Versuch einer alternativen teildynamischen Logik

Hallo,

hier mein jüngster Versuch, gegen logische Windmühlenflügel anzurennen.

Zwar entspricht das Ergebnis nicht ganz meinen Erwartungen
(zu technisch und zu kompliziert, kurz: zu viele Windmühlenflügel) -
aber aus dem Paradies von Cantor sind wir in der Mengenlehre
ja auch weitgehend vertrieben worden ...

Ich verfolgte dabei mehrere Ziele:

1. Einfach eine Alternative zur gängigen Logik ausprobieren,
um deren Quasimonopolstellung etwas zu erschüttern.

2. Antinomien (wie "diese Aussage ist nicht wahr") sollten sich möglichst
natürlich einfügen oder behandeln lassen.

3. Nach dem Vorbild der Quantenphysik sollten neben diskreten Werten
(wahr und falsch) auch Veränderungen und Übergänge also Interferenzwerte möglich sein.

Zusammen mit einer ggf. neuen Mengenlehre sollte das Ganze auch noch so reichhaltig sein,
dass Arithmetik und Mathematik daraus aufgebaut werden könnten.

S1) An letzterem scheiterten meine Versuche zur Stufenlogik,
denn schon die natürlichen Zahlen waren nicht richtig herleitbar.

Details zur Stufenlogik unter folgendem Link:
http://www.ask1.org/fortopic17402.html

S2) Die Stufenlogik hatte noch eine zweite Schwäche:
Bei Sätzen über die Stufenlogik selbst (Meta-Sätzen, z.B über alle Stufen) stieß ich immer wieder
auf die klassische Logik und die Stufenlogik wollte dafür nicht richtig passen.

S3) Und dann fehlte auch noch weitgehend die Übergangs- oder Interferenzbeschreibung
mit der Analogie zur Quantentheorie.

Dennoch habe ich als Mathematiker meine Teilergebnisse nicht weggeworfen,
sondern zusammen mit den offenen Fragen und Problemen ein System daraus gebaut:

Die teildynamische Stufenlogik a la Trestone.

Schon die Benennung klingt etwas kompliziert,
und leider ist fehlende Einfachheit auch der Hauptvorwurf,
den ich an diesen Versuch habe...

Grob gesagt starte ich mit einer von dynamischen Stufen (Zeit?) abhängigen dreiwertigen Logik,
in der zur Stufe Null alle Aussagen unbestimmt sind ("Überlagerung von wahr und falsch").

Höherstufige Aussagen können wahr oder falsch sein, unter Bezug auf beliebige Stufenaussagenwerte,
die nur nicht unbestimmt sein dürfen -
oder auch unbestimmt, wenn sie von niedrigerer Stufe sind.

Nimmt man dazu noch die herkömmliche zweiwertige Logik für Metaaussagen,
d.h. für Aussagen über Stufenaussagenwerte,
so hat man schon meinen ganzen Grundansatz.

Das ist so sicher erst einmal noch nicht verständlich,
aber leider weiß ich noch nicht, wie ich das Ganze ohne großen formellen mathematischen Aufwand erläutern kann, der wohl noch mehr abschreckt.

Immerhin wird keine höhere Mathematik benötigt, sondern das meiste sind nur Darstellungsfragen
und ist sonst so einfach (oder schwer) wie Logik selbst.

Sehen wir einfach, wie weit wir miteinander kommen.

Gruß
Trestone

Beginnen wir mit der Stufenlogik:

Weshalb versuche ich (immer wieder) Aussagen Stufen zuzuordnen,
obwohl dadurch doch alles komplizierter wird?

Nun das hängt mit den Antinomien zusammen:
Schon Bertrand Russell flüchtete sich zu einer Typenlehre,
als er den folgenden Grundwiderspruch in der Mengenlehre fand:

Sei R die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten.

Nimmt man nun an, dass R sich nicht selbst als Element enthält,
so muss es nach Definition sich doch enthalten.

Enthält R umgekehrt sich selbst, so enthält es wieder nach Definition sich nicht.

Beide Möglichkeiten führen also auf einen Widerspruch.

Russell suchte über eine Typenhierarchie nach einem Ausweg:
Er erklärte die in einer Menge enthaltenen Elemente als von einem anderen "Typ" als die Menge und verbot Mengenbeziehungen bei falscher Typhierarchie (also z.B. zwischen gleichen Typen).
So konnte Sebstbezüglichkeit wie bei R nicht mehr auftreten.

Meine Stufenlogik und Stufenmengenlehre verwenden nun einen ähnlichen (aber leicht abgewandelten) Ansatz:

Ich überlegte mir, dass die Russellmenge R sich selbst vielleicht bei einem Beweisgang enthält und beim nächsten wieder nicht,
also dynamisch von unseren Beweisüberlegungen und der Zeit abhängig.

Um die Element- und Nichtelementbeziehung bei R nicht gleichzeitig zu haben, musste ich genauer unterscheiden können,
wo ich bei den Überlegungen gerade stand.
Hierzu markierte ich die Aussage "R ist Element von R" mit einem Parameter t, den ich Stufe nannte.

Also: "R ist Element von R in Stufe t".

Und konnte nun z.B. eine Stufenbeziehung beschreiben:

"R ist Element von R in Stufe t+1, wenn R nicht Elemet von R in Stufe t ist".

Beachtete man nun bei Definitionen die Stufenhierarchien,
konnte man Widersprüche weitgehend vermeiden:
Zur Definition eines Ausdruckes in Stufe t+1 durften nur Ausdrücke der Stufe <=t benutzt werden.

(Statt "Stufe" hätte ich auch "Uhrzeit" oder "Sekunden seit dem Urknall" sagen können, die genaue Bedeutung von "Stufe" ist gar nicht so wichtig)

Starten wir jetzt zu t=0 mit R -e R (d.h. R nicht Element R zur Stufe 0)
und legen (willkürlich) fest:
Zur Stufe Null sind alle Mengen leer.

So haben wir für unsere (induktiven bzw. rekursiven) Mengendefinitionen jeweils eine Verankerung.

Und R wird jetzt in geraden Stufen sich jeweils nicht als Element enthalten, in ungeraden aber doch.


Für rekursive Definition konnten wir die Russellsche Antinomie so also auflösen.
Wie sich aber herausstellte, sind rein rekursive Definitionen über meine Stufen zu schwach,
um damit die Arithmetik und Mathematik aufzubauen.
(Mit Russells Typenlehre gelang dies zwar, blieb aber sehr unhandlich, weshalb das Axiomensystem von Zermel-Fraenkel heute verbreiteter ist,
dessen Axiome mir aber auch nicht sehr überzeugend erscheinen...)

Ohne Stufenhierarchie können wir andererseits andere Antinomien konstruieren:
Sei x in Stufe t+1 Element von S, wenn x in jeder Stufe d+1 nicht Element von x ist.

Wieder führt die Untersuchung, ob S in Stufe t+1 Element von S ist, auf einen Widerspruch - genauso wie die Annahme, das dies für keine Stufe der Fall ist.

Auch dieses Problem werden wir meistern, dazu benötigen wir die nächste Zutat in unserem Hexeneinmaleins:

Dreiwertige Logik!

Dazu gleich mehr.

Gruß
Trestone

Bei dreiwertiger Logik gehen wir von Russells Antinomiemenge zum sogenannten "Lügner" über - obwohl das analog auch mit Mengen funktioniert.

Der Lügner sagt: "Diese Aussage L ist nicht wahr."

Nehmen wir nun an, die Aussage L ist wahr.
Dann muss sie nach ihrem Inhalt (ihrer Definition) nicht wahr sein, ein Widerspruch.
Nehmen wir umgekehrt an, L sei nicht wahr, dann erfüllt sie gerade den Anspruch der Definition und ist daher wahr, wieder ein Widerspruch.

Die Aussage L kann also weder wahr noch nicht wahr sein.

Ein naheliegender Ausweg (neben der Einführung von Typhierarchien oder Stufen s.o.) liegt nun darin, einfach einen dritten Wahrheitswert hinzuzunehmen: z.B. unbestimmt.

L ist also weder wahr noch nicht wahr sondern unbestimmt.
Das funktioniert auch und löst zunächst das Problem.

Nur gibt es noch den "erweiterten Lügner":
"Diese Aussage M ist nicht wahr oder unbestimmt".

Dieser Aussage lässt sich sinnvoll keiner der drei Wahrheitswerte "wahr", "nicht wahr" und "unbestimmt" zuordnen.
Ganz sind wir dadurch Antinomien also nicht los geworden.

Doch es fällt an der Definition von M etwas auf, das wir noch ausnutzen werden:
Hier taucht der "Hilfswahrheitswert unbestimmt" in der Definition von M explizit auf.


Nun wollen wir als nächstes Stufenlogik und dreiwertige Logik (bzw. Mengenlehre) miteinander kombinieren.

Gruß
Trestone

Die Kombination von Dreiwertigkeit und Stufenlogik ist zunächst ganz einfach:

Wir erlauben in der Stufenlogik einfach noch den dritten Wahrheitswert "unbestimmt".

Nun kann man damit aber noch genauso wie in der gewöhnlichen dreiwertigen Logik Antinomien erzeugen, d.h. Aussagen, denen man (in einer Stufe) keinen eindeutigen Wahrheitswert zuordnen kann.

Jetzt folgt die entscheidende Idee:

Wir schränken einfach die Stufenbildung etwas ein, und hoffen,
dass dann keine Antinomien mehr auftreten -
und unsere Logik und Mengenlehre aber noch reichhaltig genug sind,
um Arithmetik und Mathematik treiben zu können.

