Prädikatenlogische Allgemeingültigkeit

Hallo, hab da ein Problem zu behandeln und würde gerne andere Meinungen dazu hören.

Inwiefern ist der intuitive Gedanke von logischer Wahrheit als Geltung allein aufgrund der logischen Form (einer Aussage, einer Formel) im Begriff der prädikatenlogischen Allgemeingültigkeit aufgegriffen???

Wie steht es mit den aristotelischen Syllogismen im Hinblick auf deren prädikatenlogische Allgemeingültigkeit???

Würde mich über Anregungen freuen.

Es existiert ein Interesse an der generellen Rezession der Applikation relativ primitiver Methoden komplementär zur Favorisierung adäquater komplexer Algorithmen.

Ob ein Gedanke "intuitiv" gefasst wird, haengt vom Denkenden ab: "Intuitiv" ist eine typisch introvertierte Eigenheit, extrovertierte Menschen machen das so gut wie nicht.

Hi.

Sofern noch Interesse an den Fragen besteht:

Zur ersten Frage:

Eine Formel der Prädikatenlogik ist wahr (PL-allgemeingültig) genau dann, wenn sie unter jeder uniformen Belegung ihrer Variablen wahr ist. Beispiel:

Fx v ~Fx

(x ist F oder x ist nicht F)

Diese Formel ist PL-allgemeingültig. Ganz gleich, wie man „x“ auch wählt, ob man für „x“ also den Namen eines Gegenstandes einsetzt, der die Eigenschaft F hat, oder ob man für „x“ den Namen eines Gegenstandes einsetzt, der nicht die Eigenschaft F hat, ist doch die Formel „Fx v ~Fx“ immer wahr. In diesem Sinne ist es für die Wahrheit der fraglichen Formel gleich, wie die Welt beschaffen ist, d.h. ob das, was „x“ bezeichnet, nun die Eigenschaft F hat oder nicht.

Zur zweiten Frage:

Alle 24 gültigen Schlussmodi der aristotelischen Syllogistik sind auch in der Prädikatenlogik gültig. Schlussmodus barbara etwa, also

Alle M sind P.
Alle S sind M.
Alle S sind P.

ist gültig, weil es keine uniforme Einsetzung für „S“, „M“ und „P“ gibt, sodass die Prämissen wahr und die Konklusion falsch wird. Dasselbe sagt, in etwas technischerer Form, auch die Prädikatenlogik: Jedes Modell, das ein Modell von „alles, was M ist, ist P“ und „alles, was S ist, ist M“ ist, ist auch ein Modell von „alles, was S ist, ist P“.

Zitat:

Original von -Soso- Alle 24 gültigen Schlussmodi der aristotelischen Syllogistik sind auch in der Prädikatenlogik gültig. Schlussmodus barbara etwa, also Alle M sind P. Alle S sind M. Alle S sind P. ist gültig, weil es keine uniforme Einsetzung für „S“, „M“ und „P“ gibt, sodass die Prämissen wahr und die Konklusion falsch wird. Dasselbe sagt, in etwas technischerer Form, auch die Prädikatenlogik: Jedes Modell, das ein Modell von „alles, was M ist, ist P“ und „alles, was S ist, ist M“ ist, ist auch ein Modell von „alles, was S ist, ist P“.

das gilt ja aber doch nicht für alle 24 klassischen schlussformen.
für neun, wenn ich mich richtig erinnere, braucht man zusätzlich eine existenzaussage.
und in dieser annahme unterscheiden sich doch die beiden, oder?

der schlussmodus darapti:

Alle Quadrate sind Rechtecke
Alle Quadrate sind Vierecke
Es folgt: Einige Vierecke sind Rechtecke (wiki)

ist nur gültig, wenn es mindestens ein quadrat gibt. natürlich gibt es quadrate, aber "quadrat" könnte auch für eine leere menge stehen und den schluss damit ungültig machen.

gruss

Zitat:

