Hi.
Worum geht’s? Es geht um eine Frage, die im Thread jede aussage ist wiederlegbar!? auf Seite 3 ihren Anfang nahm: die Frage, welche Vorteile der Kalkül, den Spencer Brown in den Laws of Form vorstellt, gegenüber anderen Kalkülen hat. mark stellt diesen Kalkül im Thread Formalisierte Syllogismen dar.
mark zählt folgende Vorteile auf:
Der Wahrheitswert ist im Gegensatz zu anderen Kalkülen schon eingebaut.
Der Kalkül stellt Beziehungen dar, die in anderen Kalkülen verhüllt sind.
Der Kalkül ist idiotensicher und wesentlich übersichtlicher und anwendungsfreundlicher als etwa der Kalkül des natürlichen Schließens.
Soso hingegen meint:
Der vermeintliche Kalkül von Spencer Brown ist überhaupt kein Kalkül, mit dem man formale Beweise führt (wie etwa der Kalkül des natürlichen Schließens), sondern ein semantisches Entscheidungsverfahren, mit dem man Formeln daraufhin überprüfen kann, ob sie Tautologien sind (wie etwa die Wahrheitstafelmethode, stilisierte Fallunterscheidung, Reductio-Test, Resolutionsverfahren usw.)
Die stilisierte Fallunterscheidung etwa ist genauso simpel und anwendungsfreundlich wie des Verfahren von Spencer Brown und man spart sich das Umformen und Übersetzen der Formel in die Notation desselben.
Hier nochmal die komplette Diskussion, wie sie bisher verlief:
Worum geht’s? Es geht um eine Frage, die im Thread jede aussage ist wiederlegbar!? auf Seite 3 ihren Anfang nahm: die Frage, welche Vorteile der Kalkül, den Spencer Brown in den Laws of Form vorstellt, gegenüber anderen Kalkülen hat. mark stellt diesen Kalkül im Thread Formalisierte Syllogismen dar.
mark zählt folgende Vorteile auf:
Der Wahrheitswert ist im Gegensatz zu anderen Kalkülen schon eingebaut.
Der Kalkül stellt Beziehungen dar, die in anderen Kalkülen verhüllt sind.
Der Kalkül ist idiotensicher und wesentlich übersichtlicher und anwendungsfreundlicher als etwa der Kalkül des natürlichen Schließens.
Soso hingegen meint:
Der vermeintliche Kalkül von Spencer Brown ist überhaupt kein Kalkül, mit dem man formale Beweise führt (wie etwa der Kalkül des natürlichen Schließens), sondern ein semantisches Entscheidungsverfahren, mit dem man Formeln daraufhin überprüfen kann, ob sie Tautologien sind (wie etwa die Wahrheitstafelmethode, stilisierte Fallunterscheidung, Reductio-Test, Resolutionsverfahren usw.)
Die stilisierte Fallunterscheidung etwa ist genauso simpel und anwendungsfreundlich wie des Verfahren von Spencer Brown und man spart sich das Umformen und Übersetzen der Formel in die Notation desselben.