Um diese Einschränkungen beschreiben zu können, benötigen wir leider noch eine Logik und Denkebene: die Metalogik.
Diese ist für Aussagen über Aussagen zuständig und hier machen wir es uns einfach:
Wir wählen als Metalogik unsere vertraute klassische zweiwertige Logik (ohne Stufen).

Und nun der (vielleicht nicht ganz systematisch korrekte) Aufbau der "dreiwertigen Teilstufenlogik":

1a) Elementaraussagen haben je Stufe 0,1,2,3,... genau einen der drei möglichen Wahrheitswerte "wahr", "nicht wahr", "unbestimmt".

1b) Zwei Mengen x und y stehen je Stufe 0,1,2,3,... genau in einer der drei Elementbeziehungen "ist Element von", "ist nicht Element von" , " ist unbestimmtes Element von".

2a) In Stufe 0 sind alle Aussagen unbestimmt.

2b) In Stufe 0 gilt für alle Mengen x,y: x ist unbestimmtes Element von y.

("Nachts sind alle Katzen grau" als Startpunkt jeglicher Entwicklung...)

3a) Definition von Aussagen über Werte:
Eine Aussage kann dadurch definiert werden, dass (erschöpfend) angegeben wird, wann sie den Wahrheitswert "wahr" annimmt und wann den Wert "nicht wahr".
(Den Wert "unbestimmt" hat sie dann in allen übrigen Fällen.)

3b) Definition von Mengen über Elemente und Nicht-Elemente:
Eine Menge kann dadurch definiert werden, dass (erschöpfend) angegeben wird, welche "Elemente" sie enthält und welche "Nicht-Elemente" sie enthält.
(Die "unbestimmten Elemente" sind dann alle übrigen.)

3a) Stufenrekursion:
Der Wahrheitswert "wahr" einer Aussage in Stufe t+1 kann durch beliebige Kombinationen beliebeiger Aussagen von Stufen <= t festgelegt werden.
Ebenso der Wahrheitswert "nicht wahr", nur muss diese Festlegung disjunkt zu der von "wahr" sein.
("unbestimmt" ist wieder der Rest)

3b) Analog lassen sich auch die Elementbeziehungen von Mengen in Stufe t+1 rekursiv festlegen.

Doch neben abwärts stufenrekursiven Definitionen benötigen wir auch noch Aussagen und Mengen, die von beliebigen Stufen abhängen,
um "richtige Mathematik" treiben zu können.

Z.B. A wahr in t+1, wenn A nicht wahr in t+1 ist.
(Dies ist für A ist "unbestimmt" erfüllbar.)

Um uns aber nicht wieder Antinomien einzuhandeln, geben wir die <=t - Schranke nicht ohne Auflagen auf:

4a) Wir fordern, dass in den Definitionen in Stufe t+1 für die Werte "wahr" und "nicht wahr" zwar beliebige Aussagen und Stufen benutzt werden dürfen,
aber nicht der Wert "unbestimmt".

Also A wahr in t+1 :<-> A nicht wahr in t+2
A nicht wahr in t+1 : <-> A wahr in t+2 ist erlaubt

A wahr in t+1 :<-> A unbestimmt in t+1
A nicht wahr in t+1 : <-> A wahr in t+1 ist nicht erlaubt

4b) Analog erlauben wir nun Mengendefinitionen über beliebige Stufen, wenn nur auf expliziten Bezug auf "unbestimmte" Elemente verzichtet wird.

Wird in den Definitionen die ursprüngliche Schrankenbedingung (d.h. <=t) eingehalten, wird Einschränkung 4 nicht benötigt.

Jetzt haben wir das - zugegebenermaßen komplizierte - Handwerkszeug zusammen, um unsere neue Logik auszuprobieren.

Was ich mir von ihr erhoffe, ist neben einer durchsichtigeren Behandlung von Antinomien, eine Mathematikgrundlegung mit weniger Axiomen
(back to Cantor) und vielleicht sogar eine friedliche Koexistenz mit Gödels Unvollständigkeitssatz...

Gruß
Trestone

Hallo,

das Besondere an dem Ansatz kann in der Mengenlehre veranschaulicht werden:

Hier gilt eine Art "Unschärferelation".

Denn während man klassisch bei einer Menge die Elemente (und die Nicht-Elemente) jeweils genau angibt und so die Menge definiert,
gibt es bei mir noch die "unbestimmten" Pseudoelemente, die man sich auch als Randelemente der Menge vorstellen kann.
Klassische Mengen haben nun einen so dünnen (und genau definierten) Rand,
dass dieser gar keine Elemente oder Punkte enthält.
Bei meinen Mengen hat man fast immer einen breiten Rand, der auch selbst Elemente enthält.

(In der Praxis lassen sich punktlose Ränder ja auch nicht zeichnen ...)

Als Venn-Diagramm wären meine Mengen daher wie ein Rettungsring zu zeichnen, d.h sie sind von einer Ringscheibe (mit den Pseudoelementen) begrenzt, die die Unschärfe repräsentiert.

Diese Unschärfe kommt übrigens weniger von der Dreiwertigkeit als von dem Verbot, den dritten Wert bei Definition von Elementen oder Nichtelementen zu nutzen.
(Letzteres hatte ich ja gefordert, um Widerspruchsfreiheit zu erreichen.)

Die t-Stufen benötige ich erst bei den Peano-Axiomen und den natürlichen Zahlen, die sich auch nur "unscharf" definieren lassen.

Philosophisch finde ich den Startpunkt "in Stufe 0 enthalten alle Mengen nur unbestimmte Elemente" für sehr schön,
da er eine Alternative zu "am Anfang war nichts" oder "etwas war schon immer" darstellt.

Dabei ist die Unbestimmtheit nur eine Frage der Perspektive, denn schon in Stufe 1 können wir munter auf Stufe 0 bauen und daraus Gewissheiten ableiten.
Z B. "All", die Menge aller Mengen:
x e(t+1) All : <-> x (e)(0) x (x Pseudoelement von x in Stufe 0, gilt stets)
x -e(t+1) All: <-> x e(0) x v x -e(0) x (x Element oder Nichtelemnt von x in Stufe 0, gilt nie)

In unserer Mengenlehre gibt es also im Gegensatz zur klassischen eine Menge aller Mengen.
(Sie ist übrigens eine der wenigen randlosen Mengen.)

Analog kann man die leere Menge 0 definieren und "Un", die maximale Randmenge:
x e(t+1) Un : <-> x e(0) x (d.h. nie)
x -e(t+1) Un: <-> x -e(0) x (auch nie)
also gilt stets: x (e)t+1 Un (jede beliebige Menge ist Pseudoelement von Un).

In der Logik startet man analog:
In Stufe 0 sind alle Aussagen unentschieden.

Dies entspricht unserer Erfahrung, das wir unsere ersten Urteile nur aus der späteren bewußten Perspektive (einer höheren Stufe) betrachten können - am Anfang selbst sind sie unentschieden bzw. unbewußt.

Aber zuviel will ich in meine Prinzipien gar nicht hineindeuten,
ich betrachte sie v.a. als schönes Spielzeug, um Logik und Mengenlehre ein wenig durcheinanderzuwirbeln...

Gruß
Trestone

Hi.

Zitat:

Sei R die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten. Nimmt man nun an, dass R sich nicht selbst als Element enthält, so muss es nach Definition sich doch enthalten. Enthält R umgekehrt sich selbst, so enthält es wieder nach Definition sich nicht. Beide Möglichkeiten führen also auf einen Widerspruch.

Nicht ganz. Beides führt zu EINEM Widerspruch. „Wenn R sich selbst enthält, dann enthält es sich nicht selbst“ ist kein Widerspruch und auch „wenn R sich nicht selbst enthält, enthält es sich selbst“ ist keiner. Aber „wenn R sich selbst enthält, dann enthält es sich nicht selbst und wenn R sich nicht selbst enthält, dann enthält es sich selbst“ ist einer, nämlich „R enthält sich selbst gdw. R enthält sich nicht selbst“. Dasselbe gilt für den Lügner: der führt nicht zu zwei Widersprüchen, sondern zu einem. Das nur als kleine Nörgelei zum Warmwerden.

Zitat:

1a) Elementaraussagen haben je Stufe 0,1,2,3,... genau einen der drei möglichen Wahrheitswerte "wahr", "nicht wahr", "unbestimmt".

Der zweite Wahrheitswert darf nicht Nicht-Wahrheit, sondern er muss Falschheit sein. Wenn du Nicht-Wahrheit als Wahrheitswert nimmst, erhältst du Wahrheitswertballungen. Ein Satz, der unbestimmt ist, ist nämlich auch nicht-wahr, sodass er dann zwei Wahrheitswerte hätte. Nimmst du stattdessen Falschheit, tritt das Problem nicht auf, da ein unbestimmter Satz weder wahr noch falsch ist. Das hat zwar keine Auswirkungen auf das formale System selbst, da es ja hier nur um die Interpretation der Wahrheitswerte geht, aber ich denke, man sollte die Interpretation intuitiv halten.

Zitat:

1b) Zwei Mengen x und y stehen je Stufe 0,1,2,3,... genau in einer der drei Elementbeziehungen "ist Element von", "ist nicht Element von" , " ist unbestimmtes Element von".

