivalenzprinzip durchaus zu. Man kann das so sehen wie du. Dann wäre die Folgefrage:

C) "Kann man Sätze der Art "Es gibt keine Wahrheit" oder "Dieser Satz ist falsch" als unbestimmt festlegen, so dass aus diesen Sätzen nichts mehr folgt und sie daher nicht mehr als widersprüchlich gelten könen oder wäre das in keiner Logik machbar (bzw. folgten daraus untragbare Konsequenzen). Mich würde hier deine grobe Einschätzung interessieren, ob das schon von Anfang an unmöglich erscheint. ME sollte es möglich sein, da o.g. Sätze sich formalisieren lassen und auch sonst einiges dafür spricht, diese Sätze wie die Division durch Null einfach wegzulassen statt sie unbedingt in ein System mit hineinpressen zu wollen. Allerdings scheinen mir selbst parakons. Logiken Sätze wie "Dieser Satz ist falsch" NICHT als "unlösbar, unbestimmbar" zu sehen, sondern irgendwie noch daraus und damit noch folgern zu wollen.

@Pippen

Hi.

Zu den beiden Schlussregeln:

Man kann diese Schlussregeln semantisch recht elegant motivieren, d.h. indem man die Wahrheitsbedingungen bestimmter Sätze betrachtet. Das Gerede von Wahrheitsbedingungen ist aber nur eine didaktische Maßnahme; es ist für die Anwendung der fraglichen Schlussregeln nicht notwendig, dass man irgendwelche Zeichenketten als Sätze und damit als wahrheitswertfähige Zeichenketten auffasst. Letztlich besagen die Schlussregeln einfach „wenn man in einer Zeile die und die Zeichenkette hat, dann darf man mit Bezug auf diese Zeile die und die Zeichenkette hinschreiben“ (von Wahrheit ist hier also nicht die Rede).

Die Alternationseinführung:

A
A oder B

Beispiel:

Es schneit.
Es schneit oder Elefanten leben nicht nur im Zoo.

Erklärung:

Ein Satz, der das Schema 'A oder B' erfüllt, ist wahr genau dann, wenn wenigstens eines der beiden Disjunkte (A ist das eine Disjunkt, B das andere) wahr ist. Angenommen, A ist wahr, dann ist 'A oder B', ganz gleich, wofür B steht (d.h. ganz gleich, ob B wahr oder falsch ist), ebenfalls wahr, denn aufgrund der Wahrheit von A ist eines der beiden Disjunkte wahr.

Der disjunktive Syllogismus:

A oder B
nicht-A
B

Beispiel:

Platon wurde um 1900 geboren oder Aristoteles ist der Erfinder der Prädikatenlogik.
Es ist nicht der Fall, dass Platon um 1900 geboren wurde.
Also ist Aristoteles der Erfinder der Prädikatenlogik.

Erklärung:

Wie schon oben gesagt ist ein Satz, der das Schema 'A oder B' erfüllt, wahr genau dann, wenn wenigstens eines der beiden Disjunkte wahr ist. Angenommen, 'A oder B' ist wahr, dann ist entweder A wahr oder B ist wahr oder beide sind wahr. Angenommen weiter, 'nicht-A' ist auch wahr, d.h. A ist falsch. Da eines der beiden Disjunkte in 'A oder B' wahr sein muss und A falsch ist, muss also B wahr sein.

Ein Beispiel für den kompletten Schluss:

1. Angenommen, „es hagelt und es hagelt nicht“ ist wahr.
2. Dann ist auch „es hagelt“ wahr.
3. Außerdem ist dann auch „es hagelt nicht“ wahr, d.h. „es hagelt“ ist falsch.
4. Weil „es hagelt“ wahr ist, ist auch „es hagelt oder Angie Merkel kann fliegen“ wahr.
5. Weil „es hagelt oder Angie Merkel kann fliegen“ wahr ist, aber „es hagelt“ falsch ist, muss „Angie Merkel kann fliegen“ wahr sein.

Zitat:

B) Was sagt die klass. Logik über einen Satz S "Heute ist Dienstag" und einen Satz S1 "§§$ ist §§$1". Wenn ich dich richtig verstehe, dann müßte diesen Sätzen ein w oder f zugewiesen werden können, ansonsten gilt für sie die klass. Logik nicht. Ist das richtig? Liege ich richtig, wenn die beiden o.g. Sätze daher nicht mehr von der klass. Logik aus betrachtet werden können?

Sätze, welche indexikalische Ausdrücke enthalten, können mit bestimmten klassischen Logiken analysiert werden. Was z.B. Kaplan mit seiner indexikalischen Logik macht, ist, zunächst das herauszufiltern, was mit einer Äußerung gesagt wird, nämlich die sog. Proposition, um diese dann zu bewerten. Angenommen, „heute ist Dienstag“ wird am 24.08.2055 geäußert, dann drückt „heute ist Dienstag“ die Proposition aus, dass der 25.08.2055 ein Dienstag ist. Ist dieses Datum ein Dienstag, dann ist die am 25.08.2055 gemachte Äußerung „heute ist Dienstag“ wahr, ansonsten nicht. Über die Zeichenkette „§§$ ist §§$1“ kann keine Logik etwas sagen, da sie kein Satz ist.