Original von mark Zitat: Original von -Soso- Alle 24 gültigen Schlussmodi der aristotelischen Syllogistik sind auch in der Prädikatenlogik gültig. Schlussmodus barbara etwa, also Alle M sind P. Alle S sind M. Alle S sind P. ist gültig, weil es keine uniforme Einsetzung für „S“, „M“ und „P“ gibt, sodass die Prämissen wahr und die Konklusion falsch wird. Dasselbe sagt, in etwas technischerer Form, auch die Prädikatenlogik: Jedes Modell, das ein Modell von „alles, was M ist, ist P“ und „alles, was S ist, ist M“ ist, ist auch ein Modell von „alles, was S ist, ist P“. das gilt ja aber doch nicht für alle 24 klassischen schlussformen. für neun, wenn ich mich richtig erinnere, braucht man zusätzlich eine existenzaussage. und in dieser annahme unterscheiden sich doch die beiden, oder? der schlussmodus darapti: Alle Quadrate sind Rechtecke Alle Quadrate sind Vierecke Es folgt: Einige Vierecke sind Rechtecke (wiki) ist nur gültig, wenn es mindestens ein quadrat gibt. natürlich gibt es quadrate, aber "quadrat" könnte auch für eine leere menge stehen und den schluss damit ungültig machen.

In der mathematischen Logik gelten der 1. Modus der 3. Figur (AAI) des einfachen kategorischen Syllogismus "Darapti" und der 4. Modus der 3. Figur (EAO) "Felapton" in der Tat als nicht allgemeingültig, denn in ihr ist bekanntermaßen die leere Klasse zulässig. mark hat mit seiner Bemerkung also grundsätzlich recht.
Lukasiewicz wies bei seiner Untersuchung der aristotelischen Syllogistik darauf hin, dass Aristoteles nicht nur keine Individualbegriffe benutzte, sondern auch weder negierte noch Leerbegriffe (leere Klasse) zuließ.
Die Frage ist also, ob man die leere Klasse zulässt oder nicht. Lässt man sie nicht zu, kann man mit Aristoteles Darapti und Felapton für gesetzmäßig halten. Dann kann man aber natürlich nicht mehr ernsthaft mathematische Logik betreiben.
Geulincx kritisierte "Darapti" übrigens grundsätzlich und unabhängig von der Annahme leerer Klassen: nach ihm sind beide Pämissen notwendig, der Schlusssatz aber "zufällig". Ein zufälliges Urteil kann nicht aus einem apodiktischen, also notwendigen folgen.

Den Schluss "Felapton"

(E) kein Planet leuchtet mit eigenem Licht [M - P]
(A) alle Planeten sind Himmelskörper [M - S]
-----------------------------------------------------------
(O) einige Himmelkörper leuchten mit eigenem Licht [S - P]

erkannte Lomonossow nicht als korrekt an: wenn zwei Prämissen allgemeine Urteile sind, so muss auch der Schlusssatz immer ein allgemeines Urteil sein. Im Modus Felapton wird aus zwei allgemeinen Prämissen aber ein partikularer, verneinender Schlusssatz gewonnen.


Und zur Erfüllbarkeit/Allgemeingültigkeit des Prädikatenkalküls, so wie ichs gelernt hab:

Die Erfüllbarkeit und die Allgemeingültigkeit eines Ausdrucks H hängt nicht von der Natur des Individuenbereichs I ab, sondern nur von der Mächtigkeit, Kardinalzahl oder Elementenanzahl von I: sind die Bereiche I1 und I2 gleichmächtig, so ist die Menge der in I1 erfüllbaren bzw. allgemeingültigen Ausdrücke gleich der Menge der in I2 erfüllbaren bzw. allgemeingültigen Ausdrücke.

Sei m eine beliebige endliche oder unendliche Mächtigkeit oder Kardinalzahl.

Ein Ausdruck H heißt m-zahlig erfüllbar bzw. m-zahlig allgemeingültig, wenn er in wenigstens einem und damit in jedem Individuenbereich I der Mächtigkeit m erfüllbar bzw. allgemeingültig ist.
Ein Ausdruck H heißt im Endlichen erfüllbar bzw. allgemeingültig, wenn er in wenigstens einem bzw. in jedem nichtleeren endlichen Individuenbereich erfüllbar bzw. allgemeingültig ist.
Ein Ausdruck H heißt im Abzählbaren erfüllbar bzw. allgemeingültig, wenn er in wenigstens einem und damit in jedem abzählbar unendlichen Individuenbereich, d.h. in einem Bereich der Mächtigkeit
aleph 0, erfüllbar bzw. allgemeingültig ist.