Das verstehe ich nicht. Was eine dreiwertige Logik zu einer dreiwertigen Logik macht, ist die Semantik, nicht die Objektsprache (die wird bloß entsprechend angepasst). Das heißt, es genügt völlig, sich auf die ist-Element-von und ist-nicht-Element-von Relation zu beschränken. Die Dreiwertigkeit kommt dadurch ins Spiel, dass ein Satz wie „x e y“ dann eben nicht nur entweder wahr oder falsch ist, sondern auch unbestimmt sein kann. Mit anderen Worten: die ist-unbestimmtes-Element-von-Relation macht deine Logik nicht dreiwertig und nebenbei kann ich mir darunter absolut nichts vorstellen. Was soll es heißen, wenn x unbestimmtes Element von y ist? Dass wir nicht wissen, ob x Element von y ist oder nicht? Nun, DAS ist Semantik und wird dementsprechend in der Metasprache ausgedrückt, nicht in der Objektsprache.

Zitat:

3a) Definition von Aussagen über Werte: Eine Aussage kann dadurch definiert werden, dass (erschöpfend) angegeben wird, wann sie den Wahrheitswert "wahr" annimmt und wann den Wert "nicht wahr". (Den Wert "unbestimmt" hat sie dann in allen übrigen Fällen.)

Ausgehend von dem, was ich bisher weiß, kann es in deinem System Sätze geben, deren Wahrheitsbedingungen nicht erschöpfend angegeben werden können, da du unbegrenzt viele Stufen hast. Sei t+n eine unendlich hohe Stufe, dann könnte die Angabe der Wahrheitsbedingung von p in t+n so aussehen:

V(<p, t+n>)=1 gdw. V<p, t+(n-1)>=1 & V<q, t+(n-2)>=0 & ... & V<r, t+(n-m)>=1

Sei m nun eine unendlich große natürliche Zahl, dann wäre das Definiens unendlich lang, weshalb du, um so die Wahrheitsbedingungen erschöpfend anzugeben, schon ein, zwei Zeilen einplanen solltest^^.

Zitat:

Eine Menge kann dadurch definiert werden, dass (erschöpfend) angegeben wird, welche "Elemente" sie enthält und welche "Nicht-Elemente" sie enthält.

Was sind denn Nicht-Elemente? Und wie können die Nicht-Elemente einer Menge M Elemente von M sein?

Zitat:

4a) Wir fordern, dass in den Definitionen in Stufe t+1 für die Werte "wahr" und "nicht wahr" zwar beliebige Aussagen und Stufen benutzt werden dürfen, aber nicht der Wert "unbestimmt".

Ist t bei dir einfach irgendeine Stufe oder ist es eine bestimmte Stufe, etwa die nullte? Ist ersteres der Fall, wird die nullte Stufe überflüssig, ist letzteres der Fall, dann fehlt die Erläuterung, welche Stufe t denn ist.

Zitat:

x e(t+1) All : <-> x (e)(0) x (x Pseudoelement von x in Stufe 0, gilt stets)

Was bedeutet „x (e)(0) x“?

Hallo Soso,

ich habe meine Antworten unten eingearbeitet:

Zitat:

Original von -Soso- Zitat: 1a) Elementaraussagen haben je Stufe 0,1,2,3,... genau einen der drei möglichen Wahrheitswerte "wahr", "nicht wahr", "unbestimmt". Der zweite Wahrheitswert darf nicht Nicht-Wahrheit, sondern er muss Falschheit sein. Wenn du Nicht-Wahrheit als Wahrheitswert nimmst, erhältst du Wahrheitswertballungen. Ein Satz, der unbestimmt ist, ist nämlich auch nicht-wahr, sodass er dann zwei Wahrheitswerte hätte. Nimmst du stattdessen Falschheit, tritt das Problem nicht auf, da ein unbestimmter Satz weder wahr noch falsch ist. Das hat zwar keine Auswirkungen auf das formale System selbst, da es ja hier nur um die Interpretation der Wahrheitswerte geht, aber ich denke, man sollte die Interpretation intuitiv halten. Antwort: Bei drei Wahrheitswerten von denen einer "wahr" ist sind strenggenommen die beiden anderen beide "nicht wahr", da sie "andere" Werte als "wahr" sind. Worauf ich mit meiner Benennung hinaus will, ist noch näher zur zweiwertigen Logik gemeint: Mein Wert "nicht-wahr" ist auch im klassischen zweiwertigen Sinne der Gegenwert zu "wahr", der Wert "unbestimmbar" ist dagegen mehr wie Interferenzwerte in der Physik eine Art Überlagerung von "wahr" und "nicht-wahr". Die Benennungen sind aber nicht so wichtig. Zitat: 1b) Zwei Mengen x und y stehen je Stufe 0,1,2,3,... genau in einer der drei Elementbeziehungen "ist Element von", "ist nicht Element von" , " ist unbestimmtes Element von". Das verstehe ich nicht. Was eine dreiwertige Logik zu einer dreiwertigen Logik macht, ist die Semantik, nicht die Objektsprache (die wird bloß entsprechend angepasst). Das heißt, es genügt völlig, sich auf die ist-Element-von und ist-nicht-Element-von Relation zu beschränken. Die Dreiwertigkeit kommt dadurch ins Spiel, dass ein Satz wie „x e y“ dann eben nicht nur entweder wahr oder falsch ist, sondern auch unbestimmt sein kann. Mit anderen Worten: die ist-unbestimmtes-Element-von-Relation macht deine Logik nicht dreiwertig und nebenbei kann ich mir darunter absolut nichts vorstellen. Was soll es heißen, wenn x unbestimmtes Element von y ist? Dass wir nicht wissen, ob x Element von y ist oder nicht? Nun, DAS ist Semantik und wird dementsprechend in der Metasprache ausgedrückt, nicht in der Objektsprache. Antwort: Doch, das meine ich schon so wie ich es geschrieben habe: Meine Mengenlehre kennt eine dreistufige Elementbeziehung, denn für mich ist die Mengenlehre genauso elementar wie die Logik. x unbestimmtes Element von y heißt, dass x weder Element von y noch nicht-Element von y ist. Zitat: 3a) Definition von Aussagen über Werte: Eine Aussage kann dadurch definiert werden, dass (erschöpfend) angegeben wird, wann sie den Wahrheitswert "wahr" annimmt und wann den Wert "nicht wahr". (Den Wert "unbestimmt" hat sie dann in allen übrigen Fällen.) Ausgehend von dem, was ich bisher weiß, kann es in deinem System Sätze geben, deren Wahrheitsbedingungen nicht erschöpfend angegeben werden können, da du unbegrenzt viele Stufen hast. Sei t+n eine unendlich hohe Stufe, dann könnte die Angabe der Wahrheitsbedingung von p in t+n so aussehen: V(<p, t+n>)=1 gdw. V<p, t+(n-1)>=1 & V<q, t+(n-2)>=0 & ... & V<r, t+(n-m)>=1 Sei m nun eine unendlich große natürliche Zahl, dann wäre das Definiens unendlich lang, weshalb du, um so die Wahrheitsbedingungen erschöpfend anzugeben, schon ein, zwei Zeilen einplanen solltest^^. Antwort: Hier verstehe ich nicht, wie t+n und m "eine unendlich große natürliche Zahl" sein können? Eine "beliebig große, aber endliche natürliche Zahl" könnte ich jeweils eingesetzt denken, die würden aber wohl auch keine Probleme machen. Oder darf ich die endlichkeit natürlicher Zahlen nicht voraussetzen? Zitat: Eine Menge kann dadurch definiert werden, dass (erschöpfend) angegeben wird, welche "Elemente" sie enthält und welche "Nicht-Elemente" sie enthält. Was sind denn Nicht-Elemente? Und wie können die Nicht-Elemente einer Menge M Elemente von M sein? Antwort: In meiner Mengenlehre lässt sich jeweils die Komplementärmenge -M zu einer Menge M definieren: x e(t+1) -M <-> x -e(t+1) M und x -e(t+1) -M <-> x e(t+1)M. Die Nicht-Elemente von M sind die Elemente der Komplementärmenge -M. Wie in der Logik sind die Nicht-Elemente von M diejenigen Mengen, die sicher nicht Elemente von M sind (und auch nicht unbestimmte Elemente von M sind). Zitat: 4a) Wir fordern, dass in den Definitionen in Stufe t+1 für die Werte "wahr" und "nicht wahr" zwar beliebige Aussagen und Stufen benutzt werden dürfen, aber nicht der Wert "unbestimmt". Ist t bei dir einfach irgendeine Stufe oder ist es eine bestimmte Stufe, etwa die nullte? Ist ersteres der Fall, wird die nullte Stufe überflüssig, ist letzteres der Fall, dann fehlt die Erläuterung, welche Stufe t denn ist. Antwort: t steht für eine beliebige Stufe >= Null. Weshalb ist Stufe 0, in der alles unbestimmt ist, dann überflüssig? Zitat: x e(t+1) All : <-> x (e)(0) x (x Pseudoelement von x in Stufe 0, gilt stets) Was bedeutet „x (e)(0) x“?

Antwort:
(e) steht für "unbestimmtes Element" oder "Pseudoelement", dahinter habe ich in Klammern die Stufe angegeben, hier "in Stufe 0",
daher bedeutet „x (e)(0) x" wie oben angegeben:
x Pseudoelement von x in Stufe 0 oder x unbestimmtes Element von x in Stufe 0.

Gruß
Trestone

Hi.

Zitat:

Hier verstehe ich nicht, wie t+n und m "eine unendlich große natürliche Zahl" sein können? Eine "beliebig große, aber endliche natürliche Zahl" könnte ich jeweils eingesetzt denken, die würden aber wohl auch keine Probleme machen. Oder darf ich die endlichkeit natürlicher Zahlen nicht voraussetzen?

Die Menge der natürlichen Zahlen ist UNendlich groß, das ist ja das Problem.

