Die Logik zeigt sich nur in ihrer Anwendung

Zitat:

Original von -Soso- Die ganze Sache mit der Nichtaxiomatisierbarkeit der Mathematik (Gödels Unvollständigkeitssätze) dreht sich u.a. darum. Die Mathematik ist, wenn man sie formalisiert, ein explosives System und nach Gödel könne dieses nicht beweisen, dass es selbst widerspruchsfrei ist – daran ist die Arithmetik schuld. Demnach könnte es sein, dass die Mathematik einen Widerspruch enthält und damit durch EFQ trivial ist. Das wäre freilich eine Katastrophe.

dass man widerspruchsfreiheit mit dem auf widerspruchfreiheit zu testenden system nicht nachweisen kann ist ja nicht unbedingt gleichbedeutend mit der möglichkeit des widerspruchs in diesem system, es sei denn, damit meinte man wieder genau das. muss man aber nicht. genauso wie gödel zeigt, dass unser begriff der wahrheit nicht dem der formalen ableitbarkeit entspricht so zeigt er eben auch, dass unser begriff der widerspruchsfreiheit "grösser" ist als der begriff der widerspruchsfreiheit die mit den mitteln des systems selbst nachgewiesen werden kann.

die mengenlehre verzichtet ja auf vollständigkeit und demnach könnte also das, was im allgemeinen unter mathematik läuft, als widerspruchsfrei nachgewiesen werden. ist es allerdings nicht. ist das überhaupt noch gegenstand ernsthafter beühungen?

vollständigkeit scheint das zu sein, was am ehesten und unproblematischsten aufgegeben werden kann von den forderungen der endlichkeit, der vollständigkeit, der möglichkeiten(sowieso) und der widerspruchsfreiheit(auch sowieso). defakto blebt nur die vollständigkeit als vernünftiges opfer.

viel mehr als alles andere verweist gödel ja auf das ungenügende verständnis der begrifflickeiten, die man da benutzt. oder, gödel war ja eher platoniker, auf das ungenügende verständnis der entsprechenen mathematischen entitäten, um die es sich dabei handelt. wie man will.

widerspruchsfreiheit der mathematik ist nach gödel nicht ausgeschlossen. nur eben unter ganz bestimmten vorstellungsvorzeichen von "widersruchsfreiheit" und " mathematik".
wie gödel selbst sagt:
"aber es vesteht kein grund, die hoffnung aufzugeben."

fröhliche weihnachten.

@mark

Hi.

Mir ist nicht ganz klar, worauf du hinaus willst. Dass man die Begriffe „Mathematik“ und „Widerspruchsfreiheit“ anders verstehen sollte als Hilbert es tat und man so die Widerspruchsfreiheit (im neuen Sinne) der Mathematik (im neuen Sinne) beweisen könnte? Was wären denn diese neuen Weisen, die Begriffe „Mathematik“ und „Widerspruchsfreiheit“ zu verstehen? Und vor allem: Lassen sich diese neuen Verständnisse der fraglichen Begriffe überhaupt formalisieren – denn das ist ja das große Ziel gewesen?

Zitat:

die mengenlehre verzichtet ja auf vollständigkeit und demnach könnte also das, was im allgemeinen unter mathematik läuft, als widerspruchsfrei nachgewiesen werden.

Könntest du das bitte näher erläutern? Redest du von ZFC? Und warum könnte man die Widerspruchsfreiheit der Mathematik beweisen, wenn die (eine bestimmte?) Mengenlehre unvollständig ist? Redest du hier von relativer Widerspruchsfreiheit?

Zitat:

Original von -Soso- Mir ist nicht ganz klar, worauf du hinaus willst.

erstmal nur, dass sich das, was du geschrieben hast, schlimmer anhört als es ist. das hört sich so an, ich weiss, dass du das nicht geschrieben hast, aber es hört sich eben so an, wie wenn jederzeit die tickende zeitbombe hochgehen könnte und sich die mathematik als trivial herausstellen könnte. und das ist ja nicht so.

Zitat:

Dass man die Begriffe „Mathematik“ und „Widerspruchsfreiheit“ anders verstehen sollte als Hilbert es tat und man so die Widerspruchsfreiheit (im neuen Sinne) der Mathematik (im neuen Sinne) beweisen könnte?

dass man "mathematik" anders verstehen muss ist ja inzwischen klar.