Was man tut, wenn man einen Satz S der Umgangssprache mit einer formalen Sprache L analysiert, ist, den Satz S nach L zu übersetzen. Auf der einen Seite hat man die Umgangssprache mit ihren Sätzen, auf der anderen eine formale Sprache L mit deren Sätzen. Den Satz S mit L zu formalisieren bedeutet also, einen Satz F aus L zu finden, der eine Übersetzung von S ist. F kann man dann mittelst L untersuchen (etwa, ob er allgemeingültig, widersprüchlich oder erfüllbar ist, was aus F folgt usw.) und, wenn F etwa widersprüchlich ist, darauf schließen, dass demnach auch S widersprüchlich ist, da S und F Übersetzungen voneinander sind. Hat man jedoch solche Zeichenketten wie „§§$ ist §§$1“ muss man eben schauen, ob es einen Satz in L gibt, der Übersetzung davon sein könnte. Da aber „§§$ ist §§$1“ selber schon kein Satz ist, braucht man auch nicht nach einer Übersetzung zu suchen, denn übersetzen kann man nur Sätze (und in gewissem Sinne natürlich auch Wörter, aber „§§$ ist §§$1“ ist freilich nicht einmal ein Wort, sofern man Wörter als Bedeutungsträger auffasst).

Ein Beispiel für einen Satz, den man besser vom Bivalenzprinzip ausschließen sollte, hat Aristoteles selber schon gegeben. Ladys and gentlemen, introducing:

(A) Morgen findet eine Seeschlacht statt.

Wenn man behauptet, dass (A) entweder wahr oder falsch ist, bekennt man sich zum Determinismus. Einen Deterministen mag das nicht weiter stören, allen anderen könnte das übel aufstoßen. Zwar hat Aristoteles ein Argument vorgebracht, wonach die Annahme, für (A) gelte das Bivalenzprinzip, nicht zum Determinismus führe, aber das ist nicht sonderlich überzeugend. Anders hat es einige tausend Jahre später Lukasiewicz gemacht, der einfach einen dritten Wahrheitswert unbestimmt eingeführt hat.

In diesem Sinne muss man, wenn man einen Satz S formalisiert, einfach schauen, was man für Intuitionen zu S hat. Bin ich, was etwa (A) angeht, der Meinung, dass er wahr oder falsch sei? Dann kann ich ihn in die klassische Aussagenlogik übersetzen. Oder bin ich vielleicht der Meinung, dass (A) unbestimmt sei? Dann sollte ich ihn in eine Logik übersetzen, für die das Bivalenzprinzip nicht gilt, wie etwa die dreiwertige Logik von Lukasiewicz. In jedem Falle gilt: ist man der Meinung, dass ein Satz S vom Bivalenzprinzip ausgeschlossen werden solle, dann kann man ihn nicht in eine klassische Logik übersetzen (d.h. man kann ihn nicht mit einer klassischen Logik analysieren).

Zitat:

C) "Kann man Sätze der Art "Es gibt keine Wahrheit" oder "Dieser Satz ist falsch" als unbestimmt festlegen, so dass aus diesen Sätzen nichts mehr folgt und sie daher nicht mehr als widersprüchlich gelten könen oder wäre das in keiner Logik machbar (bzw. folgten daraus untragbare Konsequenzen).

Ich frage mich, warum du Sätze, aus denen eh nichts folgen solle, überhaupt formalisieren willst. Wenn du die entsprechende formale Sprache so konstruierst, dass aus Sätzen wie „dieser Satz ist falsch“ nichts folgt, dann kann die dir Analyse dieses Satzes mit der fraglichen formalen Sprache auch nicht mehr sagen, als du nicht sowieso schon vorher festgelegt hast: nämlich dass aus diesem Satz nichts folgt. Das Ganze wäre ziemlich witzlos.

Der Grund, warum du ständig nach Formalisierungen fragst, ist sicherlich – wenn ich das richtig sehe – Phantoms beständiges Nachfragen, nach welchen logischen Regeln in deinen Täuschergottargumenten eigentlich geschlossen wird. Dass du zumindest versuchst, dieser Aufforderung nachzukommen, ist sicher löblich (wenn ich auch nach wie vor nicht verstehe, warum du dir nicht einfach mal eine Einführung in die formale Logik zulegst; du hast doch hier im Forum genügend Leute, die dir etwaige Fragen beantworten könnten), aber ich meine, dass du die Sache falsch angehst.