Zitat:

Wir fordern, dass in den Definitionen in Stufe t+1 für die Werte "wahr" und "nicht wahr" zwar beliebige Aussagen und Stufen benutzt werden dürfen, aber nicht der Wert "unbestimmt".

Zitat:

t steht für eine beliebige Stufe >= Null. Weshalb ist Stufe 0, in der alles unbestimmt ist, dann überflüssig?

Du hast die beiden Definitionen gebracht:

(a) Bei der Angabe der Wahrheitsbedingungen eines beliebigen Satzes auf Stufe t+1 darf im Definiens nicht der Wahrheitswert unbestimmt auftreten.

(b) Jeder beliebige Satz auf Stufe 0 hat den Wahrheitswert unbestimmt.

Nun ist aber die Stufe t+1 jede beliebige Stufe außer Stufe 0.

Durch Einsetzung in (a) erhalten wir so:

(a’) Bei der Angabe der Wahrheitsbedingungen eines beliebigen Satzes einer beliebigen Stufe außer Stufe 0 darf im Definiens nicht der Wahrheitswert unbestimmt auftreten.

Nun gilt aber weiter: wann immer wir den Wahrheitswert eines beliebigen Satzes aus Stufe 0 mit einer Aussage A angeben, tritt der Wahrheitswert unbestimmt in der Aussage A auf.

Daraus folgt: wann immer wir die Wahrheitsbedingungen eines beliebigen Satzes einer beliebigen Stufe außer Stufe 0 angeben und im Definiens eine Aussage über den Wahrheitswert einen Satzes aus Stufe 0 machen, tritt im Definiens der Wahrheitswert unbestimmt auf.

Da das aber verboten ist, darf demnach bei der Angabe der Wahrheitsbedingungen eines beliebigen Satzes einer beliebigen Stufe außer Stufe 0 im Definiens keine Aussage über den Wahrheitswert eines Satzes der Stufe 0 gemacht werden. Damit ist die Stufe 0 für die Angabe von Wahrheitswerten, außer von Sätzen aus Stufe 0 selber, redundant. Analog verhält es sich mit den Mengendefinitionen. Demnach ist die Stufe 0 auch für die Angabe von Mengendefinitionen, außer von Mengen der Stufe 0 selber, redundant. Ergo ist die Stufe 0 überflüssig, da nichts von dem, was sie liefert, für höhere Stufen verwendet werden kann. Stufe 0 bleibt gewissermaßen unter sich.

Daran anschließend:

Zitat:

Dabei ist die Unbestimmtheit nur eine Frage der Perspektive, denn schon in Stufe 1 können wir munter auf Stufe 0 bauen und daraus Gewissheiten ableiten. Z B. "All", die Menge aller Mengen: x e(t+1) All : <-> x (e)(0) x (x Pseudoelement von x in Stufe 0, gilt stets)

In dieser Mengendefinitionen kommt im Definiens die Pseudoelementrelation vor. Warum geht das, wenn es doch verboten ist?

Dasselbe bei deinen anderen Definitionen, aber vorher etwas Syntax. Du hast für eine beliebige Stufe t definiert:

[x –e y] <-> [~(x e y) & ~(x (e) y)]

[x (e) y] <-> [~(x e y) & ~(x –e y)]

Ich nehme daher an :

[x e y] <-> [~(x –e y) & ~(x (e) y)]

Nun zu den restlichen deiner Definitionen:

Zitat:

x -e(t+1) All: <-> x e(0) x v x -e(0) x (x Element oder Nichtelemnt von x in Stufe 0, gilt nie)

„x e(0) x“ ist definiert durch „~(x –e(0) x) & ~(x (e)(0) x)“; durch Substitution erhält man so im Definiens wieder die Pseudoelementrelation.

Zitat:

Analog kann man die leere Menge 0 definieren und "Un", die maximale Randmenge: x e(t+1) Un : <-> x e(0) x (d.h. nie)

Auch hier muss man nur „x e(0) x“ durch „~(x –e(0) x) & ~(x (e)(0) x)“ substituieren, um die Pseudoelementrelation ins Definiens zu bekommen.

Zitat:

x -e(t+1) Un: <-> x -e(0) x (auch nie)

„x –e(0) x“ ist definiert durch „[~(x e(0) x) & ~(x (e)(0) x)“; Substitution -> Pseudoelementrelation.

Anderes Problem, deine Syntax:

Oben habe ich ja schon einige Definitionen formalisiert. Aus diesen folgt:

~[x e y] <-> [(x –e y) or (x (e) y)]

~[x –e y] <-> [(x e y) or (x (e) y)]

~[x (e) y] <-> [(x e y) or (x –e y)]

Wie deutlich ist, hast du eine verdammt verzwickte Negation. Mit dieser ist es darum nicht möglich, indirekte Beweise zu führen: ein großer, vermutlich zu großer Rückschlag für dein System, wenn es mathematisch und formallogisch nutzbar sein soll.

Hi.

Was mir noch gerade einfällt:

Du hast zwar keine Wahrheitstabellen gegeben, aber ich nehme an, deine dreiwertige Semantik ist im Grunde eine zweiwertige klassische Semantik, bei der die Wahrheitstabellen lediglich ergänzt werden um die Angabe, wann eine wff unbestimmt ist, so wie hier:

http://en.wikipedia.org/wiki/Trivalent_logic

Sollte dem so sein, dann gilt in deiner Logik weder der Satz vom ausgeschlossenen Dritten noch der Satz vom Widerspruch.

Hallo Soso,

hiermeine Antworten

Zitat:

Original von -Soso- Hi. Zitat: Hier verstehe ich nicht, wie t+n und m "eine unendlich große natürliche Zahl" sein können? Eine "beliebig große, aber endliche natürliche Zahl" könnte ich jeweils eingesetzt denken, die würden aber wohl auch keine Probleme machen. Oder darf ich die Endlichkeit natürlicher Zahlen nicht voraussetzen? Die Menge der natürlichen Zahlen ist UNendlich groß, das ist ja das Problem. Antwort: In meiner "naiven" Mengenlehre ist "die Menge der natürlichen Zahlen" zwar unendlich groß, aber selbst keine natürliche Zahl. Genauer können wir das aber erst betrachten, wenn ich eine Definition der natürlichen Zahlen vorlege. Zitat: Wir fordern, dass in den Definitionen in Stufe t+1 für die Werte "wahr" und "nicht wahr" zwar beliebige Aussagen und Stufen benutzt werden dürfen, aber nicht der Wert "unbestimmt". ... Du hast die beiden Definitionen gebracht: (a) Bei der Angabe der Wahrheitsbedingungen eines beliebigen Satzes auf Stufe t+1 darf im Definiens nicht der Wahrheitswert unbestimmt auftreten. (b) Jeder beliebige Satz auf Stufe 0 hat den Wahrheitswert unbestimmt. Nun ist aber die Stufe t+1 jede beliebige Stufe außer Stufe 0. Durch Einsetzung in (a) erhalten wir so: (a’) Bei der Angabe der Wahrheitsbedingungen eines beliebigen Satzes einer beliebigen Stufe außer Stufe 0 darf im Definiens nicht der Wahrheitswert unbestimmt auftreten. Nun gilt aber weiter: wann immer wir den Wahrheitswert eines beliebigen Satzes aus Stufe 0 mit einer Aussage A angeben, tritt der Wahrheitswert unbestimmt in der Aussage A auf. Daraus folgt: wann immer wir die Wahrheitsbedingungen eines beliebigen Satzes einer beliebigen Stufe außer Stufe 0 angeben und im Definiens eine Aussage über den Wahrheitswert einen Satzes aus Stufe 0 machen, tritt im Definiens der Wahrheitswert unbestimmt auf. Da das aber verboten ist, darf demnach bei der Angabe der Wahrheitsbedingungen eines beliebigen Satzes einer beliebigen Stufe außer Stufe 0 im Definiens keine Aussage über den Wahrheitswert eines Satzes der Stufe 0 gemacht werden. Damit ist die Stufe 0 für die Angabe von Wahrheitswerten, außer von Sätzen aus Stufe 0 selber, redundant. Analog verhält es sich mit den Mengendefinitionen. Demnach ist die Stufe 0 auch für die Angabe von Mengendefinitionen, außer von Mengen der Stufe 0 selber, redundant. Ergo ist die Stufe 0 überflüssig, da nichts von dem, was sie liefert, für höhere Stufen verwendet werden kann. Stufe 0 bleibt gewissermaßen unter sich. Antwort: Dies ist alles richtig, aber es wurde eine zusätzliche Definitionsmöglichkeit übersehen: Wenn die zur Definition benutzten Aussagen einer Stufe kleiner als t+1 angehören, sind alle Werte zulässig, also auch "unbestimmte". Obige Einschränkungen gelten also nur bei Definitionen in gleicher oder höherer Stufe. Daran anschließend: Zitat: Dabei ist die Unbestimmtheit nur eine Frage der Perspektive, denn schon in Stufe 1 können wir munter auf Stufe 0 bauen und daraus Gewissheiten ableiten. Z B. "All", die Menge aller Mengen: x e(t+1) All : <-> x (e)(0) x (x Pseudoelement von x in Stufe 0, gilt stets) In dieser Mengendefinitionen kommt im Definiens die Pseudoelementrelation vor. Warum geht das, wenn es doch verboten ist? Antwort s.o., hier wird rechts eine niedrigere Stufe (nämlich 0) benutzt. Dasselbe bei deinen anderen Definitionen, aber vorher etwas Syntax. Du hast für eine beliebige Stufe t definiert: [x –e y] <-> [~(x e y) & ~(x (e) y)] [x (e) y] <-> [~(x e y) & ~(x –e y)] Ich nehme daher an : [x e y] <-> [~(x –e y) & ~(x (e) y)] Antwort: Ich würde noch jeweils die Stufe t zu e in Klammern setzen: e(t). Nun zu den restlichen deiner Definitionen: Zitat: x -e(t+1) All: <-> x e(0) x v x -e(0) x (x Element oder Nichtelemnt von x in Stufe 0, gilt nie) „x e(0) x“ ist definiert durch „~(x –e(0) x) & ~(x (e)(0) x)“; durch Substitution erhält man so im Definiens wieder die Pseudoelementrelation. Zitat: Analog kann man die leere Menge 0 definieren und "Un", die maximale Randmenge: x e(t+1) Un : <-> x e(0) x (d.h. nie) Auch hier muss man nur „x e(0) x“ durch „~(x –e(0) x) & ~(x (e)(0) x)“ substituieren, um die Pseudoelementrelation ins Definiens zu bekommen. Zitat: x -e(t+1) Un: <-> x -e(0) x (auch nie) „x –e(0) x“ ist definiert durch „[~(x e(0) x) & ~(x (e)(0) x)“; Substitution -> Pseudoelementrelation. Antwort: In den meisten Beispielen besteht wieder ein Stufengefälle, daher sind Pseudoelementrelationen nicht störend. In anderen Fällen (z.B Stufengleichheit) genügt es vermutlich zu fordern, dass eine Darstellung möglich ist, die keine Pseudoelentrelationen beinhaltet. Anderes Problem, deine Syntax: Oben habe ich ja schon einige Definitionen formalisiert. Aus diesen folgt: ~[x e y] <-> [(x –e y) or (x (e) y)] ~[x –e y] <-> [(x e y) or (x (e) y)] ~[x (e) y] <-> [(x e y) or (x –e y)] Wie deutlich ist, hast du eine verdammt verzwickte Negation. Mit dieser ist es darum nicht möglich, indirekte Beweise zu führen: ein großer, vermutlich zu großer Rückschlag für dein System, wenn es mathematisch und formallogisch nutzbar sein soll.