Zitat:

Was wären denn diese neuen Weisen, die Begriffe „Mathematik“ und „Widerspruchsfreiheit“ zu verstehen?

naja, du hast ja gentzen erwähnt, das ist ja nicht nur eine erweiterung um ein metasystem in diesem sinn sondern eine erweiterung der beweismittel, -idee, oder? deswegen stimmt das mit dem notwendigen hochschrauben und dem dadurch nicht loswerden des grundproblems nicht unbedingt.

Zitat:

Und vor allem: Lassen sich diese neuen Verständnisse der fraglichen Begriffe überhaupt formalisieren – denn das ist ja das große Ziel gewesen?

ja, dieses gewesene ziel ist unerreichbar. insofern steht das ja nicht mehr zur debatte.
aber die charakteristika universalis, die ist mit gödel, jedenfalls seiner eigenen meinung nach, nicht gestorben. wie das gehen soll, da fragst du mich auch zuviel. aber sobald ich einen entsprechenden traum hatte werd ichs veröffentlichen.

Zitat:

Zitat: die mengenlehre verzichtet ja auf vollständigkeit und demnach könnte also das, was im allgemeinen unter mathematik läuft, als widerspruchsfrei nachgewiesen werden. Könntest du das bitte näher erläutern? Redest du von ZFC? Und warum könnte man die Widerspruchsfreiheit der Mathematik beweisen, wenn die (eine bestimmte?) Mengenlehre unvollständig ist? Redest du hier von relativer Widerspruchsfreiheit?

mit mengenlehre mein ich zf oder zfc.
widerspruchsfreiheit ist ja doch nur unter verzicht auf vollständigkeit zu haben, oder?
realtive widerspruchsfreiheit gibt es natürlich sowieso.

ich fand einfach, dass sich das viel zu drastisch angehört hat:"Demnach könnte es sein, dass die Mathematik einen Widerspruch enthält und damit durch EFQ trivial ist. Das wäre freilich eine Katastrophe."

es kann natürlich nicht sein, dass die mathematik einen widerspruch enthält, der die mathematik trivial machte.
damit ein widerspruch das tun könnte, muss die mathematik, die dadurch zu fall gebracht werden soll, ja formamisiert sein, denn der widerpsruch setzt sich ja formal fort. wenn du also zum beispiel von zfc sprichst als einer darstellung der mathematik, dann würde, wenn sich denn ein interner widerspruch auftäte, die mathematik keinesfalls zusammenbrechen, man würde nur diese darstellung als unzureichend fallen lassen bzw gegebenenfalls versuchen zu reparieren, wie man es ja schon wiederholt getan hat. zfc ist ja der vorläufige endpuntk einer entwicklung, nicht der anfang. ausserdem ist die zfc eine axiomatisierung der mathematik.

fröhliche weihnachten.

Hi.

Joar, meine Formulierung könnte durchaus missverstanden werden. Es ist selbstverständlich die jeweilige Formalisierung der Mathematik, die trivial wird, wenn sie einen Widerspruch enthält (und EFQ gilt). So bezieht sich Gödel in seinem Aufsatz ausdrücklich auf die Formalisierung, die sich in Russell/Whiteheads Principia Mathematica findet. Die Konsequenzen der Unvollständigkeitssätze in einem Satze zusammengefasst sind in diesem Sinne auch vielmehr, dass die Mathematik schlichtweg nicht axiomatisierbar ist – jedenfalls nicht nach Art der Principia.

Zitat:

naja, du hast ja gentzen erwähnt, das ist ja nicht nur eine erweiterung um ein metasystem in diesem sinn sondern eine erweiterung der beweismittel, -idee, oder?

Ich kenne mich mit Gentzens Beweis für die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik nicht sonderlich aus. Soweit ich weiß, hat er den Beweis mit einem System geführt, welches nicht stärker oder schwächer ist als die Arithmetik, sondern inkompatibel mit dieser. Was er da aber genau gemacht hat, weiß ich leider nicht.

Zitat:

widerspruchsfreiheit ist ja doch nur unter verzicht auf vollständigkeit zu haben, oder?

Allgemein gilt das nicht, gibt es doch eine Menge formaler Systeme, welche konsistent und vollständig sind. Für die Arithmetik aber gilt mit Gödels erstem Unvollständigkeitssatz, dass, wenn sie widerspruchsfrei ist, sie unvollständig ist bzw. dass, wenn sie vollständig ist, sie widerspruchsvoll ist. Außerdem ist, soweit ich weiß, die Arithmetik widerspruchsfrei relativ zu ZFC, welches unvollständig ist – daran hast du, nehme ich an, gedacht. Ein Beweis relativer Widerspruchsfreiheit ist aber natürich leider noch kein Beweis der Widerspruchsfreiheit.