Zwischen den Mengen efn mit der natürlichen Zahl n>0, efend, efaleph 0, efm mit einer Mächtigkeit m > aleph 0 und ef bzw. agn, agend, agaleph 0, agm, ag der n-zahlig, im Endlichen, im Abzählbaren, m-zahlig und schlechthin erfüllbaren bzw. allgemeingültigen Ausdrücke bestehen im Prädikatenkalkül folgende Reduktions- und Repräsentationstheoreme:

(R1)
Für jede natürliche Zahl n > 0 ist
efn efn+1, agn+1 agn

Nach (R1) ist jeder n-zahlig erfüllbare Ausdruck auch (n+1)-zahlig erfüllbar, und es gibt (n+1)-zahlig erfüllbare Ausdrücke, die nicht n-zahlig erfüllbar sind. Jeder (n+1)-zahlig allgemeingültige Ausdruck ist n-zahlig allgemeingültig und es gibt ebenso n-zahlig allgemeingültige Ausdrücke, die nicht (n+1)-zahlig allgemeingültig sind.

Die Menge ag der allgemeingültigen Ausdrücke des PK ist nicht entscheidbar. Dies bedeutet: es gibt nachweisbar keinen Algorithmus um von einem beliebigen Ausdruck zu entscheiden, ob er allgemeingültig ist oder nicht (Church). Nach Trachtenbrot ist ebenso die Menge agend der im Endlichen allgemeingültigen Ausdrücke des PK nicht entscheidbar. Die Mengen agn mit einer natürlichen Zahl n > 0 sind entscheidbar.

(R2) [U = "Vereinigung" und D = "Durchschnitt"]
efend = U {efn : n>0}
agend = D {agn : n > 0}

(R3)
efend efaleph 0 , agaleph 0 agend

(R4)
Für jedes m > aleph 0 gilt:
efm = efaleph 0 = ef, agm = agaleph 0 = ag

(R4) ist der Satz von Löwenheim und Skolem, der beinhaltet, dass jeder erfüllbare Ausdruck in einem abzählbar unendlichen Bereich erfüllbar ist und analog jeder in einem abzählbar unendlichen Bereich allgemeingültige Ausdruck in jedem nichtleeren Bereich allgemeingültig ist.

Kurzum: mark hat oben recht.

an dem tag war eben schlechtes wetter ...

Hi.

Joar, Allquantifizierungen über einen leeren Bereich sind so eine Sache. Aus diesem Grunde muss man gelegentlich aufpassen, wie der Benutzer der fraglichen Allaussage diese eigentlich genau meint, d.h. ob die betrachtete Allaussage Existenz impliziert oder nicht. Daran ist festzumachen, wie die betrachtete Aussage etwa nach PL zu übersetzen ist. Darapti ist so ein Fall, bei dem man bei der Übersetzung vorsichtig sein muss. Der Obersatz lautet:

(S) Alle M sind P.

Wenn man das eins zu eins nach PL übersetzt, erhält man:

(T) (x)[Mx -> Px]

Wir wissen weiterhin, dass Aristoteles davon ausgeht, dass Allaussagen Existenzaussagen implizieren, d.h. S impliziert „einiges M ist P“. Darüber hinaus gilt, dass ein Satz A eine adäquate Übersetzung eines Satzes B ist genau dann, wenn A dieselben Wahrheitsbedingungen wie B hat. Betrachten wir die Wahrheitsbedingungen von S und T, so fällt auf, dass sie NICHT identisch sind. Wenn es nichts gibt, das M ist, dann ist S falsch und T wahr. Damit ist T keine adäquate Übersetzung von S.

Eine adäquaten Übersetzung von S ist („E“ stehe für den Existenzquantor):

(U) (x)[Mx -> Px] & Ey[My]

Wenn man die aristotelischen Syllogismen nach diesem Muster übersetzt, kommt PL zu denselben Ergebnissen wie Aristoteles.

(Das ist letztlich dasselbe wie bei Aussagen über Einzelgenstände. Der gute, alte Satz von Russell „der König von Frankreich ist kahl“ eins zu eins übersetzt wäre „Fa“. Sofern man nicht in die Freie Logik oder die Modallogik geht, muss man diesen Satz aber aufgrund hinlänglich bekannter Probleme tatsächlich übersetzen als:

Ex[König(x) & Kahl(x) & (y)[König(y) -> y = x]]

Auch hier sieht die Übersetzung völlig anders aus als der Ausgangssatz (das ist ja letztlich der Grund, warum man Propositionen (also das, was Sätze ausdrücken) formalisiert und nicht Sätze (im Sinne von Zeichen- oder Lautketten).)