Antwort: Das ist eine generelle Eigenschaft dreiwertiger Logiken.
Einfache indirekte Beweise gehen in der Tat nicht mehr,
aber wenn man weiß, dass eine Aussage in Stufe t weder "falsch -w" noch "unbestimmt (w)" ist, so muss sie "wahr w" sein.

Gruß
Tresone

Zitat:

Original von -Soso- Hi. Was mir noch gerade einfällt: Du hast zwar keine Wahrheitstabellen gegeben, aber ich nehme an, deine dreiwertige Semantik ist im Grunde eine zweiwertige klassische Semantik, bei der die Wahrheitstabellen lediglich ergänzt werden um die Angabe, wann eine wff unbestimmt ist, so wie hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Trivalent_logic Sollte dem so sein, dann gilt in deiner Logik weder der Satz vom ausgeschlossenen Dritten noch der Satz vom Widerspruch.

Hallo Soso, dass ist zwar richtig, aber nicht sehr überraschend:

In einer dreiwertigen Logik gibt es nun einmal ein "Drittes".
(Dafür gilt der Satz vom ausgeschlossenen Vierten...

Für den Satz vom Widerspruch gibt es auch einen Ersatz:
Wenn man weiß, dass eine Aussage in Stufe t weder "falsch -w" noch "unbestimmt (w)" ist, so muss sie "wahr w" sein.

Tatsächlich nutze ich aber wie von Dir beobachtet meine Nähe zur Zweiwertigkeit:

Cantors Diagonalbeweis zur Überabzählbarkeit ist ja ein indirekter Beweis.
Bei meiner Logik führt er nicht mehr zu solch seltsamen Eigenschaften - dafür hat man auch Pseudoelemente.

Auch die Russellmenge und die Menge aller Mengen führen nicht mehr auf einen Widerspruch,
so dass man für die Unbequemlichkeit der Dreiwertigkeit und Stufen eine größere Einfachheit in gewissen Gebieten der Mengenlehre erhält.

Ob Vorteile oder Nachteile überwiegen, kann nur der Gebrauch zeigen.
Ein großer Vorteil wäre, wenn man damit auch Gödels (indirekten) Beweis zum Unvollständigkeitssatz entkommen könnte -
ohne dass sich ein analoger Beweis auf anderer Ebene konstruieren ließe.

Gruß
Trestone

Hi.

Zitat:

In meiner "naiven" Mengenlehre ist "die Menge der natürlichen Zahlen" zwar unendlich groß, aber selbst keine natürliche Zahl.

So war das auch nicht gemeint. Es genügt ja schon, wenn die Angabe der Wahrheitsbedingung eines Satzes, ausgeschrieben, 5 mal um die Erde reicht, damit es unmöglich wird, diese tatsächlich aufzuschreiben. Ob „n“ in „t+n“ nun eine unendlich große Zahl ist oder nur eine verdammt große: unpraktisch ist deine Semantik allemal.

Zitat:

Wenn die zur Definition benutzten Aussagen einer Stufe kleiner als t+1 angehören, sind alle Werte zulässig, also auch "unbestimmte".

Axo, ich hatte es so verstanden, dass du diese Einschränkung hast fallen lassen, dafür aber die Einschränkung, den Wert unbestimmt bzw. die Pseudoelementrelation nicht zu verwenden, eingeführt hast. Dass es sich hier um ein Entweder-Oder handelt, war mir nicht klar. Probleme gibt’s trotzdem

Wann immer du in einer Formel stehen hast „x e y“, „~(x e y)“, „x –e y“ oder „~(x –e y)“ (für eine beliebige Stufe t), kannst du durch Substitution die Pseudoelementrelation einführen, da gilt:

[x –e y] <-> [~(x e y) & ~(x (e) y)]

[x e y] <-> [~(x –e y) & ~(x (e) y)]

~[x e y] <-> [(x –e y) or (x (e) y)]

~[x –e y] <-> [(x e y) or (x (e) y)]

Das heißt, dass, wann immer du unter Verzicht auf die Pseudoelementrelation eine Elementrelation auf einer Stufe t+n mit n>0 definierst durch eine Elementrelation auf Stufe t+m mit n<m, du durch Substitution wieder die Pseudoelementrelation in die Definition bekommst. Hast du also etwa:

[x e(t+1) y] <-> [x e(t+2) y]

Wird daraus durch Substitution:

[x e(t+1) y] <-> [~(x –e(t+2) y) & ~(x (e)(t+2) y)]

Das aber ist freilich ein Regelverstoß, darf ja eine Elementrelation auf Stufe t+n mit n>0 nicht durch eine Elementrelation auf Stufe t+m mit n<m definiert werden, wenn in dieser die Pseudoelementrelation vorkommt. Das heißt, dass es ein Regelverstoß ist, eine beliebige Elementrelation auf Stufe t+n mit n>0 durch eine Elementrelation auf Stufe t+m mit n<m zu definieren.
Zusätzlich gilt dieser Einwand auch für den Fall, dass eine Elementrelation etwa auf Stufe t+1 durch eine Menge von Elementrelation definiert wird, z.B.

[x e(t+1) y] <-> [x e(t+2) y or x –e(t+2) y ….]

denn auch hier kann man einfach ins Definiens substituieren. Prinzipiell gilt so, wann immer eine Elementrelation einer Stufe t+n mit n>0 durch eine Menge an Elementrelationen definiert wird, von denen eine einzige auf einer höheren Stufe ist, kann genau diese höherstufigere Elementrelation substituiert werden, was zu einem Regelverstoß führt. D.h. letztlich ist es, abgesehen von Ausnahmen mit der Stufe 0, nicht möglich, irgendeine Elementrelation auf einer Stufe durch eine Elementrelation höherer Stufe zu definieren.

Wie sieht es aber dann damit aus, eine Elementrelation höherer Stufe durch eine Elementrelation niedrigerer Stufe zu definieren? Definitionen wie „x e(t+2) y <-> x e(t+1) y“ sind von vornherein nicht möglich, da man dank der Kommutativität des Bikonditionals auch schreiben kann „x e(t+1) y <-> x e(t+2) y“ und so dann das o.g. Problem hat. Bleibt also nur die Möglichkeit, dass im Definiens eine Menge von Sätzen steht, etwa:

[x e(t+2) y] <-> [x e(t+1) y or x –e(t+1) y ….]

Betrachtet man jetzt noch einmal das eben ausgeführte, lassen zwei notwendige Bedingungen für eine in deinem System gültige Definition einer Elementrelation angeben (Ausnahmen sind mal wieder Angelegenheiten mit Stufe 0):

(a) Sind die Stufen in Definiendum und Definiens verschieden, muss im Definiens eine Menge an Elementrelationen stehen, die mehr als zwei Elemente enthält.

(b) Keine der Elementrelationen im Definiens darf eine höhere Stufe haben, als die zu definierende Elementrelation.

Diese beiden Bedingungen sind nun, ehrlich gesagt, verdammt streng, sodass eine MENGE Definitionen gar nicht möglich sind. Ob das ein Preis ist, den man zu zahlen bereit ist?

Zitat:

Das [kein SvW und kein SaD] ist eine generelle Eigenschaft dreiwertiger Logiken. Einfache indirekte Beweise gehen in der Tat nicht mehr, aber wenn man weiß, dass eine Aussage in Stufe t weder "falsch -w" noch "unbestimmt (w)" ist, so muss sie "wahr w" sein.

Nope, das gilt nur für bestimmte dreiwertige Systeme wie etwa Kleene und Lukasiewicz sie gebastelt haben. Benutzt man in einer dreiwertigen Logik eine sog. schwache Negation, kann man damit SvW und SaD gewissermaßen rekonstruieren.