Zitat:

Original von -Soso- Joar, meine Formulierung könnte durchaus missverstanden werden.

wird sie mit sicherheit.

Zitat:

Es ist selbstverständlich die jeweilige Formalisierung der Mathematik, die trivial wird, wenn sie einen Widerspruch enthält (und EFQ gilt). Zitat: schau, es ist doch so, es gibt bereiche der mathematik die axiomatisiert und nachgewiesenermassen widerspruchsfrei sind. die mathematik lässt sich tatsächlich nicht axiomatisieren in dem sinn, dass man mit einer endlichen anzahl an axiomen alles wahren mathematischen sätze erfassen würde. beides macht "die formalisierung der mathematik" zu einem gänzlich unklaren ausdruck der weder der einen noch der anderne tatsache gerecht wird. du kannst nicht gleichzeitig behaupten, die mathematik wäre nicht formalisierbar und vom möglichen widerspruch in der formalisierten mathematik sprechen. [quote] So bezieht sich Gödel in seinem Aufsatz ausdrücklich auf die Formalisierung, die sich in Russell/Whiteheads Principia Mathematica findet. Die Konsequenzen der Unvollständigkeitssätze in einem Satze zusammengefasst sind in diesem Sinne auch vielmehr, dass die Mathematik schlichtweg nicht axiomatisierbar ist – jedenfalls nicht nach Art der Principia. ja, siehste, wenn sie nicht axiomatisierbar ist, dann besteht auch niht die gefahr einer trivialisierung einer axiomatisierten mathematik. und andererseits sind teile der mathematik praktishc beliebig axiomatisierbar und auf widerspruchsreiheit zu überprüfen, warum auch nicht. nur die eierlegende wollmilchsau, sprich die handvoll axiome für eine widerspruchsfreie und vollständige axiomatische darstellung auh nur der bekannten mathematik, das gibts nicht und damit natürlich auhc nicht der mathematik zu der man dann auch noch unbekannte und nicht formulierte sätze zählen würde. ich finde einfach, dass das nicht so gut herauskommt... zfc ist ja eine axiomatisierung nach dem schema der principia im sinne der gödelsätze. Zitat: [quote] naja, du hast ja gentzen erwähnt, das ist ja nicht nur eine erweiterung um ein metasystem in diesem sinn sondern eine erweiterung der beweismittel, -idee, oder? Ich kenne mich mit Gentzens Beweis für die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik nicht sonderlich aus. Soweit ich weiß, hat er den Beweis mit einem System geführt, welches nicht stärker oder schwächer ist als die Arithmetik, sondern inkompatibel mit dieser. Was er da aber genau gemacht hat, weiß ich leider nicht.

aber es ist klar, dass man die beweisidee verändern kann und damit der teufelskreis, auf den du angesprochen hast, denkbar durchbrochen werden kann. auch wenn das vielleicht noch nicht gelungen ist.

bei der frage danach, was einleuchtet und was nicht, spielt ja auch die psychologie die bedeutendere rolle als die mathematik.

Zitat:

Zitat: widerspruchsfreiheit ist ja doch nur unter verzicht auf vollständigkeit zu haben, oder? Allgemein gilt das nicht, gibt es doch eine Menge formaler Systeme, welche konsistent und vollständig sind.

ja, das sagte ich ja bereits...
mit dieser bemerkung bezog ich mich im zusammenhang natürlich auf alle diejenigen systeme, die die ensprechenden voraussetzungen mitbringen.

Zitat:

Für die Arithmetik aber gilt mit Gödels erstem Unvollständigkeitssatz, dass, wenn sie widerspruchsfrei ist, sie unvollständig ist bzw. dass, wenn sie vollständig ist, sie widerspruchsvoll ist.

glücklicherweise ist sie nicht vollständig...