Würdest du einfach nur eine Logik L konstruieren (lassen), mit welcher sich dein Täuschergottargument IRGENDWIE vollständig formalisieren lässt und stelltest diese dann vor, würde sofort der Einwand kommen, dass der einzige Grund für L offenbar nur und ausschließlich das Täuschergottargument sei (weil L vermutlich so derart seltsam sein würde, dass man es für nichts anderes gebrauchen könnte) und dass L schlicht bestimmten Intuitionen widerspräche (eben das, was auch so schon gegen dein Täuschergottargument von allen Seiten eingewendet wird). So ist das wesentliche Problem mit deinem Täuschergottargument doch gar nicht, dass du es nicht formalisieren kannst (Gott bewahre, wenn man ein Argument erst formalisieren können müsste, bevor man es vortragen darf), sondern dass du aus Sicht deiner Opponenten für gewisse strittige Aussagen darin keine guten Gründe angeben kannst. In diesem Sinne kann das Ziel einer Formalisierung des Täuschergottarguments nicht sein, es IRGENDWIE zu formalisieren, sondern zu zeigen, dass aus UNSTRITTIGEN Annahmen mit UNSTRITTIGEN Schlussregeln folgt, dass wir uns eben immer irren können. Wenn du daher fragst, ob man gemeinhin als widersprüchlich angenommene Sätze so formalisieren könne, dass sie nicht widersprüchlich sind oder wenn du eine Logik haben willst, in der jeder Satz kontingent ist und keiner allgemeingültig oder widersprüchlich, so setzt du meines Erachtens nach schlichtweg an der falschen Stelle an, denn nicht um eine Formalisierung deines Täuschergottargumentes geht es, sondern um die Frage nach seiner Plausibilität. Die Einwände, die JETZT schon gegen dein Täuschergottargument vorgebracht werden, wirst du nicht loswerden, wenn du dein Argument nur IRGENDWIE formalisierst.

Hi Soso.

Vielen Dank für deine Ausführungen zu den Schlussregeln, die mich nur umso mehr überzeugen kein Buch über formale Logik anzufassen. Denn wo du schön erklärst, da krakeln die üblichen Bücher nur ihre Zeichen hin und nach anfänglich ein oder zwei Beispielen wird man "allein gelassen". Aufgrund deiner Erklärungen verstehe ich jetzt (im Ansatz) auch, warum zB parakons. Logiken Disjunktionen nicht erlauben, um damit die Trivialität auszuschließen, was aber auf der anderen Seite natürlich recht "gekünstelt" wirkt. So kann man es schaffen, mit Widersprüchen (die man meinetwegen als unbestimmt bezeichnet) weiterzufolgern OHNE das die Logik trivial wird. Die parakons. Logiken sagen quasi: Bei uns gilt nur 1.-3., nicht 4. & 5. und so können wir mit 1.-3. (wie auch immer) weiterschließen.

Zitat:

Ich frage mich, warum du Sätze, aus denen eh nichts folgen solle, überhaupt formalisieren willst. Wenn du die entsprechende formale Sprache so konstruierst, dass aus Sätzen wie „dieser Satz ist falsch“ nichts folgt, dann kann die dir Analyse dieses Satzes mit der fraglichen formalen Sprache auch nicht mehr sagen, als du nicht sowieso schon vorher festgelegt hast: nämlich dass aus diesem Satz nichts folgt. Das Ganze wäre ziemlich witzlos.

Naja, ich wollte halt eine Logik, die bei solchen Sätzen sagt: Da mach ich nicht mehr mit, quasi eine Art Logik, wo eben bis auf die Ausnahme von Paradoxien der Form "dieser satz ist falsch" das Bivalenzprinzip (normal) gilt. Aus Sätzen der Art "dieser Satz ist falsch" soll aber nicht mehr weitergeschlossen werden dürfen. Wäre eine solche Logik nicht auch aus deiner Sicht den anderen überlegen, weil sie auf der einen Seite die (nunmal nicht wegzudiskutierende) Widersprüchlichkeit des Satzes akzeptiert, aber auf der anderen Seite sich nicht gleich soweit herauslehnt, daraus noch Weiteres (parakons. Logik) oder Beliebiges (klass. Logik) folgern zu wollen, sondern einfach dort abbricht? Es gibt doch auch in der MAthematik ein "nicht lösbar", warum nicht auf in formalen Sprachen? Was spräche dagegen?

Zitat:

Der Grund, warum du ständig nach Formalisierungen fragst, ist sicherlich – wenn ich das richtig sehe – Phantoms beständiges Nachfragen, nach welchen logischen Regeln in deinen Täuschergottargumenten eigentlich geschlossen wird. Dass du zumindest versuchst, dieser Aufforderung nachzukommen, ist sicher löblich (wenn ich auch nach wie vor nicht verstehe, warum du dir nicht einfach mal eine Einführung in die formale Logik zulegst; du hast doch hier im Forum genügend Leute, die dir etwaige Fragen beantworten könnten), aber ich meine, dass du die Sache falsch angehst. Würdest du einfach nur eine Logik L konstruieren (lassen), mit welcher sich dein Täuschergottargument IRGENDWIE vollständig formalisieren lässt und stelltest diese dann vor, würde sofort der Einwand kommen, dass der einzige Grund für L offenbar nur und ausschließlich das Täuschergottargument sei (weil L vermutlich so derart seltsam sein würde, dass man es für nichts anderes gebrauchen könnte) und dass L schlicht bestimmten Intuitionen widerspräche (eben das, was auch so schon gegen dein Täuschergottargument von allen Seiten eingewendet wird). So ist das wesentliche Problem mit deinem Täuschergottargument doch gar nicht, dass du es nicht formalisieren kannst (Gott bewahre, wenn man ein Argument erst formalisieren können müsste, bevor man es vortragen darf), sondern dass du aus Sicht deiner Opponenten für gewisse strittige Aussagen darin keine guten Gründe angeben kannst. In diesem Sinne kann das Ziel einer Formalisierung des Täuschergottarguments nicht sein, es IRGENDWIE zu formalisieren, sondern zu zeigen, dass aus UNSTRITTIGEN Annahmen mit UNSTRITTIGEN Schlussregeln folgt, dass wir uns eben immer irren können. Wenn du daher fragst, ob man gemeinhin als widersprüchlich angenommene Sätze so formalisieren könne, dass sie nicht widersprüchlich sind oder wenn du eine Logik haben willst, in der jeder Satz kontingent ist und keiner allgemeingültig oder widersprüchlich, so setzt du meines Erachtens nach schlichtweg an der falschen Stelle an, denn nicht um eine Formalisierung deines Täuschergottargumentes geht es, sondern um die Frage nach seiner Plausibilität. Die Einwände, die JETZT schon gegen dein Täuschergottargument vorgebracht werden, wirst du nicht loswerden, wenn du dein Argument nur IRGENDWIE formalisierst.