Obwohl du bisher kein formales System aufgestellt hast, mit dem man deine Überlegungen mal „live in action“ sehen könnte, bin ich äußerst skeptisch, dass es funktioniert, eben weil du durch die Dreiwertigkeit sowie durch deine seltsame Syntax recht merkwürdige Theoreme erhältst und auf der anderen Seite nützliche Theoreme verlierst. Du hast natürlich schon selber darauf hingewiesen, das letztlich nur der Gebrauch über dein System entscheiden kann, aber dazu musst du eben erst einmal ein System basteln. Die Intuitionen, die deinen Überlegungen zugrunde liegen, scheinen ja durchaus vielversprechend zu sein, doch dass etwa Frege und Russell an der Mathematik gescheitert sind, lag ja nun nicht daran, dass sie sich auf irgendwelche falschen Intuitionen gestützt hätten, sondern eben an der Syntax. Daher fordere ich hiermit eine Syntax für dein System (oder zumindest einen Ansatz)

Zitat:

In einer dreiwertigen Logik gibt es nun einmal ein "Drittes". (Dafür gilt der Satz vom ausgeschlossenen Vierten...

Der SaD hat nichts mit dem Bivalenzprinzip, wonach ein Satz entweder wahr oder falsch ist, zu tun (van Fraassen hat in seinem Aufsatz Singular Terms, Truth-Value Gaps and Free Logic vorgemacht, wie man eine dreiwertige Logik mit SaD konstruieren kann; Stichwort „Supervaluation“). Das Bivalenzprinzip bewegt sich auf metasprachlicher Ebene und gilt bei dir aufgrund der dreiwertigen Semantik nicht. Der SaD hingegen bewegt sich auf objektsprachlicher Ebene und zieht, da er in deinem System nicht gilt, eine böse Konsequenz nach sich. Betrachte den Satz

(x e y) or ~(x e y)

Aufgrund der Definition

~[x e y] <-> [(x –e y) or (x (e) y)]

erhält man durch Substitution

(x e y) or ((x –e y) or (x (e) y))

Dieser Satz, wollte man meinen, gilt in deinem System, denn x ist ja entweder in der Extension von y, in der Antiextension von y oder in der Pseudoextension von y (ich nehme an, dieses Ding hast du gemeint, als du davon sprachst, bei dir würde der Satz vom ausgeschlossenen Vierten gelten). Nun ist aber

(x e y) or ~(x e y)

eine Instanz des SaD und damit auch

(x e y) or ((x –e y) or (x (e) y))

Da aber der SaD kein Theorem deines Systems ist, ist damit auch der letztgenannte Satz keines (demnach gilt der Satz vom ausgeschlossenen Vierten in deinem System NICHT).

Zitat:

Für den Satz vom Widerspruch gibt es auch einen Ersatz: Wenn man weiß, dass eine Aussage in Stufe t weder "falsch -w" noch "unbestimmt (w)" ist, so muss sie "wahr w" sein.

Jepp, das ist eine Instanz des disjunktiven Syllogismus (der in deinem System ausnahmsweise mal gilt^^). Einen indirekten Beweis kann man damit aber leider nicht führen.

(Anmerkung: Der SvW ist eine syntaktische Angelegenheit, d.h. er hat mir Wahrheit oder Falschheit nichts zu tun.)

Hallo Soso,

danke für die konkreten Hinweise!

Zitat:

Original von -Soso- Hi. Zitat: In meiner "naiven" Mengenlehre ist "die Menge der natürlichen Zahlen" zwar unendlich groß, aber selbst keine natürliche Zahl. So war das auch nicht gemeint. Es genügt ja schon, wenn die Angabe der Wahrheitsbedingung eines Satzes, ausgeschrieben, 5 mal um die Erde reicht, damit es unmöglich wird, diese tatsächlich aufzuschreiben. Ob „n“ in „t+n“ nun eine unendlich große Zahl ist oder nur eine verdammt große: unpraktisch ist deine Semantik allemal. Antwort: Sehe ich auch so, aber leider fand ich bisher keine einfachere, die meinen Ansprüchen genügt ... Wann immer du in einer Formel stehen hast „x e y“, „~(x e y)“, „x –e y“ oder „~(x –e y)“ (für eine beliebige Stufe t), kannst du durch Substitution die Pseudoelementrelation einführen, da gilt: [x –e y] <-> [~(x e y) & ~(x (e) y)] [x e y] <-> [~(x –e y) & ~(x (e) y)] ~[x e y] <-> [(x –e y) or (x (e) y)] ~[x –e y] <-> [(x e y) or (x (e) y)] Antwort: Leider hatte ich bei meiner Antwort vom letzten Mal übersehen, dass bei Berücksichtigung der Stufen mein System strenge Negation gar nicht zulässt: z.B. in der Definition ~[x e(t) y] <-> [(x –e(t) y) or (x (e)(t) y)] wird ja ein gleichstufiges "unbestimmt" bzw Pseudoelemnt benutzt, was ich nicht zulasse. ... D.h. letztlich ist es, abgesehen von Ausnahmen mit der Stufe 0, nicht möglich, irgendeine Elementrelation auf einer Stufe durch eine Elementrelation höherer Stufe zu definieren. Antwort: Wie ist es mit dem Beispiel der Menge R: Für alle t: x e(t+1) R :<-> Für alle d: x -e(d+1) x x -e(t+1) R :<-> Es gibt ein d : x e(d+1) x ? ... (a) Sind die Stufen in Definiendum und Definiens verschieden, muss im Definiens eine Menge an Elementrelationen stehen, die mehr als zwei Elemente enthält. (b) Keine der Elementrelationen im Definiens darf eine höhere Stufe haben, als die zu definierende Elementrelation. Antwort: Momentan vermute ich, dass beides nicht zutrifft... Diese beiden Bedingungen sind nun, ehrlich gesagt, verdammt streng, sodass eine MENGE Definitionen gar nicht möglich sind. Ob das ein Preis ist, den man zu zahlen bereit ist? Zitat: Das [kein SvW und kein SaD] ist eine generelle Eigenschaft dreiwertiger Logiken. Einfache indirekte Beweise gehen in der Tat nicht mehr, aber wenn man weiß, dass eine Aussage in Stufe t weder "falsch -w" noch "unbestimmt (w)" ist, so muss sie "wahr w" sein. Nope, das gilt nur für bestimmte dreiwertige Systeme wie etwa Kleene und Lukasiewicz sie gebastelt haben. Benutzt man in einer dreiwertigen Logik eine sog. schwache Negation, kann man damit SvW und SaD gewissermaßen rekonstruieren. Antwort: Meine Logik scheint tatsächlich etwas seltsam zu sein, d.h. ich habe sie z.T. unterschätzt (vgl. keine strenge Verneinung). Das muss aber nicht gegen sie sprechen... Obwohl du bisher kein formales System aufgestellt hast, mit dem man deine Überlegungen mal „live in action“ sehen könnte, bin ich äußerst skeptisch, dass es funktioniert, eben weil du durch die Dreiwertigkeit sowie durch deine seltsame Syntax recht merkwürdige Theoreme erhältst und auf der anderen Seite nützliche Theoreme verlierst. Du hast natürlich schon selber darauf hingewiesen, das letztlich nur der Gebrauch über dein System entscheiden kann, aber dazu musst du eben erst einmal ein System basteln. Die Intuitionen, die deinen Überlegungen zugrunde liegen, scheinen ja durchaus vielversprechend zu sein, doch dass etwa Frege und Russell an der Mathematik gescheitert sind, lag ja nun nicht daran, dass sie sich auf irgendwelche falschen Intuitionen gestützt hätten, sondern eben an der Syntax. Daher fordere ich hiermit eine Syntax für dein System (oder zumindest einen Ansatz) Antwort: Wenn ich einmal etwas Zeit finde, auf Papier sieht es ziemlich vielversprechend aus (sogar Konstruktion natürlicher Zahen möglich). Zitat: In einer dreiwertigen Logik gibt es nun einmal ein "Drittes". (Dafür gilt der Satz vom ausgeschlossenen Vierten... Der SaD hat nichts mit dem Bivalenzprinzip, wonach ein Satz entweder wahr oder falsch ist, zu tun (van Fraassen hat in seinem Aufsatz Singular Terms, Truth-Value Gaps and Free Logic vorgemacht, wie man eine dreiwertige Logik mit SaD konstruieren kann; Stichwort „Supervaluation“). Das Bivalenzprinzip bewegt sich auf metasprachlicher Ebene und gilt bei dir aufgrund der dreiwertigen Semantik nicht. Der SaD hingegen bewegt sich auf objektsprachlicher Ebene und zieht, da er in deinem System nicht gilt, eine böse Konsequenz nach sich. Betrachte den Satz (x e y) or ~(x e y) Aufgrund der Definition ~[x e y] <-> [(x –e y) or (x (e) y)] erhält man durch Substitution (x e y) or ((x –e y) or (x (e) y)) Dieser Satz, wollte man meinen, gilt in deinem System, denn x ist ja entweder in der Extension von y, in der Antiextension von y oder in der Pseudoextension von y (ich nehme an, dieses Ding hast du gemeint, als du davon sprachst, bei dir würde der Satz vom ausgeschlossenen Vierten gelten). Nun ist aber (x e y) or ~(x e y) eine Instanz des SaD und damit auch (x e y) or ((x –e y) or (x (e) y)) Da aber der SaD kein Theorem deines Systems ist, ist damit auch der letztgenannte Satz keines (demnach gilt der Satz vom ausgeschlossenen Vierten in deinem System NICHT). Antwort: Auch hier hatte ich die fehlende strenge Negation übersehen... Zitat: Für den Satz vom Widerspruch gibt es auch einen Ersatz: Wenn man weiß, dass eine Aussage in Stufe t weder "falsch -w" noch "unbestimmt (w)" ist, so muss sie "wahr w" sein. Jepp, das ist eine Instanz des disjunktiven Syllogismus (der in deinem System ausnahmsweise mal gilt^^). Einen indirekten Beweis kann man damit aber leider nicht führen. (Anmerkung: Der SvW ist eine syntaktische Angelegenheit, d.h. er hat mir Wahrheit oder Falschheit nichts zu tun.)