Hier nochmal die komplette Diskussion, wie sie bisher verlief:
| Zitat: |
| Original von mark nun ist es in der tat trivial und unmittelbar einsichtig dass dieser satz "p -> ~p" keinen widerspruch darstellt sondern kontingent und der aussage "~p" äquivalent ist. besonders einfach, ich kanns mir nicht verkneifen, ist wiedermal die von spencer brown zum kalkül entwickelte idee des wittgensteinschen N-operators: p -> ~p wir dargestellt als (p)(p), wiederholungen kann man streichen, also bleibt (p) übrig. (a)b bedeutet a->b und (a) bedeutet ~a, so wird das klarer, weil ja auch bekannt ist, dass a->b äquivalent zu ~a v b ist, bzw so definiert werden kann. interessant an dem kalkül ist, dass der wahrheitswert schon eingebaut ist, () bedeutet wahr und ein wegfallen aller zeichen ein falsch bzw umgekehrt, das kann man sich raussuchen. wenn etwas anderes übrigbleibt ist es eben kontingent. ein sehr praktisches kalkül. |
| Zitat: |
| Original von -Soso- Ich kann deine Begeisterung für den Kalkül von Spencer Brown ehrlich gesagt nicht nachvollziehen. Ich habe mal vor einiger Zeit ganz flüchtig in das Büchlein hineingeschaut und hatte den Eindruck, dass dieser Kalkül weniger ein neuer Kalkül sondern vielmehr einfach nur eine andere Notation ist, die mit Negation, Disjunktion und Falsum auskommt. Seien A und B beliebige Sätze, dann bedeutet „(A)“ dasselbe wie „~A“, „AB“ dasselbe wie „A v B“ und „ “ (also ein leeres Feld) dasselbe wie „F“. Alle Formeln des Kalküls lassen sich so in die heute übliche Notation übersetzen, ebenso die Schlussregeln (wobei die Schlussregeln des Spencer Brown Kalküls in übersetzter Form allesamt in „Mainstreamregelkalkülen“ herleitbar sind; müssen sie ja auch sein). Welchen Vorteil ich hätte, statt üblicher Notation die von Spencer Brown zu verwenden, sehe ich nicht, aber vielleicht habe ich dazu auch einfach ZU flüchtig in das Büchlein geschaut. Was habe ich denn übersehen? |
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| Original von mark ja, diese büchlein ist...gewöhnungsbedürftig. wenn du kalkül und notation derart trennst, dann ist das kalkül des natürlichen schliessens auch kein kalkül sondern eine notation. und auch das hilbertkalkül ist dann kein kalkül mehr. praktisch ist nichts mehr kalkül und nur noch notation. selbstverständlich lässt sich jede notation in diesem kalkül übersetzen, keine frage. das ist keine andere logik, nicht im geringsten, das ist aussagenlogik wie sie nun mal ist. der vorteil... der ist der, den auch der sheffer strich bietet. wittgenstein sagt dazu: 5.1311 Wenn wir von pvq und ~p auf q schließen, so ist hier durch die Bezeichnungsweise die Beziehung der Satzformen von »pvq« und »~p« verhüllt. Schreiben wir aber z.B. statt »pvq« »p|q .|. p|q« und statt »~p« »p|p« (p|q = weder p, noch q), so wird der innere Zusammenhang offenbar. (Dass man aus (x).fx auf fa schließen kann, das zeigt, dass die Allgemeinheit auch im Symbol »(x).fx« vorhanden ist.) das ist ja das elementare an einem kalkül, dass es beziehungen offenbart, die anders dargestellt "verhüllt" sind. so ist ja das newtonsche kalkül zur differentialrechnung der leibnizschen eindeutig unterlegen, weshlab sich letzteres durchgesezt hat. gleichwertig sind sie trotzdem. im vorwort der amerikanischen ausgabe diese "büchleins" steht: "abgesehen von den universitären standardproblemen der logik, die das kalkül, das in diesem text vorgestellt wird, so einfach macht, dass wir uns weiter nicht mit ihnen befassen müssen,..." und das ist tatsächlich wahr. ich weiss nicht wie du das siehst, aber aussagenlogisch sätze mit dem kalkül des "natürlichen" schliessens zu beweisen, ist wirklich ein unding, in meinen augen. völlig abstrus. klar, jemand der darn firm ist... aber wer ist das schon. dieses kalkül ist wesentlich handlicher. das liegt in erster linie daran, dass man sich eben auf einen operator beschränkt (es ist tatsächlich einer, der wittgensteinsche N-Operator) und den rest der interpretation überlässt. es ist klar, dass wenn a 