Da stimme ich dir zu, daher habe ich auch das bisherige Täuschergottszenario fallen gelassen, weil es offensichtlich nicht plausibel genug formuliert ist UND durch die Suggestion von log. Folgerungen nur noch mehr Fragen aufwirft, die von eigentlichen Thema ablenken. Ich werde daher Wohl oder Übel in Zukunft in die von dir schon Monate vorher suggerierte Richtung gehen (müssen), weil dafür einfach die besseren Gründe sprechen....

Trotzdem wurmt mich natürlich insbesondere der Vorwurf, Sätze wie "Es gibt keine Wahrheit" oder "Wir können nichts wissen" seien widersprüchlich. Das sind zugegeben so schöne Sätzchen, die man irgendwo auf Plakate schreiben oder mit denen man die ein oder andere Blondine überzeugen kann, doch nach der Party mit "nach Hause zu kommen" ...nein im Ernst, ich denke, du weißt was ich meine, damit kann man sich halt besser ausdrücken als durch Schweigen und nur komische Fragen stellen. Daher suche ich eine Logik (formale Sprache), in der "Es gibt keine Wahrheit" oder "Dieser Satz ist falsch) als selbstbezüglicher Satz 1. als Aussage akzpeptiert und 2. als nicht widersprüchlich angesehen wird ohne das damit viele andere einsichtige Prinzipien verletzt werden. Und auch wenn ich keine Ahnung von formalen Sprachen habe, so hoffe ich doch, dass man ohne viel "Nebengeräusche" den Satz "Es gibt keine Wahrheit" allg. formalisieren und dann als "n.l." erklären kann, eben weil der Widerspruch in besondere Weise besteht (und im Gegensatz zu Widersprüchen wie "A ist in Berlin und nicht in Berlin".) ME sagt keine uns bekannte Logik, dass die Lügnerparadoxie n.l. ist, sondern alle folgern daraus - die einen beliebiges, die anderen whatever bestimmtes.

Hi.

Zitat:

Vielen Dank für deine Ausführungen zu den Schlussregeln, die mich nur umso mehr überzeugen kein Buch über formale Logik anzufassen. Denn wo du schön erklärst, da krakeln die üblichen Bücher nur ihre Zeichen hin und nach anfänglich ein oder zwei Beispielen wird man "allein gelassen".

Vielleicht dann einfach mal nicht die üblichen Bücher lesen? Aber im Ernst: ein wenig anstrengen muss man sich schon, da kommt man nicht umhin. Eine formale Sprache ist eben genau das: eine Sprache. Sie hat eigene Schriftzeichen, eine eigene Grammatik und eben auch eine eigene Semantik. Wenn man formale Logik im Schlaf lernen könnte, na dann wäre wir vermutlich alle Logiker, nicht wahr?

Zitat:

Naja, ich wollte halt eine Logik, die bei solchen Sätzen sagt: Da mach ich nicht mehr mit, quasi eine Art Logik, wo eben bis auf die Ausnahme von Paradoxien der Form "dieser satz ist falsch" das Bivalenzprinzip (normal) gilt. Aus Sätzen der Art "dieser Satz ist falsch" soll aber nicht mehr weitergeschlossen werden dürfen. Wäre eine solche Logik nicht auch aus deiner Sicht den anderen überlegen, weil sie auf der einen Seite die (nunmal nicht wegzudiskutierende) Widersprüchlichkeit des Satzes akzeptiert, aber auf der anderen Seite sich nicht gleich soweit herauslehnt, daraus noch Weiteres (parakons. Logik) oder Beliebiges (klass. Logik) folgern zu wollen, sondern einfach dort abbricht? Es gibt doch auch in der MAthematik ein "nicht lösbar", warum nicht auf in formalen Sprachen? Was spräche dagegen?