(Das geht natürlich in meinem ersten Beitrag hier völlig unter, wobei ich in diesem daran zugegebenermaßen auch nicht gedacht habe.)

Zitat:

Original von -Soso- Hi. Joar, Allquantifizierungen über einen leeren Bereich sind so eine Sache. Aus diesem Grunde muss man gelegentlich aufpassen, wie der Benutzer der fraglichen Allaussage diese eigentlich genau meint, d.h. ob die betrachtete Allaussage Existenz impliziert oder nicht. Daran ist festzumachen, wie die betrachtete Aussage etwa nach PL zu übersetzen ist. Darapti ist so ein Fall, bei dem man bei der Übersetzung vorsichtig sein muss. Der Obersatz lautet: (S) Alle M sind P. Wenn man das eins zu eins nach PL übersetzt, erhält man: (T) (x)[Mx -> Px] Wir wissen weiterhin, dass Aristoteles davon ausgeht, dass Allaussagen Existenzaussagen implizieren, d.h. S impliziert „einiges M ist P“. Darüber hinaus gilt, dass ein Satz A eine adäquate Übersetzung eines Satzes B ist genau dann, wenn A dieselben Wahrheitsbedingungen wie B hat. Betrachten wir die Wahrheitsbedingungen von S und T, so fällt auf, dass sie NICHT identisch sind. Wenn es nichts gibt, das M ist, dann ist S falsch und T wahr. Damit ist T keine adäquate Übersetzung von S. Eine adäquaten Übersetzung von S ist („E“ stehe für den Existenzquantor): (U) (x)[Mx -> Px] & Ey[My] Wenn man die aristotelischen Syllogismen nach diesem Muster übersetzt, kommt PL zu denselben Ergebnissen wie Aristoteles. (Das ist letztlich dasselbe wie bei Aussagen über Einzelgenstände. Der gute, alte Satz von Russell „der König von Frankreich ist kahl“ eins zu eins übersetzt wäre „Fa“. Sofern man nicht in die Freie Logik oder die Modallogik geht, muss man diesen Satz aber aufgrund hinlänglich bekannter Probleme tatsächlich übersetzen als: Ex[König(x) & Kahl(x) & (y)[König(y) -> y = x]] Auch hier sieht die Übersetzung völlig anders aus als der Ausgangssatz (das ist ja letztlich der Grund, warum man Propositionen (also das, was Sätze ausdrücken) formalisiert und nicht Sätze (im Sinne von Zeichen- oder Lautketten).)

Genau, - oder man machts so, übersetzt den propositionalen Gehalt des Syllogismus korrekt in PL mit Existenzquantor " " (oder meinetwegen "E"), umgeht damit das Problem einer Klasse, in der sich die Leere tummelt und kommt so zu einem allgemeingültigen Schluss in PL.

Ohne die interpretatorische Annahme, dass einer Allaussage die Existenzaussage immer schon impliziert, gehts allerdings nicht: und die Existenzaussage muss in der PL-Übersetzung explizit gemacht werden (sonst ist sie ja auch nicht korrekt).
Oder gab es da noch irgendwo einen Haken? Gibt es einen zwingenden Beweis dafür, dass eine Allaussage die Existenzaussage beinhaltet, außer der, des gesunden Menschenverstandes?

Hi.

Zitat:

Oder gab es da noch irgendwo einen Haken? Gibt es einen zwingenden Beweis dafür, dass eine Allaussage die Existenzaussage beinhaltet, außer der, des gesunden Menschenverstandes?