Antwort: Wenn indirekte Beweise nicht funktionierten wäre das wohl sogar gut, da sie die Quelle vieler Paradoxa und Antinomien zu sein scheinen...

Gruß
Trestone

Hi.

Zitat:

Leider hatte ich bei meiner Antwort vom letzten Mal übersehen, dass bei Berücksichtigung der Stufen mein System strenge Negation gar nicht zulässt: z.B. in der Definition ~[x e(t) y] <-> [(x –e(t) y) or (x (e)(t) y)] wird ja ein gleichstufiges "unbestimmt" bzw Pseudoelemnt benutzt, was ich nicht zulasse.

Ich nehme an, mit strenger Negation meinst du die starke Negation? Wenn du nur die schwache Negation verwendest, geht dein System aber auch flöten. Man würde ja dann z.B. für eine Stufe t einfach definieren („-“ ist die schwache Negation):

[x e y] <-> [-(x –e y) & -(x (e) y)]

-[x e y] <-> [(x –e y) or (x (e) y)]

Etc.pp.

Hier hast du auch wieder die Pseudoelementrelation im Definiens auf gleicher Stufe wie die Relation im Definiendum. Wenn du diese Gleichstufigkeit verbieten willst, müsstest du als Bedingung einführen, dass die Pseudoelementrelation im Definiens nur dann auftreten darf, wenn sie auf einer niedrigeren Stufe als die Relation im Definiendum ist. Wenn ich das richtig sehe, würde das aber dazu führen, dass sich Extension, Antiextension oder Pseudoextension überschneiden können, da du Formeln wie „(x e y) & (x –e y)“ nicht mehr verbieten könntest.

Zitat:

Wie ist es mit dem Beispiel der Menge R: Für alle t: x e(t+1) R :<-> Für alle d: x -e(d+1) x x -e(t+1) R :<-> Es gibt ein d : x e(d+1) x ?

Kann ich leider erst beantworten, wenn ich weiß, wie du dein System reparierst:

(a) Du erlaubst du der Pseudoelementrelation im Definiens auf derselben Stufe zu sein wie die Relation im Definiendum und führst so die ganzen Definitionen für „x e y“, „~(x e y)“, „-(x e y)“, „x –e y“ usw. wieder ein, erhältst aber harte Bedingungen für deine Definitionen.

(b) Du verbietest, dass die Pseudoelementrelation im Definiens auf derselben oder einer höheren Stufe ist als die Relation im Definiendum und bekommst so vermutlich Überschneidungen der Extensionen.*

Zitat:

Wenn indirekte Beweise nicht funktionierten wäre das wohl sogar gut, da sie die Quelle vieler Paradoxa und Antinomien zu sein scheinen...

Ich weiß wirklich nicht, ob das gut ist, indirekte Beweise zu verbieten.


_______________________
*Um die Vermutung mal konkret zu machen (ich benutze die schwache Negation, schreibe sie aber als „~“, weil man das besser erkennt):

Wenn es verboten ist, dass die Pseudoelementrelation im Definiens auf derselben oder einer höheren Stufe als die Relation im Definiendum ist, dann sind u.a. die folgenden Definitionen VERBOTEN (alles, was jetzt kommt, gilt für ein und dieselbe Stufe t):

Def. I: [x e y] <-> [~(x –e y) & ~(x (e) y)]

Def. II: [x –e y] <-> [~(x e y) & ~(x (e) y)]

Def. III: ~[x e y] <-> [(x –e y) or (x (e) y)]

Def. IV: ~[x –e y] <-> [(x e y) or (x (e) y)]

Es gelten aber, so nehme ich an, weiterhin:

Def. V: [x (e) y] <-> [~(x e y) & ~(x –e y)]

Def. VI: ~[x (e) y] <-> [(x e y) or (x –e y)]

Nun betrachten wir mal die folgende Definition:

(x e y) <-> (x e y)

Das Teil ist erst einmal ziemlich trivial. Es gibt hier aber ein kleines Problem: die gerade genannte Formel kann wahr sein und trotzdem kann zusätzlich gelten:

(x e y) & (x –e y)

Das kann darum gelten, weil von den Definitionen, die wir jetzt haben, keine eine solche Formel verbietet. Das aber ist natürlich unpraktisch, denn wenn die fragliche Formel nicht verboten ist (nicht widersprüchlich ist), heißt das, dass es möglich ist, dass sich eine Menge mit ihrer Komplementärmenge überschneidet. Eine solche Formel muss also verboten werden. Die naheliegendste Definition, eine solche Formel zu verbieten, ist leider auch verboten, nämlich Def. I. Versuchen wir also mal, das durch eine andere Definition hinzubiegen:

(x e y) <-> ~(x –e y)

Nun gilt aber:

Def. V: [x (e) y] <-> [~(x e y) & ~(x –e y)]

So erhält man durch Substitution von „~(x –e y)“:

[x (e) y] <-> [~(x e y) & (x e y)]

Da nun im Definiens ein Widerspruch aufgetreten ist, muss dieser Versuch als gescheitert betrachtet werden. Wie wäre es dann damit:

(x e y) <-> ~(x (e) y)

Es gilt aber :

Def. VI: ~[x (e) y] <-> [(x e y) or (x –e y)]

Durch Substitution:

(x e y) <-> [(x e y) or (x –e y)]

Weiter kann man hier nun erst einmal nichts herausholen (man kann zwar fröhlich weitersubstituieren, aber das bringt nichts). Leider aber verbietet diese Formel nicht:

(x e y) & (x –e y)

Damit ist also noch immer möglich, dass sich eine Menge mit ihrer Komplementärmenge überschneidet.

(Benutzt man statt der schwachen die starke Negation, kommt vermutlich ähnliches bei raus.)

Du könntest jetzt freilich noch einige weitere Versuche starten, aber auch die werden nicht zum Erfolg führen. Um Überschneidungen von Extension, Antiextension und Pseudoextension zu verbieten, brauchst du die Definitionen I bis IV. Dann aber entscheidest du dich für (a).

@trestone
@soso

Leider bin ich kein genügend guter Logiker, um mich an eurer Diskussion mit klugen Argumenten beteiligen zu können. Wenn ich das richtig übersehe sind eure Beiträge auch völlig ausreichend klug.
Ich frage mich allerdings, warum du, trestone, nicht auf die schon geleisteten Arbeiten von Lukasiewicz, Tarski, Post und Kleene (wahrscheinlich gibt es auch noch einige, modernere Arbeiten) zurückgreifst, von denen ich zumindest weiß, dass sie ebenfalls über mehrwertige Logik gearbeitet haben.
Ähem, möglicherweise tust du(ihr) das, aber es bleibt mit verborgen, da ich, außer die Namen zu kennen, nicht sehr viel darüber weiß.

Ich frage mich also, ob das Anliegen von trestone nicht schon von ein paar scharfsinnigen Köpfen angegangen worden ist, und dabei bereits ein halbwegs gangbarer Weg beschritten wurde.
Wie gesagt, kann es aber sein, das trestone etwas anderes versucht, was ich nur nicht begriffen habe.

Um mal daran anzuschließen:

Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen von Tarski ist Pflichtliteratur. Den Hauptgedanken daraus, eine Hierarchie von Wahrheitsprädikaten aufzustellen, hat Kripke für Systeme mit unendlich vielen Stufen ausgebaut in Outline of a Theory of Truth. Dieser Aufsatz ist allerdings nicht ohne. Gupta hat ebenfalls eine beachtliche Arbeit zum Thema der semantischen Paradoxien veröffentlicht. Ich glaube, es ist Truth and Paradox. Ich habe da allerdings noch nicht reingeguckt, obwohl ich das Ding zuhause habe.

Einen etwas anderen Ansatz, mit dem man nicht nur semantische Paradoxien wie den Lügner, sondern auch auch syntaktische Paradoxien wie die Russell-Paradoxie in den Griff bekommt, verfolgen parakonsistente Logiken. Hier ist vor allem An Introduction to Non-Classical Logic von Priest zu empfehlen, wo das Thema Parakonsistenz, Relevanzlogiken usw. recht ausführlich behandelt wird, d.h. mit Vorstellung diverser Systeme, dazugehöriger Kalküle usw. (Priest ist gleichzeitig der Übervater der parakonsistenten Logik).

Hallo,

1) ein wenig kenne ich Tarski und Co. schon, allerdings liegt mein Mathestudium schon 15 Jahre zurück und seither informiere ich mich allenfalls via Google.
Daher bin ich für Hinweise dankbar.
Allerdings will ich nicht unbedingt den Stand der Forschung im Detail verfolgen,
sondern ausprobieren, wie weit meine Intuition trägt.
Und die entwickelt sich vielleicht besser, wenn sie nicht auf dem Hauptstrom mitschwimmt...