Eine einfach Möglichkeit, eine formale Sprache zu konstruieren, in der aus bestimmten Sätzen nicht geschlossen werden darf, wäre einfach, als einziges Axiom „p“ zu nehmen und völlig auf Schlussregeln zu verzichten. Dann könnte man argumentieren, dass „p“ eben die Formalisierung von (S) „dieser Satz ist falsch“ sei. Das aber wäre eben die witzlose Sache, die ich oben angesprochen habe.

Was dir, wie du schreibst, vorschwebt, ist aber sowieso eher eine formale Sprache, die im Grunde klassisch ist, aber gewisse Ausnahmen zulässt. Wie man das Bewerkstelligen soll, kann ich aber so ad hoc nicht beantworten. Z.B. gilt in klassischen Logiken, dass jeder Satz aus sich selbst folgt. (S) darf aber nicht aus sich selbst folgen, denn sonst folgt ja etwas aus ihm. Um aber das Folgen aus sich selbst für (S) zu verbieten, müsste man (S) von vornherein einen Sonderstatus einräumen und das ist dann wieder witzlos. Was man machen müsste, wäre, Sätzen wie (S) eben nicht schon von vornherein einen Sonderstatus einzuräumen, sondern sie wie alle anderen Sätze zu behandeln. Die formale Sprache SELBER müsste dann Sätzen wie (S) ihren Sonderstatus verleihen, aber ich hege Zweifel daran, dass sich das Bewerkstelligen lässt. Würde es etwa in der fraglichen formalen Sprache Sätze geben, die nicht aus sich selbst folgen, dann gilt nicht, dass alle Sätze aus sich selbst folgen. Der Satz „nicht alle Sätze folgen aus sich selbst“ aber ist widersprüchlich*, insofern bräuchte man eine parakonsistente Metasprache, womit die Metasprache dann schlichtweg unverständlich würde (denn was soll es z.B. heißen, dass ein Satz aus sich selbst folgt und nicht aus sich selbst folgt?).

*Dass ein Satz B aus einem Satz A folgt, bedeutet, dass jedes Modell von A ein Modell von B ist (ein Modell für einen Satz A ist, grob gesagt, einfach ein Beispiel, in dem A wahr ist). Der Satz „es gibt einen Satz S, sodass S nicht aus S folgt“ ist also gleichbedeutend mit „es gibt einen Satz S, sodass es ein Modell für S gibt, welches kein Modell für S ist“. Jedes Modell für S ist also gleichzeitig kein Modell für S. Nun könnte man argumentieren, dass, weil Sätze wie (S) sowieso weder wahr noch falsch sein können, es demnach auch gar keine Modell für Sätze wie (S) geben könne. Aber dennoch gilt ja dann offensichtlich, dass nicht jeder Satz aus sich selbst folgt, was widersprüchlich ist.

Hi.

Zitat:

Eine einfach Möglichkeit, eine formale Sprache zu konstruieren, in der aus bestimmten Sätzen nicht geschlossen werden darf, wäre einfach, als einziges Axiom „p“ zu nehmen und völlig auf Schlussregeln zu verzichten. Dann könnte man argumentieren, dass „p“ eben die Formalisierung von (S) „dieser Satz ist falsch“ sei. Das aber wäre eben die witzlose Sache, die ich oben angesprochen habe.

Genau das schwebt mir vor. Du siehst das als sinnlos an, aber warum eigentlich? Schauen wir uns dein Argument an: "Wenn du die entsprechende formale Sprache so konstruierst, dass aus Sätzen wie „dieser Satz ist falsch“ nichts folgt, dann kann die dir Analyse dieses Satzes mit der fraglichen formalen Sprache auch nicht mehr sagen, als du nicht sowieso schon vorher festgelegt hast: nämlich dass aus diesem Satz nichts folgt." Gilt nicht für JEDES logische Axiom, dass dadurch in der jeweiligen formalen Sprache nur das gesagt & analysiert werden kann, was vorher durch das Axiom (unmittelbar oder mittelbar) so festgelegt wurde?

Mehr noch: Deine Sprache hätte einen unauflösbaren Widerspruch mit Sätzen wie (S), meine Sprache dagegen wäre insofern konsistenter, weil ich Sätzem wie (S) von Vornherein einen Sonderstatus verleihe. Ist es nicht das Ziel, eine möglichst widerspruchsfreie formale Sprache zu konstruieren? Ich muss immer wieder auf die Division durch Null zu sprechen kommen, die ich als schöne Metapher auf das sehe, was mir vorschweben würde. Auch dort ist es ja so, dass das System der Arithmetik nicht aufgegeben, sondern nur die Div. durch Null für unzulässig erklärt wird, um ansonsten konsistent zu bleiben. Da könnte man nämlich genau dein Argument "Diese Festlegung ist witzlos" auch anbringen, was aber nicht gemacht wird, weil eben nur diese Festlegung ein konsistent(er)es System erhält. Und DAS sehe ich als ganz wichtiges Ziel jeder Logik/Mathematik.

Hi.