b, ~(~a v ~b), ~(a -> ~b) bzw die jeweiligen vertauschten formen mit ((a)(b)) geschrieben werden (im originaltext ist sind das kreise ineinander so dass es keine reihenfolge von (a) und (b) gibt, daher das mit den vertauschungen) die beweise drastisch abgekürzt werden können. das ist ein vorteil der in diesem kalkül oder, wenn du darauf bestehst, der notation, verankert ist. darüberhinaus macht er ja noch ein paar andere bemerkungen bzw der daraus entwickelten brownschen algebra. es ist natürlich so, dass soweit das ganze völlig boolesch ist, keine frage. aber er versucht ja darüberhinaus zugehen und sein punkt in diesem buch ist ja nicht eine praktische darstellungsform der aussagenlogik. es geht dann um das problem der funktion die ihr eigenes argument ist, sozusagen, also um selbstbezüglichkeit. tatsächlich reisst er das aber nur an und entwickelt es nicht so, dass ein normalsterblicher wie ich damit auf anhieb was anfangen kann. sowas macht mit immer etwas veschnupft, denn die ganze rede von den "imaginären" wahrheitswerten ergibt zwar schon irgendwie einen sinn, allein es fehlt, meiner meinung nach, der tatsächliche beweis der anwendbarkeit und des nutzens. vor allem scheint alle klarheit, die das kalkül eben noch geboten hat, mit einem schlag vorbei zu sein so dass eigentlich nicht klar wird, und darum sollte es ja gehen, warum dieses kalkül dafür besonders geeignet wäre. so wie mir das scheint sieht es nach dem gegenteil aus, denn da wird gar nix klar... trotzdem, es ist eine extrem einfache form der darstellung logischer sätze und bis zu einem gewissen grad sehr viel anwendungtauglicher als andere kalküle, da kann meiner meinung nach eigentlich kein zweifel dran bestehen. abgesehen von dem allen verschiedene seiner überlegungen recht hintersinnig so dass man geneigt sein kann an den stellen, an denen man wieder mal nur bahnhof vesteht, eigene beschränktheit anzunhemen anstatt zu unterstellen, dass das tatsächlich nur blödsinn ist. aber das ist natürlich bei jedem anders. |
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Original von -Soso-
Was du hier sagen willst, scheint mir zu sein, dass der Kalkül von Spencer Brown (SB) im Prinzip dasselbe macht wie andere Kalküle. Ich denke, der Einwand ist berechtigt, aber nicht ausreichend. Was haben alle Kalküle der Aussagenlogik (AL) gemeinsam? Sie alle erlauben es, dieselben Sätze zu beweisen (wobei die Notationen freilich variieren können). „(~p & ~q) <-> ~(p v q)“ ist mit allen AL-Kalkülen beweisbar. Der Unterschied zwischen diesen Kalkülen ist, WIE bewiesen wird. In einem axiomatischen Kalkül beweist man „(~p & ~q) <-> ~(p v q)“ freilich anders als in einem Regelkalkül. In diesem Sinne sind die ganzen verschiedenen AL-Kalküle völlig gleichberechtigt. Nach wie vor nicht klar aber ist mir, was den Kalkül von SB aus der Masse der AL-Kalküle nun hervorstechen lassen sollte. Dazu schreibst du:
Das ist letztlich nichts besonderes. Wenn ein Kalkül korrekt ist (und das sind alle üblichen AL-Kalküle), dann gilt {A1, A2, ..., An} 
B => {A1, A2, ..., An} 
B (was sich im Kalkül beweisen lässt, ist wahr).Aber du hebst noch einen anderen Vorteil hervor:
Welches sind denn die primitiven (also die nicht hergeleiteten) Schlussregeln des SB-Kalküls für AL? |
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Original von mark
ausreichend wofür? man nennt sowas durchaus kalkül und nicht notation. manchmal nennt man es auch notation. aber "nur" notation und kein kalkül, das ergibt an dieser stelle für mich keinen sinn. was sollte das heissen ausser dass es schon andere kalküle gibt für die aussagenlogik. was wäre denn dann das aussagenlogische kalkül und warum sind andere nur notationen desselbige? das könnte man ja nur historisch so verstehen.
naja, ich würde es strukturähnlichkeit nennen...
ja, natürlich, wobei das mit den axiomen und den regeln so eine sache ist, vielleicht gehört das sogar hierher...