Soweit ich weiß, nicht. Abgesehen davon, dass man Modelle mit nichtleerem Individuenbereich annehmen kann, in denen kein Prädikat als leere Menge interpretiert wird (sodass etwa darapti wenigstens in diesem Modell funktioniert), könnte man sich höchstens einen weiteren Quantor, etwa „V“, definieren, sodass „Vx[...A...]“ impliziert „Ex[...A...]“ und dann die aristotelischen Syllogismen unter Zuhilfenahme dieses Quantors formalisieren.

naja. das ist ein ziemlich schonender umgang mit aristoteles der den eindruck erweckt, aristoteles hätte das verstanden. es gibt eigentlich keinen grund das anzunehmen.
diese vorbedingung mit der existenz findet sich ja nicht bei aristoteles sondern im nachhinein ist die (erstmal nur behauptete) allgemeingültigkeit (man kann immer von zwei seiten kommen, von der allgemeingültgkeit den rest hinbiegend oder von der anderen seite die allgemeingültigkeit zur disposition stellend) schlicht nicht anders zu halten.
auf diese weise mach ich so ziemlich alles wahr. und warum man es hier tut hat zu einem gutteil einfach den grund, dass es sich um aristoteles handelt.
letztlich muss man sich nur klar darüber sein, dass die syllogistik grobes werkzeug ist im vergleich zu heutigen logiken und nicht zu unkritisch gesehen werden darf.

gruss

Hi.

Bei den Beweisen der gültigen Modi der 2. und 3. Figur benutzt Aristoteles Schlussregeln, die heute „conversion per accidens“ und „conversio simplex“ genannt werden. Die conversio per accidens ist:

AaB
BiA

Die conversio simplex ist u.a.:

AiB
BiA

Betrachten wir nun eine Allaussage:

SaP

Per conversio per accidens folgt daraus:

PiS

Per conversio simplex folgt daraus weiterhin:

SiP

Damit ist gezeigt, dass bei Aristoteles eine Existenzpräsupposition gemacht wird, da aus „alle A sind B“ folgt „einiges A ist B“. Ob Aristoteles diese Existenzpräsupposition explizit thematisiert, weiß ich allerdings nicht.

@ Frager:

Wodurch wird "Logik" zur "Logik"?

Dadurch, dass wir sie als solche erfinden, und, dem Kind einen Namen geben, oder aber dadurch, dass wir sie entdecken, und dieser Entdeckung einen Namen geben ?

Mit Sicherheit doch Letzteres.................

@ soso

Zitat:

Original von -Soso- [...] Damit ist gezeigt, dass bei Aristoteles eine Existenzpräsupposition gemacht wird, da aus „alle A sind B“ folgt „einiges A ist B“. Ob Aristoteles diese Existenzpräsupposition explizit thematisiert, weiß ich allerdings nicht.

Es verwundert mich ehrlich gesagt nicht, dass Aristoteles eine Existenzpräsupposition macht. Wenn ich in einem nichtfiktionalen Kontext (also z.B. nicht in einem Roman) sage: "Unser Kirschbaum blüht in diesem Jahr aber besonders schön", präsupponiere ich ja immer schon, dass es mich und die Welt und den Kirschbaum gibt. Muss eine solche Existenzpräsupposition in nichtfiktionalen Kontexten denn überhaupt noch erwiesen werden?

Ich möchte Aristoteles Leistung keinesfalls schmälern. Er ist in seiner Zeit für die Logik ungefähr das, was Grigori Perelmann für die Mathematik in unserer Zeit ist. Das steht für mich außer Frage. Aber dafür muss er die moderne Logik doch nicht schon vorweggenommen haben, - oder?

Hi.

Ich denke, deine Bemerkung wäre bei mark besser aufgehoben. Ich selber mache es Aristoteles keinesfalls zum Vorwurf, dass er bei Allaussagen eine Existenzpräsupposition macht, ich wollte nur zeigen, DASS er es tut. Dass Allaussagen, wie Aristoteles sie betrachtet, versteckte Konditionalaussagen sind und solche, wenn das Antezedenz falsch ist, wahr sind, ist natürlich dermaßen hoch theoretisch, dass man ihm kaum einen Vorwurf machen kann, dass er das nicht erkannt hat.

@ soso

Zitat:

Original von -Soso- Ich denke, deine Bemerkung wäre bei mark besser aufgehoben.

Ja, damit hast du allerdings recht.
Vielen Dank auch für die Ableitung der Existenzpräsupposition bei Aristoteles. Die „conversion per accidens“ und „conversio simplex“ waren mir bislang nämlich kein Begriff.
Ich schätze dich übrigens als einen unaufgeregten und unpolemischen User, der stets weiß, wovon er spricht und wenn die Gefahr besteht, dass er es mal nicht weiß, sehr vorsichtig formuliert. Ich selbst bin leider kein Element dieser Klasse, die, wenn ich es recht betrachte, in diesem Forum genau ein Element enthält.