Zitat:

Genau das schwebt mir vor. Du siehst das als sinnlos an, aber warum eigentlich? Schauen wir uns dein Argument an: "Wenn du die entsprechende formale Sprache so konstruierst, dass aus Sätzen wie „dieser Satz ist falsch“ nichts folgt, dann kann die dir Analyse dieses Satzes mit der fraglichen formalen Sprache auch nicht mehr sagen, als du nicht sowieso schon vorher festgelegt hast: nämlich dass aus diesem Satz nichts folgt." Gilt nicht für JEDES logische Axiom, dass dadurch in der jeweiligen formalen Sprache nur das gesagt & analysiert werden kann, was vorher durch das Axiom (unmittelbar oder mittelbar) so festgelegt wurde?

Sicher, aber das Problem liegt darin, dass wir als Menschen keine Rechenmaschinen sind. Z.B. kann man die klassische Aussagenlogik mit drei Axiomen und zwei Schlussregeln vollständig axiomatisieren. Ist dies gegeben, dann ist damit auch schon festgelegt, ob etwa „((((p v q) -> ~r) & (p <-> r)) & ~(p & ~r)) -> ((p & q) v (p <-> ~s))“ ein Theorem ist oder nicht. Ebenso ist damit auch festgelegt, ob diese lange Formel aus „((p -> q) & (~p v r)) -> ((~(~p v q)) <-> r)“ folgt oder nicht. Dennoch aber kenne zumindest ich die Antworten auf die beiden Fragen nicht, da mir die Formeln viel zu komplex sind, als dass ich die Antworten unmittelbar einsehen könnte. Um die beiden Fragen zu beantworten, müsste ich den Kram erst ausrechnen oder einen Theoremtester bemühen. In diesem Sinne kann ich, obwohl die drei Axiome und die zwei Schlussregeln die Antworten auf meine Fragen schon vorher eindeutig festgelegt haben und ich die Axiome und Schlussregeln auch kenne, dennoch etwas neues lernen, indem ich die fragliche formale Sprache verwende. Es ist dieselbe Tatsache, die Tatsache, dass wir als Menschen keine Rechenmaschinen sind, warum man überhaupt eine formale Logik bemüht, um Argumente zu formalisieren: weil man in der Regel gerade wissen will, OB denn die Konklusion des Argumentes tatsächlich nicht mehr sagt als die Prämissen und das Argument damit also gültig ist.

Eine Logik hingegen, die als Axiom nur „p“ und keinerlei Schlussregeln enthält, kann mir nichts Neues zeigen. Ich formalisiere irgendeinen Satz, weil ich der Meinung bin, aus ihm dürfe nichts folgen, als „p“ und heraus kommt damit, dass also aus „p“ nichts folgt. Tolle Sache, wusste ich aber schon. Da dies darüber hinaus das einzige ist, was mir diese spezielle Logik über den fraglichen Satz sagt, kann sie mir damit nichts sagen, was ich nicht schon vorher weiß. Ergo kann ich mir den ganzen Kram auch sparen.

Zitat:

Mehr noch: Deine Sprache hätte einen unauflösbaren Widerspruch mit Sätzen wie (S), meine Sprache dagegen wäre insofern konsistenter, weil ich Sätzem wie (S) von Vornherein einen Sonderstatus verleihe.

Hier bringst du etwas durcheinander (mag vielleicht auch daran liegen, dass ich den Begriff der formalen Sprache nicht immer im selben Sinne gebrauche). Eine formale Sprache ist inkonsistent, wenn sie einen Widerspruch ALS THEOREM enthält. Zwar sagt die klassische Logik, dass Sätze wie „dieser Satz ist falsch“ widersprüchlich seien (sofern man hier nicht Tarski o.a. bemüht), aber sie enthält solche Sätze nicht als Theoreme. Daher gibt es hier kein Problem.

PS: Der Begriff „konsistent“ ist nicht steigerbar^^

Zitat:

Original von -Soso- Eine Logik hingegen, die als Axiom nur „p“ und keinerlei Schlussregeln enthält, kann mir nichts Neues zeigen. Ich formalisiere irgendeinen Satz, weil ich der Meinung bin, aus ihm dürfe nichts folgen, als „p“ und heraus kommt damit, dass also aus „p“ nichts folgt. Tolle Sache, wusste ich aber schon.

Nun das möchte ich ja gar nicht. Ich nehme nur Sätze (S) wie "Dieser Satz ist falsch", um festzustellen, dass diese Sätze in der klass. Logik L widersprüchlich sind und zu Trivialitäten führen. Um das zu vermeiden, schaffe ich eine neue Logik L1, die (vereinfacht) sagt: Es gilt L, außer bei (S). Da gilt "unlösbar". Verstehst du? Das ist keine Logik, die nur (S) kennt und dann sagt: "So hier haben wir (S). Punkt. Schluß". Das ist eine ganz normale klass. Logk, in der man - wie üblich - schlußfolgern kann, aber eben nicht mit Satztypen (S). DAS wäre der EINZIGSTE Unterschied zu klass. Logik, so wie du sie erklärst. Ich frage mich, warum man das nicht macht. Klar, (S) - aber nur!!! (S) - wird bei dieser Logik ausgeklammert, aber auch ihr klass. Logiker könnt ja mit (S) nichts wirklich anfangen, also warum nicht gleich aus dem System "entfernen"?

p.s. Tarksis Lösung von solchen Widersprüchen ist inakzeptabel. "Was erlauben, Tarski ?" Tarksi legt praktisch fest: Es darf keine selbstbezüglichen Sätze geben. Das finde ich ja noch "plumper" als mein Versuch. Warum? Warum nicht einfach selbstbezügliche Sätze ausklammern so wie die Division durch Null? I don't get it.