nein, eigentlich sag ich das nicht dazu. ganz explizit zitiere ich wittgenstein dazu der sagt, das eine kalkül macht offen ersichtlich, was in einem anderen verborgen ist, gar unmöglich ist. das ist eine binsenweisheit. und wird deswegen gerne mal unterschlagen. so wie du das verstehst ist der wahrheitswert natürlich immer eingebaut. nur braucht er hier eben keine extra bezeichnung. wahr ist sonst was regelkonform auf eine bestimmte form gebracht werden kann bzw regelkonform aus dieser entwickelt, avbgeleitet, konstruiert werden kann. was natürlich letztlich das gleiche ist. bzw hier sein sollte. der vorteil liegt aber in der übersichtlichkeit und klarheit der darstellung. in bezug auf bestimmte erfordernisse. ich denke wirklich, dass es ein ziemlich idiotensicheres arbeiten ermöglicht, nicht umsonst finde ich daran einen gefallen. versuch mal was im hilbertkalkül zu beweisen...
ich dachte, du hättest es gelesen? wenn man sb selbst folgt, dann gibt es ja keine schussregeln in diesem sinn sondern nur interpretation und rechnung. daran kann man eine ganze logizismuskritik aufhängen. weil, rechnen ist ja mathe. jedenfalls gibt es zwei unabhängige "startpunkte", ()()=() und (())= [leer] ob man daraus dann regeln macht oder axiome...irgendwie scheint mir das geschmacksfrage zu sein. zum praktischen gebrauch braucht man natürlich noch ein paar andere daraus abgeleitete regeln (die ableitung ist aber wiederum extrem idiotentauglich, meiner meinung nach, funktionert nach art der wahrheitstafeln die natürlich in diesem fall extrem simpel sind). ich find das aber trotzdem einfacher als diesen kalkül des natürlichen schliessens bei dem mir nie aufgegangen ist, was daran natürlich sein soll. und ehrlich gesagt bezweifle ich stark, dass es viele studenten gibt denen das je aufgegangen ist... aber bitte, letztlich ist es gleichwertig und jeder kann benutzen was er will, es ist eben mein favorit, vielleicht ist das ja ein hang zum unkonventionellen. es gab mal einen link zu erg**geln unter dem eine arbeit zu finden war die ein paar lehrbuchbeispiele demonstriert hat und gezeigt hat, dass die beweise deutlich einfacher und kürzer waren im sb-kalkül. einfacher ist natürlich eine frage der persönlichkeit, aber kürzer ist kürzer. und ist das nicht überhaupt sinn und zweck eines jeden kalküls, dass es auf etwas praktisch zugeschnitten ist? dass es bestimmte erfordernisse erfüllt, die entweder gefordert oder erwünscht sind? |
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Original von -Soso-
Zum Unterschied von Kalkülen und Notation: Ein Kalkül besteht aus einem Alphabet, aus Formationsregeln, die angeben, was wohlgeformte Formeln sind und schließlich aus Schlussregeln und ggf. Axiomen. Eine Notation hingegen ist einfach nur ein Alphabet zusammen mit Formationsregeln. Die polnische Notation von Lukasiewicz etwa ist eine Notation, denn sie gibt keine Schlussregeln etc. an und legt auch nicht fest, für welche formale Sprache sie anzuwenden ist (so kommt es, dass Lukasiewicz sie für die Aussagenlogik verwendet, Prior für die Zeitlogik, Lemmon für die Modallogik und Soso, wenn er Bock hat, für die parakonsistente Logik), sondern erlaubt es einfach nur, Formeln anders zu notieren, nämlich klammerfrei. Statt „p & q“ schreibt man „Kpq“, statt „(~p v ~q) <-> ~(p & q)“ „EANpNqNKpq“, statt „ 
((p -> q) & ~q) -> ~p“ „LCKCpqNqNp“ usw. Denselben Eindruck hatte ich von dem Kalkül von Spencer Brown: dass er einfach nur ein anderes Alphabet ist. Dass dieser Eindruck ungerechtfertigt ist, habe ich bereits geschrieben.
Meine Worte waren „Ich habe mal vor einiger Zeit ganz flüchtig in das Büchlein hineingeschaut“. Ich habe mir kurz den formalen Teil angeschaut, um einen Eindruck davon zu bekommen, was da passiert. Gemerkt habe ich mir die Regeln beim besten Willen nicht.