Zitat:

Außerdem ist, soweit ich weiß, die Arithmetik widerspruchsfrei relativ zu ZFC, welches unvollständig ist – daran hast du, nehme ich an, gedacht. Ein Beweis relativer Widerspruchsfreiheit ist aber natürich leider noch kein Beweis der Widerspruchsfreiheit.

oh, wer da genau was als widerspruchsfrei zu was bewiesen hat, weiss ich nicht. die mengenlehre ist nicht als (bekannt) widerspruchsfrei nachgewiesen, soviel ist sicher.
es gibt aber doch wohl keinen grund anzunehmen, dass man nicht prinzipiell alles realtiv zueinander als widerspruchsfrei beweisen könnte und mehr als das braucht man ja gar nicht.
geht eben nicht unbedingt nach schema f, nehme ich an, und die einleuchtenden beweisideen liegen ja nicht unbedingt auf der strasse bzw wollen alle auch noch formal vollzogen werden.

vielleicht sind aber auch kalküle im allgemeinen noch nicht wirklich genug verstanden worden. vielleicht ist unsere intuition auch einfach ein bisschen langsam und man müsste der ein bisschen auf die sprünge helfen.

aber ich sehe nicht, warum man das pessimistischer als gödel selbst sehen und quasi katholischer als der papst sein sollte. so wie hilbert es gehofft hatte geht es nicht, das heisst aber nicht, dass es gar nicht geht.

gruss

Hi Soso,

danke für die Antwort.

Es wäre also nicht unlogisch, wenn aus bestimmten formalen Sprachen Beliebiges folgt.
Was phritz glaube ich meint und was Brandom sagt, ist, dass man sich aufgrund selbstgewählter Behauptungen logisch-pragmatisch auf die Folgen festlegt.
Nun liegt das Problem vermutlich darin, dass phritz unter der Logik das versteht, was wohl die meisten unter Logik verstehen, dass nämlich nicht Beliebiges, sondern Eindeutiges folgt.
Aus den Aussagen: „Es regnet“, „Ich muss noch mal raus“, „Ich will nicht nass werden“ und „In der Ecke steht ein Schirm“ ergibt sich ja handelsüblich logisch was zu tun wäre.
Wahrheit ist ja nach Brandom, wenn ich ihn da richtig verstanden habe, einfach eine Behauptung.
Der Wahrheitsgehalt zeigt sich an der Bereitschaft sich festlegen zu lassen.
Wir wissen nicht, ob „Ich muss noch mal raus“ eine wahre Aussage ist, aber das brauchen wir auch nicht zu wissen, denn wenn es stimmt, ist der Behauptende durch seine eigene Aussage auf weitere Folgen festgelegt, oder Fragen ausgesetzt, die den Widerspruch klären wollen: „Wolltest du nicht noch mal raus?“

Wenn es Logiken geben kann, in denen Beliebiges folgt, treten darin praktische Festlegungen gar nicht auf. Damit wäre aber ein Zusammenleben undenkbar, wenn Aussagen wie „Ja, ich liebe dich auch“ oder „Ich versichere dir, dass ich dir nichts antun werde“ beliebige Folgen hätten.
Die Grenzen einer solchen Logik, wäre also nicht unbedingt die Praxis, sondern die Nachvollziehbarkeit einer (logischen) Struktur durch andere, das wiederum würde eine koordiniert funktionierende Praxis verhindern.

Hinter dem link ist von Dir zu lesen:
„Diesen Zwang, von dem du redest, kann ich erst empfinden, wenn ich eine klassische Prädikatenlogik verwende.“

Wäre denn eine andere als die klassischen Prädikatenlogik zur Durchführung einer gemeinsamen Praxis denkbar?
Denkbar in dem Sinne, dass es nicht in kurzer Zeit zu einem Chaos kommt.
Oder ist es einfach so, dass wir uns eben auf die kl P „geeinigt“ haben, ...weil sie so gut funktioniert? ...weil sie den kleinsten gemeinsamen Nenner bildet?

Denn, da scheint phritz ja recht zu haben, die gesellschaftlichen Systeme, die wir beobachten können, haben ihre unterschiedlichen Prämissen, aber ihre gemeinsame (klassische Prädikaten-)Logik. Das führt ja u.a. dazu, dass sich begabteren (postideologischen) Vertreter unterschiedlicher geschlossener Systeme durchaus verständigen können

Läuft es nicht letzten Endes darauf hinaus, dass die Konsenstheorie der Wahrheit und die pragmatische Wahrheitstheorie zusammen ein System bilden, was funktioniert, dass jede für sich nicht genug erklären kann (wir hatten das ja mal diskutiert) und dass man mit den beiden zusammen sehr viel erklären kann?
Oder ist das jetzt sehr optimistisch gedacht?

Gruß,

Carsten

Hi.

Wenn ich dich richtig verstehe, dann stellst du zwei Fragen, nämlich welches unsere Alltagslogik ist (d.h. die Logik, die wir im Alltag benutzen) und warum wir gerade DIESE Logik im Alltag anwenden (du sprichst zwar von der Konsenstheorie der Wahrheit und pragmatischen Theorien der Wahrheit, aber aufgrund des Themas gehe ich davon aus, dass es dir eigentlich um Logiken geht, oder?).