@ Archibald

Zitat:

Original von Archibald Wodurch wird "Logik" zur "Logik"? Dadurch, dass wir sie als solche erfinden, und, dem Kind einen Namen geben, oder aber dadurch, dass wir sie entdecken, und dieser Entdeckung einen Namen geben ? Mit Sicherheit doch Letzteres.................

Bezogen auf unsere Unterhaltung im Thread: "Wodurch entsteht Transzendenz".
Wenn du hier die Ansicht vertrittst, dass die Logik etwas ist, das wir entdecken, dann scheint doch der Gedanke naheliegend, dass ihre Elemente und Gesetze bereits existieren, bevor wir beginnen, sie zu entdecken. Bist du der Ansicht, dass sich das bei der Mathematik anders verhält? Hinsichtlich der Frage z.B. nach dem ontologischen Status der natürlichen Zahlen (siehe den anderen Thread// oder gar der irrationalen Zahlen), ist die Antwort hierauf ziemlich erheblich. Es gibt Mathematiker, die der Meinung sind, die Elemente und Gesetze der Mathematik gehören zu einer Art platonischem Ideenreich (z.B. Kurt Gödel) und es gibt andere Mathematiker, die der Ansicht sind, die Mathematik wird vom Menschen erst konstruiert (z.B. Jan Brouwer).
Letzteres behauptest du für die Mathematik im benannten Thread. Und oben behauptest du ersteres für die Logik. Können aber Logik und Mathematik ihrer Natur nach so unterschiedlich sein?

@eliskases

Hi.

Danke für die netten Worte, hört man gerne

Bevor mein Tippfehler zu weite Kreise zieht: Das Ding heißt natürlich conversio per accidens, also ohne „n“ am Ende von „conversio“. Wenn du nicht gerade das gesamte Organon durchwühlen willst, ist Bochenski, Joseph M.: Formale Logik ein empfehlenswertes Buch. Das ist ein Werk zur Logikgeschichte von Aristoteles und den Stoikern bis etwa in die 1930er Jahre. Es sind darin sehr viele Originaltexte zitiert, was einen sehr guten Überblick liefert. Allerdings werden hierin, entgegen anderer Werke, conversio per accidens sowie conversio simplex als Gesetze – nicht als Regeln – bezeichnet (die Aristoteles sogar versucht, zu beweisen).

Zitat:

Original von -Soso- @eliskases Hi. Danke für die netten Worte, hört man gerne Bevor mein Tippfehler zu weite Kreise zieht: Das Ding heißt natürlich conversio per accidens, also ohne „n“ am Ende von „conversio“. Wenn du nicht gerade das gesamte Organon durchwühlen willst, ist Bochenski, Joseph M.: Formale Logik ein empfehlenswertes Buch. Das ist ein Werk zur Logikgeschichte von Aristoteles und den Stoikern bis etwa in die 1930er Jahre. Es sind darin sehr viele Originaltexte zitiert, was einen sehr guten Überblick liefert. Allerdings werden hierin, entgegen anderer Werke, conversio per accidens sowie conversio simplex als Gesetze – nicht als Regeln – bezeichnet (die Aristoteles sogar versucht, zu beweisen).

Mensch, - und ich hatte mich schon gefragt, warum heißt das eine "conversio" und das andere "conversion". Es gibt ja keinen Grund es einmal mit "n" und einmal ohne "n" zu schreiben. Also gebongt.
Was mich noch interessieren würde ist, hast du eine Meinung dazu, ob Mathematik und Logik etwas sind, was wir entdecken oder konstruieren? Das ist natürlich eine sehr grundlegende und letztlich möglicherweise nicht zu beantwortende Frage. Aber genau deshalb ist sie ja interessant. Ich halte Gödel für keinen Idioten. Aber Brouwer halte ich auch nicht für einen Idioten. Ich selbst tendiere dazu, Mathematik und Logik für Konstruktionen des menschlichen Geistes zu halten. Aber ehrlich gesagt wird mir angesichts der verschiedenen aber allemal einleuchtenden Argumente ein bisschen schwindelig.