Ich habe mal in das Thema „Formalisierte Syllogismen“ im Logikforum geschaut, wo der Kalkül von SB an vielen Beispielen angewendet wird (Formalisierte Syllogismen). Dort gehst du von irgendwelchen Sätzen aus und zeigst dann mit dem SB-Kalkül, dass sie wahr sind. Problem: Wenn DAS die Anwendung des Kalküls von SB ist, dann ist er kein Kalkül, so wie etwa Kalkül des natürlichen Schließens, Gentzen-Kalkül oder der Kalkül für die Aussagenlogik in den Principia Mathematica Kalküle sind (also Regelsysteme zu Herleitung von Sätzen auf Syntaxebene). Vielmehr ist er dann ein semantisches Entscheidungsverfahren (und damit auf semantischer Ebene), das es erlaubt, Sätze einer Tautologieprüfung zu unterziehen. Dann aber steht der „Kalkül“ von SB nicht in Konkurrenz zum Kalkül des natürlichen Schließens, dem Gentzen-Kalkül usw., sondern zu semantischen Entscheidungsverfahren wie stilisierter Fallunterscheidung, Wahrheitstafelmethode, Reductio-Test, Resolutionsverfahren usw. Da letztlich alle semantischen Entscheidungsverfahren für die Aussagenlogik unglaublich simpel sind, braucht man Einfachheit der Anwendung des Entscheidungsverfahrens von SB nicht mehr hervorheben. Wie sieht es aber mit der Kürze des Entscheidungsverfahrens aus? Im o.g. Thread hast du „[(~p -> r) & (q -> r)] <-> [(p -> q) -> r] “ mit dem Verfahren von SB getestet (2. Beitrag). Am Ende schreibst du etwas wohlwollend „ich zähle 10 schritte“:
Ich zähle hier, inklusive des Hinschreibens des zu prüfenden Satzes, der Umformung in „(((((((a))r((b)r)))((a)b)r)((((a)b)r)((((a))r)((b)r))))“ bis hin zum Ergebnis, der Satz sei wahr, 13 Schritte, aber ob das nun drei Schritte mehr oder weniger sind, macht auch keinen Unterschied. Zum Vergleich jetzt mal der Test von o.g. Satze mit stilisierter Fallunterscheidung (Regeln gebe ich mal keine an, da es ja nur um die Anzahl der Schritte geht). „F“ steht für das Falsum, „T“ für das Verum: [(~p -> r) & (q -> r)] <-> [(p -> q) -> r] 1. V(p) = T [(F -> r) & (q -> r)] <-> [(T -> q) -> r] [T & (q -> r)] <-> [q -> r] [q -> r] <-> [q -> r] T 2. V(p) = F [(T -> r) & (q -> r)] <-> [(F -> q) -> r] [r & (q -> r)] <-> [T -> r] [r & (q -> r)] <-> [r] 2.1 V(p) = F, V(r) = T [T & (q -> T)] <-> [T] [T & T] <-> [T] [T] <-> [T] T 2.2 V(p) = F, V(r) = F [F & (q -> F)] <-> [F] [F] <-> [F] T Alle möglichen Bewertungen ergeben T, also ist „[(~p -> r) & (q -> r)] <-> [(p -> q) -> r]“ eine Tautologie. Ich zähle hier – ohne abzukürzen, d.h. inklusive Hinschreiben des zu prüfenden Satzes und jedesmaligem Hinschreiben von „T“ am Ende sowie der Folgerung, dass also der geprüfte Satz wahr ist – 16 Schritte. Das sind drei mehr als bei dem Verfahren nach SB – sofern ich richtig gezählt habe. Da von allen Schritten in deinem und meinem Test die Umformung, die du vornehmen musst, wohl noch der langwierigste Schritt ist, darf man wohl sagen, dass beide Verfahren gleich kurz sind (selbst wenn dein Verfahren nur zehn Schritte benötigte). In diesem Sinne sehe ich auch hierin keinen Vorteil des Verfahrens nach SB. |