Noch eine Frage: Sind die beiden Sätze "Dieser Satz ist falsch" und "Keine Aussagen sind wahr/Es gibt keine Wahrheit" beides antinomische Sätze von gleicher Qualität?

Hi.

Zitat:

Nun das möchte ich ja gar nicht. Ich nehme nur Sätze (S) wie "Dieser Satz ist falsch", um festzustellen, dass diese Sätze in der klass. Logik L widersprüchlich sind und zu Trivialitäten führen. Um das zu vermeiden, schaffe ich eine neue Logik L1, die (vereinfacht) sagt: Es gilt L, außer bei (S). Da gilt "unlösbar". Verstehst du? Das ist keine Logik, die nur (S) kennt und dann sagt: "So hier haben wir (S). Punkt. Schluß". Das ist eine ganz normale klass. Logk, in der man - wie üblich - schlußfolgern kann, aber eben nicht mit Satztypen (S). DAS wäre der EINZIGSTE Unterschied zu klass. Logik, so wie du sie erklärst. Ich frage mich, warum man das nicht macht. Klar, (S) - aber nur!!! (S) - wird bei dieser Logik ausgeklammert, aber auch ihr klass. Logiker könnt ja mit (S) nichts wirklich anfangen, also warum nicht gleich aus dem System "entfernen"?

Was genau willst du vermeiden? Dass (S) eine bestimmte klassischen Logik L trivial macht, wenn es ein Theorem derselben ist? Das vermeidet man nicht, indem man irgendwelche anderen formalen Sprachen konstruiert; da muss man schon bei L selber ansetzen.

Oder willst du vermeiden, dass (S) mit klassischen Logiken als widersprüchlicher Satz formalisiert wird bzw. dass man aus (S) mit klassischen Logiken weitere Sätze schlussfolgert? Wenn du das willst, dann formalisiere (S) doch einfach nicht mit einer klassischen Logik.

Zitat:

Tarksis Lösung von solchen Widersprüchen ist inakzeptabel. "Was erlauben, Tarski ?" Tarksi legt praktisch fest: Es darf keine selbstbezüglichen Sätze geben. Das finde ich ja noch "plumper" als mein Versuch. Warum? Warum nicht einfach selbstbezügliche Sätze ausklammern so wie die Division durch Null? I don't get it.

Wie ich schon mehrmals in diversen Threads erklärt habe, kann man für eine formale Sprache nicht einfach mal spontan festlegen, dass dies und jenes gelten solle, etwas anderes aber nicht. Dreht man an einem Schräubchen, verstellt sich gleich alles. Das Vorgehen Tarskis hat in diesem Sinne ganz einfach den größten Nutzen und verursacht am wenigsten Schaden und ist darüber hinaus alles andere als ad hoc. Wenn du es besser kannst: nur zu.

Zitat:

Noch eine Frage: Sind die beiden Sätze "Dieser Satz ist falsch" und "Keine Aussagen sind wahr/Es gibt keine Wahrheit" beides antinomische Sätze von gleicher Qualität?

Was bedeutet „von gleicher Qualität“?

Hi.

Was würde denn passieren, wenn ich mir einfach alle Axiome der klass. Logik L hernehme und um schlicht ein einziges!! Axiom ergänze, dass dann eine Ausnahme vom Bivalenzprinzip darstellt: Bei Sätzen - und nur bei Sätzen - wie (S) - diese Art von Sätzen könnte man sicherlich formalisieren - würde gelten: 1. (S) kommt kein Wahrheitswert zu; 2. keine weiteren Schlüsse aus (S). Wäre eine solche "Pippen-Logik" möglich? Wo sähest du Probleme? Was hindert dieses log. System am "Siegeszug"?

Zitat:

Noch eine Frage: Sind die beiden Sätze "Dieser Satz ist falsch" und "Keine Aussagen sind wahr/Es gibt keine Wahrheit" beides antinomische Sätze von gleicher Qualität?

Was bedeutet „von gleicher Qualität“?[/quote]

Also "Dieser Satz ist falsch" ist in der klass. Logik widersprüchlich. Gilt das auch für "Es gibt keine Wahrheit"?

Mit wundert, dass die klass. Logik offensichtlich nicht zwischen Widersprüchen wie "A ist in Berlin und nicht in Berlin" und "Dieser Satz ist falsch" differenziert - beides sind Widersprüche bei denen die EFQ-Regel gilt und die als "falsch" gelten, stimmts? Das finde ich komisch.

@Pippen

Hi.

Zitat:

Was würde denn passieren, wenn ich mir einfach alle Axiome der klass. Logik L hernehme und um schlicht ein einziges!! Axiom ergänze, dass dann eine Ausnahme vom Bivalenzprinzip darstellt: Bei Sätzen - und nur bei Sätzen - wie (S) - diese Art von Sätzen könnte man sicherlich formalisieren - würde gelten: 1. (S) kommt kein Wahrheitswert zu; 2. keine weiteren Schlüsse aus (S). Wäre eine solche "Pippen-Logik" möglich? Wo sähest du Probleme? Was hindert dieses log. System am "Siegeszug"?