Hi.

Hmm, mit dieser Frage habe ich mich eigentlich nie beschäftigt. Ich kenne ein paar intuitionistische Sprachen und ich finde einiges in ihnen wesentlich plausibler als in klassischen Sprachen (z.B. die Semantik des materialen Konditionals), doch um die Ideologien dahinter habe ich mich nie viel gekümmert.

Auf die Gefahr hin, dass ich völlig an der Debatte vorbeirede, meine ich jedoch, dass die Frage, ob man die Logik/Mathematik als gegeben oder konstruiert betrachten sollte, trivialerweise einfach dadurch entschieden wird, was man eigentlich unter der Mathematik bzw. der Logik versteht. Wenn man etwa logische Gesetze, wie in der Antike, als ontologische Gesetzmäßigkeiten auffasst, dann liegt es nahe, zu sagen, wir würden die Logik entdecken. Betrachtet man Logiken hingegen als formale Sprachen, mit denen man irgendetwas formalisiert, d.h. mit denen man irgendetwas versucht nachzuahmen, dann sollte man meinen, wären Logiken Konstruktionen unsereins. Als was man aber letztlich die Logik/Mathematik auffasst, dürfte jedem selbst überlassen sein, wenn man das nur deutlich klarmacht.

Kurz gesagt: in meiner von der ganzen Debatte um das Thema verschont gebliebenen Meinung betrachte ich Logik und Mathematik einfach als Werkzeuge und Werkzeuge können wir freilich verwenden, wie wir wollen und auch modifizieren, wenn wir es für nötig erachten.

Zitat:

Original von -Soso- Hi. Hmm, mit dieser Frage habe ich mich eigentlich nie beschäftigt. Ich kenne ein paar intuitionistische Sprachen und ich finde einiges in ihnen wesentlich plausibler als in klassischen Sprachen (z.B. die Semantik des materialen Konditionals), doch um die Ideologien dahinter habe ich mich nie viel gekümmert. Auf die Gefahr hin, dass ich völlig an der Debatte vorbeirede, meine ich jedoch, dass die Frage, ob man die Logik/Mathematik als gegeben oder konstruiert betrachten sollte, trivialerweise einfach dadurch entschieden wird, was man eigentlich unter der Mathematik bzw. der Logik versteht. Wenn man etwa logische Gesetze, wie in der Antike, als ontologische Gesetzmäßigkeiten auffasst, dann liegt es nahe, zu sagen, wir würden die Logik entdecken. Betrachtet man Logiken hingegen als formale Sprachen, mit denen man irgendetwas formalisiert, d.h. mit denen man irgendetwas versucht nachzuahmen, dann sollte man meinen, wären Logiken Konstruktionen unsereins. Als was man aber letztlich die Logik/Mathematik auffasst, dürfte jedem selbst überlassen sein, wenn man das nur deutlich klarmacht. Kurz gesagt: in meiner von der ganzen Debatte um das Thema verschont gebliebenen Meinung betrachte ich Logik und Mathematik einfach als Werkzeuge und Werkzeuge können wir freilich verwenden, wie wir wollen und auch modifizieren, wenn wir es für nötig erachten.

Vielen Dank für deine pragmatische Sicht der Dinge. Es ist natürlich möglich, die Aussagen von Mathematik und Logik in einer Art platonischem Raum der Ideen anzusiedeln, wie es Gödel wohl getan hat (und ich gegenüber Phantom). Aber ich denke, dass dies tatsächlich mehr ontologische Probleme aufwirft, als mit dieser Annahme gelöst werden. Klar hat der intuitionistische Ansatz auch seine Probleme. Wie sollte es anders sein. Aber es scheint mir im Augenblick, dass er letztlich adäquater ist. Zumindest bis ein bestechendes Argument mich vom Gegenteil überzeugt. Deine pragmatische Aussage: "in meiner von der ganzen Debatte um das Thema verschont gebliebenen Meinung betrachte ich Logik und Mathematik einfach als Werkzeuge und Werkzeuge können wir freilich verwenden, wie wir wollen und auch modifizieren, wenn wir es für nötig erachten." ist von bestechender Übzereugungskraft. Manchmal muss man einfach honorieren, dass eine pragmatische und unideologische Sicht am produktivsten ist.