Zur ersten Frage:

Du hast mich zitiert mit „Diesen Zwang, von dem du redest, kann ich erst empfinden, wenn ich eine klassische Prädikatenlogik verwende.“ und dann die Vermutung angestellt, dass womöglich die klassische Prädikatenlogik (PL) unsere Alltagslogik sei. Zu dem Zitat muss ich sagen, dass es sich direkt auf einen Schluss bezieht, den #phritz als Beispiel angeführt hat. Dieser Schluss ist solcherart, dass er in PL gültig ist (d.h. dass die Konklusion aus den Prämissen in PL logisch folgt). Darum habe ich explizit PL erwähnt. Als Formalisierung unserer Alltagslogik ist PL zu schwach; man kann mit PL gewisse Bereiche unserer Alltagslogik darstellen, aber nicht die gesamte. Tatsächlich hat sich unsere Alltagslogik bisher erfolgreich dagegen gewehrt, komplett formalisiert zu werden, man kann immer nur bestimmte Bereiche formal darstellen.

Auf der anderen Seite ist es so, dass wir keineswegs alle dieselbe Alltagslogik verwenden bzw. keine Einigkeit herrscht, ob bestimmte Schlüsse nun gültig sind oder nicht. Ein Beispiel, welches ich #phritz in dem verlinkten Thread gegeben habe, ist folgendes:

Zitat:

Hinz ist kinderlos verheiratet. Da er aber ein Schelm ist, hält er sich nebenbei noch eine Geliebte, die Carolin. Jetzt begibt es sich, dass Hinz' Frau für eine Woche fort muss. Dies freilich nutzen Hinz und seine Geliebte prompt aus und kurzerhand steht Carolin vor seiner Tür. Carolin aber hat irgendwo aufgeschnappt, dass Hinz Kinder habe und so fragt sie vorausschauend den Hinz, ob alle seine Kinder außer Haus seien, denn man will ja nicht erwischt werden. Was soll Hinz, der ja gar keine Kinder hat, antworten? (a) „Ja, sie sind außer Haus.“ Begründung: Wenn man alle Kinder von Hinz sucht die NICHT außer Haus sind, dann wird man keines finden. Aus „es ist nicht der Fall, dass es ein Kind gibt, das nicht außer Haus ist“ aber folgt „alle Kinder sind außer Haus“. (b) „Nein, sind sie nicht.“ Begründung: Daraus, dass alle Kinder außer Haus sind, folgt, dass auch einige Kinder außer Haus sind. Es ist jedoch nicht der Fall, dass einige Kinder außer Haus sind und daraus folgt, dass es auch nicht der Fall ist, dass alle Kinder außer Haus sind. (c) „Ach Caro, was fragst du da für sinnloses Zeugs, ich habe doch gar keine Kinder.“ Begründung: Die Frage, ob alle Kinder außer Haus sind, kann erst dann sinnvoll gestellt werden, wenn es überhaupt etwas gibt, worüber man reden kann, nämlich Hinz' Kinder. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, macht die Frage schlichtweg keinen Sinn. Alle drei Antworten sind in der Geschichte der analytischen Philosophie gegeben worden und auch bei einer Umfrage in der Einkaufsstraße würde jede der Antworten gegeben werden.

Andere Beispiele für Uneinigkeiten darüber, was aus bestimmten Prämissen folgt, ergeben sich immer dann, wenn von Unendlichkeit die Rede ist. Ist z.B. eine Menge mit unendlich vielen Elementen kleiner als dieselbe Menge plus ein Element (ob die Menge abzählbar oder überabzählbar ist, sei mal dahingestellt, geht es ja nur im die Idee)? Solche Fragen machen die meisten Leute, die sich nicht mit Mengenlehre beschäftigt haben, völlig kirre und entsprechend vielfältig fallen die Antworten auch aus.

Aufgrund solcher Beispiele halte ich den alten Gedanken eines logischen Monismus für schlichtweg falsch. Wir sind uns in vielen Fällen einig, ob ein Schluss in unserer Alltagslogik gültig ist oder nicht, aber eben nicht in allen.

Zur zweiten Frage:

Hier würde ich mich letztlich deinem Vorschlag anschließen: Wir benutzen die Logik im Alltag, die wir benutzen, weil es eben einfach irgendwie funktioniert.