Aber jetzt bin ich nun mal aufgetaucht und suche ja auch den Abgleich und Austausch.
Übrigens gefällt mir an meinem Ansatz genau das gleiche nicht, was mich vom genaueren Studium von Tarski und Co. abhält:
Zu formal und zu kompliziert!

Daher bitte nachfragen, wenn das Ganze zu abgehoben wird.

2) Da es außer philosophisch für mich mittlerweile auch mathematisch spannen ist,
starte ich nun doch noch genauer mit dem Formalkram:

Vorbemerkung:

Mengen im Sinne meiner Stufenmengenlehre sind dimensionslose Dinge "an sich",
ihre Eigenschaften (wie Gleichheit und Elementbeziehungen) erschließen sich uns nur stufenweise und können je Stufe unterschiedlich sein.
Es bestehen aber Verbindungen zwischen den Stufen.
Nicht alle Eigenschaften einer Stufe können in dieser Stufe beschrieben werden, meist ist dazu die nächste Stufe (Metastufe, aber anders gemeint als unten bei Logik) nötig.
Gerade die charakteristischen Eigenschaften einer menge M in einer Stufe t (x e(t) M, d.h. x ist in Stufe t Element von M) ist in Stufe t nicht entscheidbar sondern eine Metaeigenschaft.

A0: Stufenmengen-Axiom:

Es gibt (in der Metaebene) eine (Stufen?-)Menge T,
die induktiv ist, d.h. sie enthält 0 und zu jedem Element t auch den Nachfolger t+1.
(T entspricht No mit Addition).
(Wir benötigen in T keine Rechenoperationen außer der Nachfolgerbildung t -> t+1.)

Im folgenden sei stets t aus T, x,y,z,a,b (Stufen-)Mengen
A(t,y),F(t,y) Funktionen bzw. Terme mit festem t.

A1. Dreiwertiges Elementaxiom:

Für jede Stufe Stufe t ( in Zeichen: Vt: ) besteht zwischen zwei Stufenmengen x und M genau eine der folgenden drei Elementbeziehungen:

x e(t) M : d.h. x ist in Stufe t "Element" von M. (genauer: x ist Innen-Element von M in Stufe t)
x -e(t) M : d.h. x ist in Stufe t "Nicht-Element" von M. (genauer: x ist Außen-Element von M in Stufe t)
x (e)(t) M : d.h. x ist in Stufe t "Pseudo-Element" von M. (genauer: x ist Rand-Element von M in Stufe t)

Veranschaulicht man die Elementsicht auf M in Stufe t durch ein Venn-Diagramm (Kreis in einem All-Kasten), so müsste man meine Mengen nicht mit einem Kreis umgrenzen, sondern mit einer Ringscheibe (Rettungsring).
Im Innern des Ringes lägen die Elemente, im Äußern die Nicht-Elemente und auf dem Ring die unbestimmbaren Elemente oder Pseudoelemente.
(Wie wir später sehen werden, gibt es im Gegensatz zu anderen Mengenlehren eine All-Menge, d.h. wir können uns immer so einen äußeren Kasten denken, allerdings mit unendlich vielen Elementen...)

Aufgrund von A1 ist klar, dass wir Stufenmengen durch vollständige Angabe ihrer Innen- und Außen-Eklemente charakterisieren können, denn alle übrigen müssen dann Pseudoelemente sein.
Nur die Angabe aller (Innen-)Elemente genügt nicht, denn dann könnten die Mengen ja noch verschiedene Ränder haben.
Wir formulieren dies:

A2. Extensionalitäts-Axiom:

Vt: "x: [(x e(t) y) <-> (x e(t) z)] und [(x -e(t) y) <-> (x -e(t) z)] <-> (y =(t) z)
D.h zwei Mengen sind zur Stufe t gleich, wenn sie zur Stufe t gleiche Innen-Elemente und gleiche Außen-Elemente haben.
Zwei Mengen x,y sind gleich (x=y), wenn sie zu allen Stufen gleich sind.
(Meist Nachweis über Induktion nach t).
(Diese Axiom ist eine Metaaussage).

Mehr bei nächster Gelengenheit.

Gruß
Trestone

Hi.

Ich wollte zwar erst einmal abwarten, bis du etwas mehr Formelkram präsentiert hast, aber einige Bemerkungen habe ich dennoch schon:

Zitat:

Mengen im Sinne meiner Stufenmengenlehre sind dimensionslose Dinge "an sich", ihre Eigenschaften (wie Gleichheit und Elementbeziehungen) erschließen sich uns nur stufenweise und können je Stufe unterschiedlich sein.

Heißt das, dass ein und dieselbe Menge auf verschiedenen Stufen vorkommen und je andere Elemente haben kann?

Zitat:

Für jede Stufe Stufe t ( in Zeichen: Vt: ) besteht zwischen zwei Stufenmengen x und M genau eine der folgenden drei Elementbeziehungen: x e(t) M : d.h. x ist in Stufe t "Element" von M. (genauer: x ist Innen-Element von M in Stufe t) x -e(t) M : d.h. x ist in Stufe t "Nicht-Element" von M. (genauer: x ist Außen-Element von M in Stufe t) x (e)(t) M : d.h. x ist in Stufe t "Pseudo-Element" von M. (genauer: x ist Rand-Element von M in Stufe t)

Gibt es keine Schnittmengen zwischen x und M?

Zum Rest:

Ich verstehe dieses ganze Metazeugs nicht. Soweit ich das verstanden habe:

t+n ist eine Metastufe von t+m genau dann, wenn t+m eine Stufe ist und m<n.

Was aber ist eine Metaeigenschaft und was eine Metaaussage bei dir?

Hallo Soso,

(kurze) Antworten wieder im Text:

Zitat:

Original von -Soso- Hi. Ich wollte zwar erst einmal abwarten, bis du etwas mehr Formelkram präsentiert hast, aber einige Bemerkungen habe ich dennoch schon: Zitat: Mengen im Sinne meiner Stufenmengenlehre sind dimensionslose Dinge "an sich", ihre Eigenschaften (wie Gleichheit und Elementbeziehungen) erschließen sich uns nur stufenweise und können je Stufe unterschiedlich sein. Heißt das, dass ein und dieselbe Menge auf verschiedenen Stufen vorkommen und je andere Elemente haben kann? Antwort: Ja! Zitat: Für jede Stufe Stufe t ( in Zeichen: Vt: ) besteht zwischen zwei Stufenmengen x und M genau eine der folgenden drei Elementbeziehungen: x e(t) M : d.h. x ist in Stufe t "Element" von M. (genauer: x ist Innen-Element von M in Stufe t) x -e(t) M : d.h. x ist in Stufe t "Nicht-Element" von M. (genauer: x ist Außen-Element von M in Stufe t) x (e)(t) M : d.h. x ist in Stufe t "Pseudo-Element" von M. (genauer: x ist Rand-Element von M in Stufe t) Gibt es keine Schnittmengen zwischen x und M? Antwort: Zwischen zwei Mengen in meinem Sinne gibt es immer genau eine der oben aufgeführten Beziehungen. Es kann darüberhinaus noch andere Beziehungen (u.a. Schnittmengen) geben, aber hier bezog ich mich nur auf die "Element"-Beziehungen. Zum Rest: Ich verstehe dieses ganze Metazeugs nicht. Soweit ich das verstanden habe: t+n ist eine Metastufe von t+m genau dann, wenn t+m eine Stufe ist und m<n. (Antwort: wohl richtig, aber die Eigenschaften von Metastufen habe ich noch wenig untersucht) Was aber ist eine Metaeigenschaft und was eine Metaaussage bei dir? Antwort: Metaaussagen sind Aussagen über Mengen und Stufen. Beispiel: Jede Menge x ist für alle Stufen t+1 Element der Menge All. Oder: 0 ist in Stufe 3 Nichtelemnt der leeren Menge. Metaaussagen sind wie klassische Aussagen entweder wahr oder falsch und haben auch keine Stufen.

Gruß
Trestone

Hallo,

beim Versuch die natürlichen Zahlen einzuführen fiel mir auf,
dass ich noch mehr Mengen zulassen sollte:

Ist eine Menge D wohldefiniert, d.h. können wir für jede Menge x und jede Stufe t eindeutig entscheiden,
ob x e(t+1) D oder x -e(t+1) D oder x (e)(t+1) D,
so können wir z.B. auch wie folgt eine Menge M definieren:

x e(t+1) M :<-> x -e(t+1) D oder x (e)(t+1) D
x -e(t+1) M: <-> x e(t+1) D

D.h. bei der Definition der Elemente (und Nichtelemente) von Mengen in Stufe t+1 dürfen wir auch Pseudoelementeigenschaften aus Stufe t+1 verwenden, wenn es sich um Pseudoelemente einer wohldefinierte Menge handelt.

Wie man am Beispiel M oben sieht, können wir für wohldefinierte Mengen ein "starkes" Komplement bilden.
In der Logik können wir analog "starke" Verneinung bilden, wenn die Aussage im obigen Sinne wohldefiniert ist.

Allerdings bleibt die Einschränkung zu Pseudoelementdefinitionen für beliebige Mengen und Aussagen erhalten:

x e(t+1) R :<-> x -e(t+1) R oder x (e)(t+1) R
x -e(t+1) R: <-> x e(t+1) R

würde für x=R auf folgenden Widerspruch führen:
R e(t+1) R <-> R -e(t+1) R oder R (e)(t+1) R,
da nur genau eine der Elementbeziehungen zwischen R und R bestehen kann, können nicht beide Seiten wahr sein.

(Da R die zu definierende Menge auf der linken Seite ist, ist das R auf der rechten Seite im gegensatz zu D oben nicht wohldefiniert.)

Gruß
Trestone