Das größte Problem sehe ich darin, dass man Sätze, aus denen weiter geschlossen werden darf und solche, aus denen nicht weiter geschlossen werden darf, als zwei autonome Klassen von Sätzen behandeln muss, die in keiner Verbindung zu den Sätzen der jeweils anderen Klasse stehen. Das führt dazu, dass man immer ZWEI Logiken hat. Eine für die normalen Sätze und eine für die anderen.

Zitat:

Also "Dieser Satz ist falsch" ist in der klass. Logik widersprüchlich. Gilt das auch für "Es gibt keine Wahrheit"?

„dieser Satz ist falsch“ ist ein Widerspruch, „alle Sätze sind falsch“ hingegen ist nicht widersprüchlich, aber falsch.

Zitat:

Mit wundert, dass die klass. Logik offensichtlich nicht zwischen Widersprüchen wie "A ist in Berlin und nicht in Berlin" und "Dieser Satz ist falsch" differenziert - beides sind Widersprüche bei denen die EFQ-Regel gilt und die als "falsch" gelten, stimmts?

Man kann mit entsprechenden formalen Sprachen durchaus zwischen beiden Arten von Widersprüchen differenzieren. Der Punkt ist, dass beides Widersprüche sind und damit von einem formalen Standpunkt aus alles gesagt ist.

Hi.

Zitat:

Das größte Problem sehe ich darin, dass man Sätze, aus denen weiter geschlossen werden darf und solche, aus denen nicht weiter geschlossen werden darf, als zwei autonome Klassen von Sätzen behandeln muss, die in keiner Verbindung zu den Sätzen der jeweils anderen Klasse stehen. Das führt dazu, dass man immer ZWEI Logiken hat. Eine für die normalen Sätze und eine für die anderen.

Das scheint mir kein besonders fundamentaler Einwand zu sein. Wiederum das Bsp. der Arithmetik mit der Besonderheit der Div. durch Null-Regel, das zeigt wie und warum es funktionieren kann.

Ist dir bekannt, ob es eine solche Logik gibt und wie sie einzuordnen wäre (parakons.?).

Nochmal: Die Pippen-Logik besteht aus allen Axiomen der sog. klass Logik plus einem weiteren Axiom, dass Sätze der Form S (verneinend selbstbezüglich) mit dem Sonderstatus "unbestimmbar" versieht und aus denen keine Schlüsse zulässig sind, weil die Analyse ergibt, dass diese Sätze ohne das "Sonderaxiom" in einer Art und Weise widersprüchlich sind, die eine Wahrheitswertbestimmung - und damit auch weitere Folgerungen daraus - unmöglich machen.

Zitat:

„dieser Satz ist falsch“ ist ein Widerspruch, „alle Sätze sind falsch“ hingegen ist nicht widersprüchlich, aber falsch.

Der Satz "Alle Sätze sind falsch" ist falsch? M.E. ist das falsch . Denn der Satz ist wieder selbstbezüglich, d.h. wenn alle Sätze plus dieser Satz falsch wäre, dann würde er (dieser Satz) gerade die Wahrheit sprechen, was aber mit seiner Aussage in Konflikt gerät. Sind dagegen alle Sätze plus dieses Satzes wahr, dann wäre er laut seiner Aussage gleichzeitig falsch. Für mich ist der Satz daher exakt so antinomisch wie "Dieser Satz ist falsch". Auch "Es gibt keine Wahrheit" ist so ein antinomischer Satz.

Hi.

Die Division ist einfach eine Operation, die für den Teiler Null undefiniert ist. Was du vorhast, geht weit darüber hinaus, eine bestimmte Operation nicht vollständig zu definieren. Sorry, aber vergiss die Sache mit der Pippen-Logik, das klappt nicht so, wie du dir das vorstellst.

Zitat:

Ist dir bekannt, ob es eine solche Logik gibt und wie sie einzuordnen wäre (parakons.?).

Nope.

Zitat:

Der Satz "Alle Sätze sind falsch" ist falsch? M.E. ist das falsch .

Wenn gilt „alle Sätze sind falsch“, dann ist auch der Satz „alle Sätze sind falsch“ falsch. Daher folgt aus „alle Sätze sind falsch“ „es ist nicht der Fall, dass alle Sätze falsch sind“.

Aus „es ist nicht der Fall, dass alle Sätze falsch sind“ folgt hingegen nichts weltbewegendes.

Dass aber aus „alle Sätze sind falsch“ folgt „es ist nicht der Fall, dass alle Sätze falsch sind“ ist gleichbedeutend mit „es ist nicht der Fall, dass alle Sätze falsch sind“ oder, anders gewendet, der Satz „alle Sätze sind falsch“ ist falsch.

Das entsprechende Theorem dazu ist „(p -> ~p) <-> ~p“ (grob übersetzt: „wenn p, dann nicht-p“ und „nicht-p“ sind äquivalent).